Plaintext
ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος
𝑏
𝑖
𝛫[𝑏, 𝑎] = ∫ exp { 𝐼(𝑥(𝑡))} 𝐷𝑥(𝑡)
ℏ
𝑎
𝑏
𝐼 = ∫ 𝐿(𝑥, 𝑥̇ , 𝑡)𝑑𝑡
𝑎
Αναλυτική Δυναμική
Ε. Α. ΔΡΗΣ
Ομότιμος Καθηγητής Ε.Μ.Π.
Θ. Η. ΑΛΕΞΟΠΟΥΛΟΣ
Καθηγητής Ε.Μ.Π.
Αναλυτική Δυναμική
𝑏
𝐼 = ∫ 𝐿(𝑥, 𝑥̇ , 𝑡)𝑑𝑡
𝑎
Αναλυτική Δυναμική
Συγγραφή
Ε. Α. Δρης Ομότιμος Καθηγητής Ε.Μ.Π.
Θ. Η. Αλεξόπουλος Καθηγητής Ε.Μ.Π.
Συντελεστές έκδοσης
Γλωσσική Επιμέλεια: Όξενκιουν Ελένη Ελισσάβετ
Γραφιστική Επιμέλεια: Ιωάννης Παλιόκας
Copyright © 2021, ΚΑΛΛΙΠΟΣ, ΑΝΟΙΚΤΕΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ
Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική
Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/deed.el
Αν τυχόν κάποιο τμήμα του έργου διατίθεται με διαφορετικό καθεστώς αδειοδότησης,
αυτό αναφέρεται ρητά και ειδικώς στην οικεία θέση.
ΚΑΛΛΙΠΟΣ
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 15780 Ζωγράφου
www.kallipos.gr
ISBN: 978-618-85370-9-5
Εικόνα εξώφυλλου: Υπόβαθρο, εικαστική αναπαράσταση δυο μελανών οπών σε πορεία σύγκρουσης (MARK
GARLICK/SCIENCE PHOTO LIBRARY/Getty Images). https://www.livescience.com/three-supermassive-
black-holes-collision.html
Κάτω αριστερά: ολοκλήρωμα δράσης. Σημειώνεται με έντονη γραμμή η πραγματική τροχιά και με
διακεκομμένες γραμμές μερικές γειτονικές τροχιές.
Πάνω δεξιά: κβαντικό ολοκλήρωμα διαδρομής. Σημειώνονται οι προηγούμενες τροχιές οι οποίες τώρα
συμβάλλουν με ίδιο βάρος στον υπολογισμό του διαδότη.
Βιβλιογραφική Αναφορά: Δρης, Ε., Αλεξόπουλος, Θ. (2021). Αναλυτική Δυναμική [Μεταπτυχιακό εγχειρίδιο].
Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. http://hdl.handle.net/11419/8018
Πίνακας Περιεχομένων
Πίνακας συντομεύσεων-ακρωνυμίων .............................................................................................................. 5
Πρόλογος ............................................................................................................................................................ 6
Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή...................................................................................................................................... 7
1.1 Συντεταγμένες θέσης................................................................................................................................. 9
1.2 Δεσμοί ..................................................................................................................................................... 10
1.3 Είδη μετατοπίσεων .................................................................................................................................. 20
1.3.1. Πραγματική μετατόπιση ................................................................................................................. 21
1.3.2. Πιθανή μετατόπιση ......................................................................................................................... 21
1.3.3. Δυνατή μετατόπιση ......................................................................................................................... 21
1.4 Παραλλαγή .............................................................................................................................................. 23
1.5 Δυνατό έργο ............................................................................................................................................ 23
1.6 Μηδενικό δυνατό έργο δυνάμεων μερικών δεσμών ............................................................................... 24
Παραδείγματα - Ειδικά θέματα ..................................................................................................................... 26
Προβλήματα .................................................................................................................................................. 29
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 1........................................................................................................................... 30
Κεφάλαιο 2: Φορμαλισμός του Lagrange ..................................................................................................... 31
2.1 Αρχή d’ Alembert.................................................................................................................................... 31
2.2 Φορμαλισμός χωρίς δεσμούς .................................................................................................................. 33
2.3 Φορμαλισμός με δεσμούς ....................................................................................................................... 36
2.3.1 Δυνάμεις δεσμών ............................................................................................................................. 36
2.3.2 Μετάβαση σε γενικευμένες συντεταγμένες ..................................................................................... 40
2.3.3 Αρχή d’ Alembert σε γενικευμένες συντεταγμένες ......................................................................... 43
2.4 Δυναμικά που εξαρτώνται από τις ταχύτητες ......................................................................................... 46
2.5 Ηλεκτρομαγνητική δύναμη - Αδρανειακές δυνάμεις .............................................................................. 47
2.6 Ισοδύναμες λαγκρανζιανές...................................................................................................................... 48
2.7 Εξισώσεις Lagrange με δεσμούς. Υπολογισμός δυνάμεων δεσμών ....................................................... 50
2.8 Σχέσεις δεσμών με γραμμική εξάρτηση ως προς τις ταχύτητες .............................................................. 55
2.9 Εξισώσεις Lagrange με γενικούς δεσμούς .............................................................................................. 58
2.10 Ταλαντώσεις.......................................................................................................................................... 59
2.10.1 Ελεύθερες ταλαντώσεις ................................................................................................................. 59
2.10.2 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις ....................................................................................................... 64
2.11 Το αντίστροφο πρόβλημα της Μηχανικής - Μη μοναδικότητα της λαγκρανζιανής............................. 64
Παραδείγματα – Eιδικά Θέματα ................................................................................................................... 69
1. Δυνάμεις απωλειών............................................................................................................................... 69
Αναλυτική Δυναμική
2. Επεξηγήσεις σχετικά με τη δυνατότητα ενσωμάτωσης ή όχι δεσμευτικών σχέσεων ........................... 70
3. Συζευγμένα εκκρεμή............................................................................................................................. 72
4. Εφαρμογή της λαγκρανζιανής μεθόδου στην ηλεκτροτεχνία ............................................................... 76
5. Μηχανική ομοιότητα ............................................................................................................................ 77
6. Μονοδιάστατη κίνηση σωματίου μέσα σε δυναμικό V ( q ) ................................................................ 78
7. Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση ................................................................................................... 78
Προβλήματα .................................................................................................................................................. 79
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 2........................................................................................................................... 88
Κεφάλαιο 3: Αρχή του Hamilton. Στοιχεία θεωρίας μεταβολών ................................................................ 89
3.1 Αρχή του Hamilton ................................................................................................................................. 89
3.2 Πιθανές τροχιές ....................................................................................................................................... 93
3.3 Εξισώσεις Lagrange από την Αρχή Hamilton για διακριτά συστήματα ................................................. 93
3.4 Διευκρινίσεις για τις δεσμευτικές σχέσεις .............................................................................................. 98
3.5 Εφαρμογές στη Γενική Σχετικότητα ..................................................................................................... 100
3.6 Θεωρία Μεταβολών με πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές ..................................................................... 105
Παραδείγματα – Eιδικά θέματα .................................................................................................................. 107
1. Συνοριακές συνθήκες.......................................................................................................................... 107
2. Φυσιολογικές συνοριακές συνθήκες για ελεύθερα σύνορα ................................................................ 107
3. Ισοπεριμετρικά προβλήματα............................................................................................................... 109
4. Τροποποίηση λαγκρανζιανής - εξάλειψη συντεταγμένων .................................................................. 111
5. Ισοδύναμα ολοκληρώματα δράσης..................................................................................................... 114
6. Το πρόβλημα της Θεωρίας Μεταβολών με παραμετροποίηση των τροχιών ..................................... 115
7. Ελάχιστη απόσταση μεταξύ δυο σημείων στο επίπεδο ...................................................................... 116
8. Το πρόβλημα του βραχυστόχρονου .................................................................................................... 117
9. Το πρόβλημα της ελαστικής ράβδου .................................................................................................. 118
10. Μελέτη της ταλάντωσης χορδής με χρήση της Θεωρίας Μεταβολών ............................................. 120
11. Μελέτη της ανάκλασης του φωτός με χρήση της Θεωρίας Μεταβολών .......................................... 124
12. Εισαγωγή στα βαρυτικά κύματα και την ανίχνευσή τους με συμβολομετρία .................................. 126
13. Ολοκληρώματα Τροχιών .................................................................................................................. 133
Προβλήματα ................................................................................................................................................ 134
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 3......................................................................................................................... 139
Κεφάλαιο 4: Συμμετρίες και Θεωρήματα Διατήρησης για Διακριτά Συστήματα .................................. 141
4.1 Ενεργειακή συνάρτηση. Διατήρηση της ενέργειας ............................................................................... 144
Παραρτήματα – Ειδικά θέματα ................................................................................................................... 147
1. Κίνηση σε πεδίο Schwarzschild.......................................................................................................... 147
2. Διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz .......................................................................................................... 151
3. Θεώρημα του Bertrand ....................................................................................................................... 152
4. Θεώρημα virial ................................................................................................................................... 159
Προβλήματα ........................................................................................................................................... 161
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 4......................................................................................................................... 165
Κεφάλαιο 5: Λαγκρανζιανός Φορμαλισμός της Δυναμικής στην Ειδική Σχετικότητα .......................... 166
5.1 Απλή διαδικασία για την εύρεση μιας σχετικιστικής λαγκρανζιανής ................................................... 166
5.2 Εμφανώς συναλλοίωτος λαγκρανζιανός φορμαλισμός ......................................................................... 169
Παράδειγμα ................................................................................................................................................. 172
Προβλήματα ................................................................................................................................................ 174
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 5......................................................................................................................... 175
Κεφάλαιο 6: Χαμιλτoνιανός Φορμαλισμός ................................................................................................. 176
6.1 Εξισώσεις του Hamilton ....................................................................................................................... 176
6.2 Αγνοήσιμες συντεταγμένες και θεωρήματα διατήρησης ...................................................................... 179
6.3 Η διαδικασία του Routh ........................................................................................................................ 183
6.4 Οι εξισώσεις του Hamilton από μια αρχή μεταβολών .......................................................................... 186
6.5 Η αρχή της ελάχιστης δράσης ............................................................................................................... 187
Παραδείγματα – Ειδικά θέματα .................................................................................................................. 194
1. Πότε τα στάσιμα σημεία είναι σημεία ελάχιστου ............................................................................... 194
2. Γενικά χαρακτηριστικά της κίνησης συστήματος .............................................................................. 194
3. Το απλό εκκρεμές στον χώρο των φάσεων......................................................................................... 196
4. Το θεώρημα του Ostrogradsky ........................................................................................................... 199
5. Εξισώσεις Χάμιλτον για σχετικιστική κίνηση μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο .............................. 203
Προβλήματα ................................................................................................................................................ 205
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 6......................................................................................................................... 207
Κεφάλαιο 7: Κανονικοί Μετασχηματισμοί ................................................................................................. 208
7.1 Εύρεση γεννήτριας συνάρτησης από τις εξισώσεις κανονικού μετασχηματισμού ............................... 223
7.2 Ένα άλλο κριτήριο για να είναι ένας μετασχηματισμός κανονικός ...................................................... 228
7.3 Αγκύλες του Poisson ............................................................................................................................. 231
7.4 Συμπλεκτική μορφή του χαμιλτονιανού φορμαλισμού ......................................................................... 235
7.5 Αναλλοίωτο των αγκυλών του Poisson σε κανονικούς μετασχηματισμούς στον συμπλεκτικό
φορμαλισμό ................................................................................................................................................. 240
7.6 Αναλλοίωτα ολοκληρώματα του Poincare............................................................................................ 242
7.7 Εξισώσεις κίνησης με αγκύλες Poisson ................................................................................................ 243
7.8 Απειροστοί κανονικοί μετασχηματισμοί και θεωρήματα διατήρησης.................................................. 244
Παραδείγματα – Eιδικά θέματα .................................................................................................................. 249
Α) Σύστημα που έχει λαγκρανζιανή γραμμική ως προς όλες τις ταχύτητες........................................ 252
Β) Κβάντωση του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου .................................................................................... 263
Προβλήματα ................................................................................................................................................ 265
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 7......................................................................................................................... 269
Κεφάλαιο 8: Η Μέθοδος των Hamilton-Jacobi .......................................................................................... 270
8.1 Χωρισμός μεταβλητών της εξίσωσης Hamilton-Jacobi ........................................................................ 276
8.2 Δράσεις και γωνίες ως κανονικές μεταβλητές ...................................................................................... 279
Αναλυτική Δυναμική
8.2.1 Κυκλικά συστήματα ...................................................................................................................... 279
Παραδείγματα - Eιδικά θέματα ................................................................................................................... 292
Προβλήματα ................................................................................................................................................ 300
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 8......................................................................................................................... 304
Κεφάλαιο 9: Θεωρία Πεδίου ........................................................................................................................ 305
9.1 Ο τανυστής μηχανικής τάσης-ενέργειας και θεωρήματα διατήρησης .................................................. 307
9.2 Χαμιλτονιανός φορμαλισμός για πεδία................................................................................................. 310
9.3 Σχετικιστική θεωρία πεδίου .................................................................................................................. 312
9.4 Τα θεωρήματα της Noether για πεδία ................................................................................................... 317
9.4.1 Πρώτο θεώρημα της Noether για πεδία ......................................................................................... 318
9.4.2 Δεύτερο θεώρημα της Noether για πεδία....................................................................................... 320
Παραδείγματα-ειδικά θέματα ...................................................................................................................... 322
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 9......................................................................................................................... 343
Κεφάλαιο 10: Κανονική Θεωρία Διαταραχών ............................................................................................ 344
10.1 Θεωρία διαταραχών με εξάρτηση από τον χρόνο ............................................................................... 344
10.2 Θεωρία διαταραχών χωρίς εξάρτηση από τον χρόνο .......................................................................... 346
10.3 Αδιαβατικά αναλλοίωτα...................................................................................................................... 350
Παραδείγματα – Ειδικά θέματα .................................................................................................................. 353
3. Παράδειγμα 3...................................................................................................................................... 357
Προβλήματα ................................................................................................................................................ 358
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 10....................................................................................................................... 360
Κεφάλαιο 11: Μη Γραμμικά Δυναμικά Συστηματά................................................................................... 361
11.1 Ισορροπία ............................................................................................................................................ 361
11.2 Παραμετρικός συντονισμός ................................................................................................................ 371
11.2.1 Ταλάντωση πάνω στον κατακόρυφο άξονα του σημείου στήριξης του εκκρεμούς. ................... 372
11.2.2 Πεδίο βαρύτητας μεταβαλλόμενο περιοδικώς με τον χρόνο ....................................................... 373
11.2.3 Μήκος εκκρεμούς μεταβαλλόμενο περιοδικώς με τον χρόνο. .................................................... 373
11.2.3.1 Ορθό διαταραγμένο εκκρεμές ............................................................................................... 380
11.2.3.2 Αντεστραμμένο διαταραγμένο εκκρεμές............................................................................... 390
11.3 Κλασικό χάος ...................................................................................................................................... 397
11.3.1 Μερικά χρήσιμα εργαλεία για τη μελέτη της χαοτικής συμπεριφοράς ....................................... 400
11.3.2 Περιοδική κίνηση ........................................................................................................................ 402
11.3.3 Ολοκληρωσιμότητα δυναμικών συστημάτων.............................................................................. 404
11.3.4 Διαταραχές και το θεώρημα Kolmogorov-Arnold-Moser (ΚΑΜ) .............................................. 405
11.3.5 Το σύστημα Henon- Heiles.......................................................................................................... 406
11.3.6 Η εξίσωση van der Pol ................................................................................................................. 413
11.3.7 Το σύστημα του διαταραγμένου εκκρεμούς ................................................................................ 418
11.3.8 Εκθέτες Liapunov ........................................................................................................................ 422
11.3.9 Διαγράμματα διακλάδωσης ......................................................................................................... 430
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος
11.3.10 Διαστατικότητα.......................................................................................................................... 435
11.3.11 Λογιστική απεικόνιση ................................................................................................................ 439
Ειδικό θέμα ................................................................................................................................................. 447
Αυτοδιέγερση-Συγχρονισμός .................................................................................................................. 447
Προβλήματα ................................................................................................................................................ 451
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 11....................................................................................................................... 454
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ ......................................................................................................................................... 455
Π1. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ............................................................................. 455
Π2. ΔΙΑΦΟΡΑ ΕΙΔΗ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ ΔΥΝΑΜΗΣ ................................................................................... 456
Π3. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΜΕ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ............................................ 458
Π4. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΔΙΚΗ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑ ................................................ 459
Π5. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ LEGENDRE.................................................................. 463
Π6. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ JACOBI ............................................................................. 467
Π7. ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ ΓΙΑ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ .................................................................. 469
Π7.1 Εξισώσεις των Euler-Lagrange από θεωρία μεταβολών για συνεχή συστήματα .......................... 470
Π7.1.1 Συναρτησιακή παράγωγος. ...................................................................................................... 477
Π7.1.2 Συναρτησιακή παράγωγος της λαγκρανζιανής και της χαμιλτονιανής. .................................. 478
Π7.2 Συμμετρίες Noether. Θεωρήματα Noether .................................................................................... 481
Π7.2.1 Πρώτο θεώρημα της Noether .................................................................................................. 487
Π7.2.2 Δεύτερο θεώρημα της Noether ................................................................................................ 488
Βιβλιογραφία Παραρτημάτων..................................................................................................................... 492
Συνολική Βιβλιογραφία ................................................................................................................................ 493
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ ................................................................................................................................................. 497
Αναλυτική Δυναμική
Πίνακας συντομεύσεων-ακρωνυμίων
LIGO Laser Interferometer Gravitational wave Observatory
BEH Brout- Englert- Higgs
VCO Voltage Controlled Oscillator
KAM Θεώρημα Kolmogorov-Arnold-Moser
ΕΜΠ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 5
Πρόλογος
‘Timeo hominem unius libri’ [Thomas Acquinas]
«Φοβού τον άνθρωπο του ενός βιβλίου» [Θωμάς Ακινάτης]
Αυτό το βιβλίο μπορεί να αποτελέσει βοήθημα για φοιτητές που παρακολουθούν σχετικό μεταπτυχιακό
μάθημα, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί και από προχωρημένους προπτυχιακούς φοιτητές. Το μεγαλύτερο
μέρος από αυτό το βιβλίο διδάχτηκε στο Μεταπτυχιακό: Φυσική και Τεχνολογικές Εφαρμογές,
ΕΜΠ/Δημόκριτος, στα πλαίσια του μαθήματος Κλασική Μηχανική.
Οι φοιτητές που παρακολουθούν ένα τέτοιο μάθημα πρέπει να έχουν γνώση Μηχανικής επιπέδου Γενικής
Φυσικής και κάποια γνώση πιο προχωρημένης Μηχανικής, προπτυχιακού επιπέδου, καθώς και γνώση Ειδικής
Θεωρίας της Σχετικότητας.
Η Μηχανική γενικώς και ειδικότερα η Αναλυτική Μηχανική ή η Αναλυτική Δυναμική είναι κλάδοι της
επιστήμης, που μπορεί να ισχυριστεί κάποιος, αποτελούν το αλφάβητο, το βασικό εργαλείο, που είναι χρήσιμο
για τη μετάβαση σε άλλους κλάδους της φυσικής και της επιστήμης του μηχανικού.
Το περιεχόμενο είναι, κυρίως, κλασική Αναλυτική Δυναμική. Επίσης περιλαμβάνονται και τα βασικά
για τη Μη Γραμμική Δυναμική. Περιλαμβάνονται θέματα κλασικής Θεωρίας Πεδίου και τα θεωρήματα της
Noether.
Δίνονται στοιχεία από τη θεωρία μεταβολών για συστήματα με φυσικές συνοριακές συνθήκες.
Εξετάζονται οι περιπτώσεις όπου η λαγκρανζιανή εξαρτάται από ανώτερες παραγώγους και αναφέρεται το
θεώρημα Ostrogradsky. Αναλύονται διάφορα θέματα που σχετίζονται με τη Γενική Σχετικότητα.
Εξετάζεται το αντίστροφο πρόβλημα της Μηχανικής, δηλαδή πότε από τις εξισώσεις κίνησης μπορεί να
βρεθεί λαγκρανζιανή που να περιγράφει το σύστημα.
Οι προχωρημένες θεωρίες σωματιδίων, σχετικότητας, αστροφυσικής κ.λπ. στηρίζονται στην Αναλυτική
Δυναμική. Επίσης σε θέματα της επιστήμης του Μηχανικού γίνεται μεγάλη χρήση της Αναλυτικής Μηχανικής,
π.χ. κύματα, ταλαντευόμενες κατασκευές, ρευστά, χαοτικά συστήματα κ.λπ.
Το βιβλίο απευθύνεται σε όσους θέλουν να αποκτήσουν μια γεύση από τα αντικείμενα που
πραγματεύονται στις σελίδες του. Για περισσότερες γνώσεις κάποιος μπορεί να ανατρέξει στη βιβλιογραφία
που παρατίθεται εδώ, γενικώς σε άλλα συγγράμματα που είναι πιο εξειδικευμένα. Η βιβλιογραφία περιέχει
βιβλία και δημοσιεύσεις που χρησιμοποιήσαμε σε μικρό ή μεγάλο βαθμό για τη συγγραφή αυτού του
πονήματος, και άλλα για παραπάνω μελέτη.
Το βιβλίο δε μπορεί να διδαχτεί ολόκληρο σε ένα εξάμηνο, ο διδάσκων πρέπει να κάνει κατάλληλη
επιλογή της ύλης που διδάσκει. Όμως είναι χρήσιμο και ως βιβλίο αναφοράς στο αντικείμενό του.
Ας μη ξεχνάμε τον Θωμά Ακινάτη, με τον οποίο ξεκινήσαμε αυτόν τον πρόλογο, κανένα βιβλίο δεν είναι
αρκετό από μόνο του. Το κάθε βιβλίο έχει την αξία του, μπορεί να εξηγεί καλύτερα κάτι που κάποιο άλλο δεν
το κάνει. Αυτό εξαρτάται και από τον αναγνώστη ο οποίος μπορεί να καταλάβει κάτι όταν του δίνεται με τρόπο
που εκείνος καταλαβαίνει καλύτερα.
Ευχαριστούμε το πλήθος των μεταπτυχιακών φοιτητών οι οποίοι παρακολούθησαν το μεταπτυχιακό
μάθημα και με τις παρατηρήσεις τους και την αυστηρή, πολλές φορές, κριτική τους βοήθησαν στη βελτίωση
της παρουσίασης των θεμάτων αυτού του βιβλίου. Η αλληλεπίδραση διδάσκοντος και διδασκομένων είναι πολύ
ουσιαστική στη διαμόρφωση ενός μαθήματος και αντίστοιχου βιβλίου.
Επίσης, ευχαριστούμε τους Καθηγητές, Ιωάννη Βέργαδο, Αλέξανδρο Κεχαγιά, Κωνσταντίνο Κουσουρή,
Γεώργιο Κουτσούμπα, Στέφανο Λεοντσίνη, Νικόλαο Μαυρόματο, Αντώνη Μοδινό, Κυριάκο Ταμβάκη,
Γεώργιο Τσιπολίτη, Κωνσταντίνο Φαράκο, για την ενθάρρυνσή τους ώστε από σημειώσεις να γραφτεί ένα
βιβλίο και για τις σχετικές παρατηρήσεις και υποδείξεις τους.
Επίσης ευχαριστούμε τον Φυσικό Σωτήρη Φραγκίσκο για την μεγάλη συμβολή του στον σχεδιασμό των
σχημάτων και για παρατηρήσεις του σχετικές με το κείμενο του βιβλίου.
Εμμανουήλ Αντ. Δρης Θεόδωρος Η. Αλεξόπουλος
Αθήνα 2021
Αναλυτική Δυναμική 6
Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή
Η λέξη Αναλυτική που υπάρχει στον κλάδο αυτό της Δυναμικής σχετίζεται με το γεγονός ότι γίνεται χρήση του
κλάδου των μαθηματικών που ξέρουμε ως Μαθηματική Ανάλυση. Ο Νεύτωνας στο κλασικό σύγγραμμά του
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, Μαθηματικές Αρχές Φυσικής Φιλοσοφίας (στα λατινικά 1687,
στα αγγλικά 1729), έκανε χρήση των εννοιών της δύναμης και της ορμής. Αυτά είναι δυο μεγέθη που έχουν
τιμή και κατεύθυνση. Παρόλο που στο έργο του ο Νεύτωνας δεν χρησιμοποιεί διανύσματα όπως γίνεται
σήμερα, στην ουσία η Νευτώνεια θεώρηση της Κλασικής Δυναμικής (ή Μηχανικής) στηρίζεται σε σχέσεις
διανυσμάτων. Ο Νεύτωνας κάνει χρήση γεωμετρικών εννοιών και παρόλο που έχει «ανακαλύψει» την έννοια
της παραγώγου δεν την χρησιμοποιεί. Όπως είναι γραμμένο, το σύγγραμμά του είναι δύσκολο να «διαβαστεί».
Στις μέρες μας, ο θεμελιώδης νόμος της δυναμικής (δεύτερος νόμος του Νεύτωνα) γράφεται, στην μορφή με
dp
διανύσματα, ως F .
dt
Στην Αναλυτική Δυναμική γίνεται χρήση δυο βαθμωτών μεγεθών, της κινητικής ενέργειας και της
δυναμικής ενέργειας (ή της δυναμικής συνάρτησης), και στη συνέχεια γίνεται χρήση της Μαθηματικής
Ανάλυσης. Πρωτοπόρος σε αυτή την κατεύθυνση υπήρξε ο σύγχρονος και «αντίπαλος» του Νεύτωνα, ο
Leibniz. Αυτός, ουσιαστικά, εισήγαγε τα δυο ανωτέρω βαθμωτά μεγέθη στη Μηχανική. Στην πράξη, μπορούμε
να πούμε ότι η Αναλυτική Δυναμική είναι η Δυναμική που αναπτύχτηκε από τους Bernoulli, Euler, d’ Alembert,
Lagrange, Hamilton, Poisson, Jacobi, Gauss και άλλους. Αξίζει να τονιστεί ότι στοιχεία της Μηχανικής γενικώς
και της Αναλυτικής Μηχανικής ειδικότερα, υπάρχουν στα έργα πολλών προηγούμενων επιστημόνων. Ένα
παράδειγμα είναι ο Αριστοτέλης ο οποίος αναφέρει, στην πραγματικότητα, την αρχή των δυνατών έργων,
παρόλο που δεν χρησιμοποιεί αυτόν τον όρο. Ακόμη, υπάρχουν κάποιοι στην περίοδο του Μεσαίωνα, στη Δύση
και στο Βυζάντιο. Μερικοί είναι Άραβες. Αναφέρουμε μόνο λίγους από αυτούς που δεν είναι τόσο πολύ
γνωστοί: ο βυζαντινός Ιωάννης ο Φιλόπονος, ο Άραβας Avicenna, ο Roger Bacon κ.α. Είναι βέβαια γνωστό ότι
πολύ σημαντική είναι η συμβολή του Γαλιλαίου.
Με αυτά που εκθέσαμε θέλουμε να τονίσουμε ότι παρόλο που κάποιοι σήκωσαν στους ώμους τους το
κύριο βάρος της εξέλιξης αυτής της επιστήμης, στην πραγματικότητα η διαδικασία της εξέλιξης αυτής της
κατεύθυνσης, όπως και των άλλων κλάδων των επιστημών, στηρίζεται στη δουλειά πολλών ανθρώπων, στα
λάθη τους και στις επιτυχίες τους. Η δουλειά αυτή μπορεί να γίνεται σε διάρκεια ακόμη και πολλών αιώνων.
Πολλοί από αυτούς τους «εργάτες» μένουν αφανείς.
Στη Νευτώνεια μεθοδολογία, το πρόβλημα της δυναμικής υλικού σημείου (σώματος χωρίς χωρικές
διαστάσεις), λύνεται αν γνωρίζουμε τη δύναμη που ασκείται πάνω του και τη μάζα του. Αν υπάρχουν πολλά
υλικά σημεία (σωμάτια) τότε εφαρμόζεται ο θεμελιώδης νόμος της δυναμικής για κάθε ένα σωμάτιο. Αν αυτά
αλληλεπιδρούν το πρόβλημα γίνεται πολύπλοκο. Για την αντιμετώπιση της κίνησης συστημάτων που
αποτελούνται από πολλά υλικά σημεία, ο Νεύτωνας εισήγαγε τον τρίτο νόμο του, δράση ίση με αντίδραση.
Αυτό βέβαια δεν ισχύει για όλες τις δυνάμεις.
Στην περίπτωση στερεού σώματος δεχόμαστε ότι οι εσωτερικές (δηλαδή οι μεταξύ των υλικών σημείων
του στερεού δυνάμεις) είναι ένα είδος κεντρικών δυνάμεων. Με άλλα λόγια, για κάθε ζεύγος σωματίων οι
μεταξύ τους δυνάμεις, βρίσκονται πάνω στον ίδιο φορέα και είναι αντίθετες με ίσες απόλυτες τιμές.
Στη Νευτώνεια θεώρηση, γενικώς, αναγράφονται όλες οι δυνάμεις - διανύσματα που ασκούνται σε κάθε
ένα σωμάτιο του συστήματος, δηλαδή δίνεται έμφαση σε κάθε ένα σωμάτιο χωριστά.
Στην περίπτωση (της θεώρησης) της Αναλυτικής Δυναμικής χρειάζεται να ξέρουμε τη δυναμική
συνάρτηση που γράφεται για όλο το σύστημα των υλικών σημείων, αυτή είναι μια βαθμωτή συνάρτηση πολλών
μεταβλητών. Έτσι έχουμε μια θεώρηση όλου του συστήματος των σωματίων ως συνόλου. Αυτό διευκολύνει
την κατάσταση. Οι επιμέρους δυνάμεις μπορούν να βρεθούν από αυτήν την βαθμωτή συνάρτηση.
Ένα ακόμη μεγαλύτερο πλεονέκτημα της Αναλυτικής Δυναμικής παρουσιάζεται σε περιπτώσεις όπου
υπάρχουν δεσμοί, δηλαδή τα σωμάτια δεν είναι ελεύθερα να κινούνται στον χώρο υπό την επίδραση δεδομένων
δυνάμεων αλλά περιορίζονται από διάφορα αίτια. Οι δεσμοί ασκούν δυνάμεις (δυνάμεις δεσμών) πάνω στα
υλικά σημεία οι οποίες όμως δεν είναι δεδομένες εκ των προτέρων αλλά μπορεί να προσδιοριστούν αν κάποιος
λύσει πρώτα το πρόβλημα με κάποιον τρόπο. Η Αναλυτική δυναμική μπορεί να λύσει πολλά τέτοια προβλήματα
χωρίς να εισέρχονται από την αρχή οι δυνάμεις των δεσμών.
Σημειώνουμε ότι οι εξισώσεις Lagrange της Αναλυτικής Μηχανικής έχουν την ίδια μορφή ανεξάρτητα
από το ποιες είναι οι (γενικευμένες) συντεταγμένες που χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό της θέσης του
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 7
συστήματος. Αυτό είναι χρήσιμο σε διάφορες θεωρίες όπου οι εξισώσεις χρειάζεται να έχουν αναλλοίωτη
μορφή ανεξάρτητη των συντεταγμένων. Πολύ χαρακτηριστική είναι η περίπτωση της Γενικής Σχετικότητας,
αλλά αυτή δεν είναι η μόνη περίπτωση.
Αναφέρουμε ότι ο Lagrange με το σύγγραμμά του (στα Γαλλικά) με τίτλο Αναλυτική Μηχανική (1788),
κατάφερε να φτιάξει, όπως λέει, μια νέα ισχυρή μεθοδολογία με την οποία μπορεί να λυθεί κάθε πρόβλημα
Μηχανικής μόνο με καθαρό λογισμό (Απειροστικό Λογισμό), δηλαδή χωρίς αναφορά σε φυσικές ή γεωμετρικές
θεωρήσεις. Προϋπόθεση γι’ αυτό είναι να δίνεται η Κινητική Ενέργεια και η Δυναμική Ενέργεια του
συστήματος σε αφηρημένη αναλυτική μορφή. Στον πρόλογο του παραπάνω βιβλίου του αναφέρεται σε αυτή
την εξαιρετική επιτυχία με τα εξής λόγια: «Ο αναγνώστης δεν θα βρει κανένα σχήμα σε αυτό το βιβλίο. Οι
μέθοδοι που χρησιμοποιώ δεν χρειάζονται ούτε κατασκευές (σχήματα) ή γεωμετρική ή μηχανική
επιχειρηματολογία: χρειάζονται μόνο αλγεβρικές διαδικασίες, υποκείμενες σε έναν κανονικό και ομοιόμορφο
κανόνα μεθοδολογίας.». Το κείμενο σε αγγλική μετάφραση είναι:“The reader will find no figures in the work.
The methods which I set forth do not require either constructions or geometrical or mechanical reasonings: but
only algebraic operations, subject to a regular and uniform rule of procedure.”
Ένα άλλο πιο «σύγχρονο» βιβλίο (το οποίο έχουμε στην βιβλιογραφία μας): A Treatise on the Analytical
Dynamics of Particles and Rigid Bodies by E. T. Whittaker, Fourth Edition 1965, ( First edition 1904), είναι
γραμμένο στο παραπάνω πνεύμα, δεν έχει κανένα σχήμα και κανένα σύνηθες σύμβολο διανύσματος.
Από τις βασικές αρχές της Αναλυτικής Μηχανικής είναι η αρχή των δυνατών μετατοπίσεων και η αρχή
των δυνατών έργων. Αυτή είναι μια αρχή που, σε αντίθεση με τον θεμελιώδη νόμο του Νεύτωνα, εμπεριέχει
αρκετή αφαίρεση διότι αναφέρεται σε μη πραγματικές μετατοπίσεις, αφού οι μετατοπίσεις δεν γίνονται
συναρτήσει του χρόνου αλλά γίνονται με τον χρόνο σταθερό (παγωμένο).
Πολύ χρήσιμη και με αρκετή αφαίρεση είναι η εισαγωγή εννοιών της θεωρίας μεταβολών στην
Αναλυτική Δυναμική. Πρόκειται για ολοκληρω(μα)τικές αρχές όπου οι νόμοι δεν αναφέρονται σε ένα σημείο
του χώρου των θέσεων αλλά σε ολόκληρες «τροχιές» του συστήματος. Το σύστημα, από πολλές γειτονικές
τροχιές «διαλέγει» και διαγράφει την πραγματική τροχιά του, η οποία είναι αυτή για την οποία ισχύει ότι κάποια
ολοκληρω(μα)τική ποσότητα είναι στάσιμη.
Σε αυτή την κατεύθυνση έπαιξαν ρόλο πολλοί επιστήμονες αλλά μπορούμε να ξεχωρίσουμε τον
κυριότερο, που είναι ο Hamilton. Φυσικά υπάρχουν και πάλι οι «Αρχαίοι», όπως ο Ήρων από την Αλεξάνδρεια,
που εξηγούσε την ανάκλαση του φωτός με την αρχή ελαχίστου που φέρει το όνομά του.
Η Αναλυτική Δυναμική μπορεί να χωριστεί στη Δυναμική Lagrange και στη Δυναμική των Hamilton,
Euler και άλλων. Μπορεί ένας άλλος κλάδος να πούμε ότι είναι η Μηχανική των Hamilton και Jacobi.
Σε βιβλία που αναφέρουμε στη βιβλιογραφία, στο τέλος αυτού του πονήματος, μπορεί κάποιος να βρει
πολλά ιστορικά στοιχεία σχετικά με τη Μηχανική γενικώς, και την Αναλυτική Δυναμική ειδικότερα.
Η μεθοδολογία κατά Νεύτωνα (νευτώνεια μεθοδολογία ή νευτώνεια θεώρηση) είναι χρήσιμη κυρίως στη
στατική και για απλά προβλήματα δυναμικής. Για πιο σύνθετα προβλήματα με πολλά σωμάτια, όπου μπορεί
να υπάρχουν μεταξύ τους και δεσμοί, είναι πιο εύχρηστη η περισσότερο αφαιρετική και λίγο πιο πέρα από τις
συνήθεις εμπειρίες μας, Αναλυτική Δυναμική.
Η Αναλυτική Δυναμική εκτός των άλλων είναι το σκαλοπάτι για την ανάπτυξη πιο προχωρημένων
θεωριών όπως είναι η Κβαντική Φυσική στις διάφορες μορφές της, και η Γενική Σχετικότητα αλλά και η
Κλασική Ηλεκτροδυναμική, η Ρευστομηχανική κ.λπ.
Είναι χρήσιμο να τονίσουμε ότι πολλές φορές θα χρησιμοποιήσουμε σχέσεις οι οποίες δεν φαίνεται να
είναι διαστατικά σωστές, δεν ανήκουν σε συνεπές (coherent) σύστημα μονάδων και μεγεθών. Αυτό απαντάται
πολύ συχνά στα Μαθηματικά όπου τα μαθηματικά μεγέθη θεωρούνται αδιάστατα. Στην περίπτωση της
Μηχανικής ένας τρόπος που μπορούμε να σκεφτούμε είναι ότι τα φυσικά μεγέθη και οι μονάδες έχουν
μετασχηματιστεί έτσι που κάποιες φυσικές σταθερές να έχουν αριθμητική τιμή ίση με τη μονάδα. Αυτό γίνεται
με κατάλληλη διαδικασία που στηρίζεται στη διαστατική ανάλυση, σε κλάδους όπως η Φυσική Υψηλών
Ενεργειών ή Στοιχειωδών Σωματιδίων. Ένας πιο εύκολος τρόπος είναι να θεωρούμε αυτές τις σχέσεις ως
εμπειρικές σχέσεις, δηλαδή ότι ισχύουν μεταξύ αριθμητικών τιμών για συγκεκριμένες μονάδες μέτρησης. Ως
παράδειγμα, ας δούμε τη σχέση, y tx 0 , όπου x, y είναι οι δυο καρτεσιανές συντεταγμένες ενός υλικού
σημείου και t είναι ο χρόνος. Ας υποθέσουμε ότι οι μονάδες είναι οι συνήθεις μονάδες του SI. Τότε αυτή η
σχέση είναι εμπειρική σχέση, δεν είναι διαστατικά σωστή, δεν είναι ομογενής. Η σχέση μπορεί να μετατραπεί
σε ομογενή σχέση μεταξύ φυσικών μεγεθών που να ανήκει σε συνεπές σύστημα μονάδων, όπως το SI, αν της
δώσουμε τη μορφή y ktx 0 , όπου στο SI το k είναι μια σταθερά με διαστάσεις αντιστρόφου χρόνου και
στην περίπτωσή μας έχει τιμή k 1 s 1 . Μια άλλη περίπτωση είναι όταν γράφουμε ότι η κινητική ενέργεια
Αναλυτική Δυναμική 8
1 2
σωματίου είναι T x . Ας υποθέσουμε ότι το x μετριέται σε m, ο χρόνος σε s και η ενέργεια σε J . Αυτή η
2
σχέση ισχύει μεταξύ των αριθμητικών τιμών των διαφόρων μεγεθών, όταν η μάζα του σωματίου ισούται με 1
kg. Επίσης, η ίδια σχέση ισχύει μεταξύ των αριθμητικών τιμών αν μονάδες μέτρησης είναι το cm, το s και το
erg, ενώ η μάζα ισούται με 1 g. Η διαστατικά σωστή έκφραση για την κινητική ενέργεια είναι η γνωστή
1
T mx 2 , που ισχύει στο SI (ισχύει και σε άλλα παλιότερα συνεπή συστήματα φυσικών μεγεθών και
2
μονάδων). Αυτή η σχέση ισχύει για οποιαδήποτε μάζα και όχι μόνο για μάζα 1 kg. Μια άλλη θεώρηση είναι να
θεωρούμε ότι το x έχει μετασχηματιστεί και σημαίνει mx . Σε άλλες περιπτώσεις όπως των Στοιχειωδών
Σωματιδίων χρειάζεται στο τέλος να επανέλθουν οι σχέσεις στην ομογενή τους μορφή, π.χ. με μονάδες του SI.
Αυτό ακολουθεί μια κατάλληλη, αντίστροφη, διαδικασία. Στην περίπτωσή μας αυτό δεν θα χρειάζεται να γίνει.
Αν οι τελικές σχέσεις θέλουμε να είναι ομογενείς, διαστατικά σωστές, τότε από την αρχή όλες οι σχέσεις θα
είναι ομογενείς.
1.1 Συντεταγμένες θέσης
Οι νόμοι του Νεύτωνα για την κίνηση μηχανικού συστήματος εκφράζονται με (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης
συνήθως σε καρτεσιανές συντεταγμένες του καθενός σωματίου (υλικού σημείου) του συστήματος. Πολλές
φορές οι καρτεσιανές δεν είναι οι πιο βολικές συντεταγμένες για να λυθεί το πρόβλημα. Αν για παράδειγμα
έχουμε κεντρική κίνηση σωματίου, τότε είναι πιο βολική η εισαγωγή σφαιρικών ή πολικών συντεταγμένων. Σε
άλλες περιπτώσεις, όταν έχουμε σύστημα σωματίων, είναι βολικό να διαχωριστεί η κίνηση σε κίνηση του
κέντρου μάζας του, η οποία, για παράδειγμα, μπορεί να περιγράφεται με καρτεσιανές συντεταγμένες και σε
κίνηση ως προς σύστημα του κέντρου μάζας του που μπορεί, για παράδειγμα, να είναι σφαιρικές
συντεταγμένες. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις η θέση του κάθε σωματίου καθορίζεται στον τρισδιάστατο χώρο,
από τρία διατεταγμένα μεγέθη, που είναι οι συντεταγμένες του σωματίου.
Στην περίπτωση με δεσμούς μεταξύ των σωματίων συστήματος, όπως στην κίνηση στερεού, τα σωμάτια
κινούνται κατά τρόπο που η γνώση της θέσης κάποιων από αυτά μια χρονική στιγμή, προσδιορίζει τη θέση των
άλλων την ίδια χρονική στιγμή. Σε αυτή την περίπτωση ο αριθμός των απαραίτητων συντεταγμένων θέσης είναι
μικρότερος από τον αριθμό των συντεταγμένων όλων των σωματίων.
Γενικώς, στον συνήθη φορμαλισμό του Νεύτωνα για τη Δυναμική, ξεκινούμε από τις εξισώσεις κίνησης
σε καρτεσιανές συντεταγμένες και μπορούμε να καταλήξουμε στις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης σε μη
καρτεσιανές συντεταγμένες. Όταν υπάρχουν δεσμοί τότε υπεισέρχονται στις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης
και οι δυνάμεις των δεσμών, οι οποίες προσδιορίζονται λύνοντας το σύστημα των (διαφορικών) εξισώσεων για
το μηχανικό σύστημα.
Μπορεί κάποιος να ορίσει ως Γενικευμένες Συντεταγμένες οποιοδήποτε σύστημα μεγεθών είναι δυνατόν
να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει τη θέση κάποιου μηχανικού συστήματος, συμπεριλαμβανομένων και των
καρτεσιανών συντεταγμένων. Πολλές φορές τις λέμε και απλώς συντεταγμένες. Οι αντίστοιχες παράγωγοι
αυτών των συντεταγμένων ως προς τον χρόνο είναι οι γενικευμένες ταχύτητες ή απλώς ταχύτητες. Πολλοί
θεωρούν ως γενικευμένες συντεταγμένες, μόνο τις ανεξάρτητες εκείνες συντεταγμένες οι οποίες αποτελούν το
ελάχιστο σύνολο συντεταγμένων που είναι αρκετές για τον προσδιορισμό της θέσης συστήματος σωματίων.
Όλες τις άλλες τις ονομάζουν απλώς συντεταγμένες. Ακόμη χρησιμοποιείται ο όρος γνήσιες (ή κύριες)
γενικευμένες συντεταγμένες για τις ανεξάρτητες ελάχιστες απαιτούμενες συντεταγμένες και ο όρος
γενικευμένες συντεταγμένες χρησιμοποιείται για τις συντεταγμένες γενικώς. Θα ακολουθούμε, λίγο πολύ, αυτή
την τελευταία ονοματολογία με την έννοια ότι θα παραλείπουμε, μερικές φορές, όταν δεν δημιουργείται
ασάφεια, τον όρο «γνήσιες» ή «κύριες συντεταγμένες».
Στα πλαίσια της Αναλυτικής Δυναμικής μπορεί να καταλήγουμε στις εξισώσεις Lagrange οι οποίες έχουν
την ίδια μορφή, ανεξάρτητα από το είδος των γενικευμένων συντεταγμένων. Αυτές είναι γενικές (διαφορικές)
εξισώσεις από τις οποίες μπορούμε να βρούμε τις επιμέρους (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης για κάθε επιμέρους
μηχανικό σύστημα. Επίσης μπορεί να επιτευχθεί, να μην εμφανίζονται οι δυνάμεις των δεσμών, εφόσον αυτές
δεν παράγουν έργο υπό κάποιες συνθήκες (π.χ. περίπτωση στερεού σώματος). Αυτή η ιδέα ξεκίνησε από τον
Lagrange. Συνήθως, για τις γενικευμένες συντεταγμένες, χρησιμοποιείται κατά κανόνα ο συμβολισμός:
q1 , q2 ,..., qn και q (q1 , q2 ,..., qn ) .
Για τον καθορισμό της θέσης Ν σωματίων που αποτελούν κάποιο μηχανικό σύστημα, χρειάζονται 3Ν
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 9
καρτεσιανές συντεταγμένες θέσης ή 3Ν άλλες κατάλληλες (γενικευμένες) συντεταγμένες. Στην πιο απλή
περίπτωση οι συντεταγμένες είναι σε ομάδες των τριών, διότι χρειάζονται τρεις συντεταγμένες για κάθε ένα
σωμάτιο. Γενικώς, οι συντεταγμένες δεν είναι απαραίτητο να είναι σε διακριτές τριάδες, όμως για Ν σωμάτια
χρειάζονται συνολικά πάντα 3Ν συντεταγμένες. Ο χώρος αυτών των συντεταγμένων, λέγεται (configuration
space) «θεσικός χώρος» ή «χώρος των θέσεων». Σε κάθε τέτοιο χώρο 3Ν διαστάσεων η θέση του συστήματος
παριστάνεται με ένα σημείο που έχει 3 N συντεταγμένες. Ο χώρος αυτός με διαστάσεις πλήθους 3 N είναι ο
πλήρης θεσικός χώρος για N σωμάτια, ανεξάρτητα του αν υπάρχουν δεσμοί τέτοιοι που να περιορίζουν το
πλήθος των ανεξάρτητων γενικευμένων συντεταγμένων (γνήσιες γενικευμένες συντεταγμένες). Όταν υπάρχουν
δεσμοί που περιορίζουν τις ανεξάρτητες συντεταγμένες θέσης, τότε αν οι (γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες
είναι n ισχύει n 3N , όπου η ισότητα ισχύει αν δεν υπάρχουν τέτοιοι δεσμοί. Παρόλο που αναφερόμαστε
στις θέσεις των Ν σωματίων συστήματος, στην πράξη αυτό δεν είναι συνήθως απαραίτητο. Για παράδειγμα, αν
έχουμε στερεό σώμα, τότε μας ενδιαφέρει ο προσδιορισμός της θέσης του στερεού ως συνόλου, πράγμα που
χρειάζεται πολύ λίγες συντεταγμένες. Γενικώς κατά την αλλαγή συντεταγμένων, υπάρχουν σχέσεις
(μετασχηματισμοί) που συνδέουν τις «νέες» ( q ) με τις «παλιές» ( q ) συντεταγμένες, στη μετατροπή μπορεί
να υπάρχει και ο χρόνος, qi q(q1 , q2 ,...qm , t ), i 1, 2,..., n . Αν υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των
συντεταγμένων, τότε οι νέες συντεταγμένες είναι λιγότερες από τις παλιές, n m . Πολλές φορές είναι βολικό
να ξεκινήσουμε από καρτεσιανές συντεταγμένες, οπότε οι παλιές συντεταγμένες είναι καρτεσιανές και οι νέες
οποιεσδήποτε γενικευμένες συντεταγμένες. Αυτό γίνεται κυρίως, γιατί στη νευτώνεια θεώρηση της μηχανικής
προσφέρονται καλύτερα οι καρτεσιανές συντεταγμένες. Γενικώς όμως, οι ανωτέρω μετασχηματισμοί μπορεί
να είναι μεταξύ οποιουδήποτε τύπου συντεταγμένων.
Ακόμη πρέπει να πούμε ότι, όταν αναφερόμαστε σε σωμάτια χρειάζεται πολλές φορές να αθροίσουμε
μεγέθη των διαφόρων σωματίων, δηλαδή έχουμε διακριτά αθροίσματα. Σε άλλες περιπτώσεις, που δεν έχουμε
διακριτά σημεία αλλά συνεχείς κατανομές (για παράδειγμα ένα συμπαγές στερεό), τότε έχουμε ολοκληρώματα.
Παρόλα αυτά θα λέμε πάντα ότι αθροίζουμε, θεωρώντας και τα ολοκληρώματα ως ένα είδος αθροίσματος.
1.2 Δεσμοί
Μεταξύ των σωματίων μηχανικού συστήματος μπορεί να υπάρχουν γεωμετρικοί περιορισμοί (δεσμοί,
σύνδεσμοι), που περιορίζουν τον χώρο των θέσεων, δηλαδή το πλήθος των ελάχιστων απαιτούμενων
συντεταγμένων (γνήσιες συντεταγμένες) για τον προσδιορισμό της θέσης του συστήματος. Μπορεί όμως να
υπάρχουν κινηματικοί δεσμοί οι οποίοι περιορίζουν την κινητικότητα του συστήματος, δηλαδή τις στοιχειώδεις
μετατοπίσεις του και επομένως και τις ταχύτητές του. Κάθε γεωμετρικός περιορισμός περιορίζει και τις
στοιχειώδεις μετατοπίσεις του συστήματος, δηλαδή είναι και κινηματικός περιορισμός, ενώ κάθε κινηματικός
περιορισμός δεν είναι κατ’ ανάγκη και γεωμετρικός περιορισμός.
Για ένα σωμάτιο το οποίο είναι περιορισμένο να κινείται μέσα σε ένα κουτί που είναι ορθογώνιο
παραλληλεπίπεδο, οι δεσμοί εκφράζονται με ανισότητες. Χρησιμοποιείται ο όρος αμφιμερείς δεσμοί για
δεσμούς που εκφράζονται με ισότητες και μονομερείς δεσμοί για δεσμούς που εκφράζονται με ανισότητες. Θα
ασχοληθούμε αποκλειστικά με αμφιμερείς δεσμούς, δηλαδή με δεσμούς που εκφράζονται με ισότητες. Πολλές
φορές ανάγουμε, με διάφορα τεχνάσματα, μονομερείς δεσμούς σε αμφιμερείς για να απλοποιήσουμε το
πρόβλημα και να μπορέσουμε να το λύσουμε πιο εύκολα. Για παράδειγμα, τέτοια περίπτωση είναι η μελέτη της
ολίσθησης χωρίς τριβή, σωματίου στο εξωτερικό κατακόρυφης κυκλικής στεφάνης, μέσα σε πεδίο βαρύτητας,
όπου μας ενδιαφέρει, πότε το σωμάτιο θα ξεφύγει από την επιφάνεια της στεφάνης.
Ας εξετάσουμε το παράδειγμα ομογενούς κυκλικού δίσκου ακτίνας a που μπορεί να κυλίεται σε
οριζόντιο επίπεδο, Σχ. 1.1. Η ευθεία ΕD βρίσκεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο x, y και στο επίπεδο του
δίσκου, δηλαδή είναι η τομή των δυο αυτών επιπέδων. Η ευθεία ΡΑ βρίσκεται στο επίπεδο του δίσκου και είναι
κάθετη στην ευθεία ΕD. Εφόσον ο δίσκος είναι ομογενής, η PΑ περνά από το κέντρο, Κ, του δίσκου. Η ευθεία
ΡΒ βρίσκεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο xy και είναι κάθετη στην ΕD. Η c είναι η τροχιά που διαγράφει το
σημείο επαφής Ρ (δίσκου με το οριζόντιο επίπεδο) πάνω στο οριζόντιο επίπεδο. Η σημασία των γωνιών είναι
κατανοητή από το σχήμα. Γενικώς, η θέση του δίσκου προσδιορίζεται από τις δυο καρτεσιανές συντεταγμένες
x, y του σημείου επαφής με το οριζόντιο επίπεδο και από τις γωνίες , , . Αν η επαφή είναι λεία (που
υποθέτουμε ότι σημαίνει χωρίς τριβή) τότε ο δίσκος, κατά τη μετατόπισή του, μπορεί και ολισθαίνει στο
επίπεδο προς όλες τις κατευθύνσεις και οι πέντε αυτές συντεταγμένες είναι ανεξάρτητες, οπότε μπορούν να
Αναλυτική Δυναμική 10
πάρουν οποιαδήποτε τιμή. Επίσης, είναι επιτρεπτή οποιαδήποτε μικρή ή μεγάλη μεταβολή αυτών των
γενικευμένων συντεταγμένων.
Σχήμα 1.1 Ομογενής κυκλικός δίσκος που μπορεί να κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο.
Αν η επαφή είναι τραχεία, τότε θεωρούμε ότι η τριβή να είναι τέτοια που ο δίσκος να μπορεί να κυλίεται
στο επίπεδο, χωρίς να μπορεί να ολισθαίνει σε καμιά κατεύθυνση. Σε αυτή την περίπτωση οι πέντε γενικευμένες
συντεταγμένες εξακολουθούν να μπορούν να πάρουν όλες τις τιμές που μπορούσαν να πάρουν και πριν, παρόλο
που τώρα υπάρχει ο περιορισμός της μη ολίσθησης. Τονίζουμε ότι ο θεσικός χώρος μένει ο ίδιος, με τις ίδιες
διαστάσεις, όμως οι στοιχειώδεις μετατοπίσεις δεν μπορεί να επιλεγούν αυθαίρετα, δεν είναι ανεξάρτητες. Αν
οι στοιχειώδεις μετατοπίσεις δεν είναι ανεξάρτητες, τότε συμπεραίνουμε ότι και οι αντίστοιχες ταχύτητες δεν
θα είναι ανεξάρτητες. Θα περιοριστούμε στην περίπτωση που ο δίσκος κινείται έτσι ώστε το επίπεδό του να
είναι συνεχώς κατακόρυφο, π / 2 , τώρα οι γενικευμένες συντεταγμένες είναι τέσσερις, οι x, y, , . Είναι
πιο βολικό να ξεκινήσουμε με την δέσμευση για τις ταχύτητες που είναι γνωστή από τη Γενική Φυσική. Οι
συντεταγμένες x, y του κέντρου του δίσκου είναι ίδιες με τις αντίστοιχες συντεταγμένες του σημείου επαφής
Ρ. Επομένως έχουμε για την τιμή της ταχύτητας του κέντρου του δίσκου και του σημείου επαφής Ρ
a .
Η διανυσματική ταχύτητα βρίσκεται στο επίπεδο του δίσκου και είναι οριζόντια, έχουμε
x cos a cos , y sin a sin .
Από τις τελευταίες βρίσκουμε για στοιχειώδεις μετατοπίσεις ότι
dx a cos d 0
(1.1)
dy a sin d 0.
Αυτό είναι το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων του δεσμού (περιορισμού) μεταξύ των στοιχειωδών
μετατοπίσεων. Βλέπουμε ότι οι στοιχειώδεις μετατοπίσεις δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Θα δούμε
παρακάτω ότι δεν υπάρχει περιορισμός στις τιμές των συντεταγμένων, δηλαδή στον θεσικό χώρο. Αυτό
σημαίνει ότι οι διαφορικές εξισώσεις (1.1) δεν μπορούν να ολοκληρωθούν, αυτό σημαίνει ότι δεν μπορούν να
προκύψουν δυο δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των συντεταγμένων, ισοδύναμες με αυτές τις διαφορικές
εξισώσεις. Έχουμε καθαρά κινηματικούς δεσμούς που δεν είναι και γεωμετρικοί δεσμοί.
Γενικώς, είναι δυνατόν οι ίδιοι φυσικοί περιορισμοί να εκφράζονται με διαφορετικές διαφορικές
εξισώσεις. Για παράδειγμα, οι παραπάνω φυσικοί περιορισμοί, μπορούν να εκφραστούν με τις παρακάτω
διαφορικές εξισώσεις, που περιέχουν και μη γραμμικά διαφορικά, οπότε αντί για τις Εξ. (1.1) έχουμε τις
εξισώσεις
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 11
(dx)2 (dy)2 a 2 (d )2 0, sin dx cos dy 0 (1.2)
Η πρώτη εξίσωση εκφράζει τη μη ύπαρξη ολίσθησης στο επίπεδο κύλισης και η δεύτερη την μη ύπαρξη
ολίσθησης στο κάθετο προς το επίπεδο κύλισης, επίπεδο.Σε αυτό το σημείο εισάγουμε μερικές μαθηματικές
έννοιες οι οποίες είναι χρήσιμες στην περιοχή αυτή της Μηχανικής με δεσμούς. Οι περισσότεροι δεσμοί της
Μηχανικής εκφράζονται με τις διαφορικές εξισώσεις που θα δούμε παρακάτω.
Οι γραμμικές ως προς τα διαφορικά εκφράσεις
m
C
i 1
li (z1 ,z2 ,...,zm )dzi , l 1, 2,..., M
λέγονται διαφορικές εκφράσεις του Pfaff, προς τιμή του Γερμανού μαθηματικού που τις εισήγαγε.
Υποθέτουμε ότι οι εκφράσεις αυτές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.
Οι παρακάτω διαφορικές εξισώσεις (1.3) προκύπτουν από τις παραπάνω M διαφορικές εκφράσεις,
m
C (z ,z ,...,z
i 1
li 1 2 m )dzi 0, l 1, 2,..., M
(1.3)
M m
Αυτές λέγονται (διαφορικές) εξισώσεις του Pfaff και αποτελούν ένα σύστημα εξισώσεων που θα
θεωρούμε ότι είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Είναι ένα πλήθος M δεσμευτικών σχέσεων που πρέπει να είναι
μικρότερο του πλήθους m των μεταβλητών ώστε μερικά από τα διαφορικά dz να μπορούν να εκφραστούν
συναρτήσει των άλλων. Αν M m τότε όλα τα dz είναι καθορισμένα, είναι συναρτήσεις μόνο των z . Αν
υπάρχουν περισσότερες σχέσεις ή δεν θα είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ή δεν θα είναι συμβατές, δηλαδή δεν
θα ισχύουν όλες μαζί.
Η ανεξαρτησία μεταξύ των διαφορικών αυτών εξισώσεων πλήθους M σημαίνει ότι η μήτρα M m των
συντελεστών Cli στην Εξ. (1.3) είναι τάξης M .
Μπορεί πάντοτε να βρεθούν τροχιές (καμπύλες, λύσεις) στον χώρο των m διαστάσεων των μεταβλητών
z , που πληρούν το παραπάνω σύστημα, Εξ. (1.3). Αυτές οι καμπύλες μπορεί να πάρουν την παρακάτω
παραμετρική μορφή και συνηθίζεται να τις ονομάζουν μη γνήσιες (καταχρηστικές) λύσεις,
z( ) z1 ( ), z2 ( ),..., zm ( ) (1.4)
Ισχύει ο εξής ορισμός: Οι M το πλήθος Εξ. (1.3) είναι πλήρως (όλες μαζί) ολοκληρώσιμες αν υπάρχουν
M αλγεβρικές σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών z που τις πληρούν, ή καλύτερα, είναι ισοδύναμές τους. Οι
σχέσεις αυτές έχουν την παρακάτω μορφή και συνηθίζεται να λέγονται γνήσιες (αλγεβρικές) λύσεις,
hl ( z1 , z2 ,..., zm ) cl (1.5)
Πρόκειται για «επιφάνειες» σε πολυδιάστατο χώρο.
Η cl είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Η κάθε σταθερά παίρνει ένα συνεχές σύνολο τιμών. Αυτό σημαίνει
ότι αν πάρουμε M ανεξάρτητους γραμμικούς συνδυασμούς των διαφορικών εξισώσεων (1.3), με
πολλαπλασιαστές κατάλληλες συναρτήσεις των z , καταλήγουμε σε διαφορικές εξισώσεις που η καθεμιά είναι
ολικό διαφορικό οπότε οδηγούνται σε M σχέσεις της μορφής, (1.5). Αυτή είναι η έννοια ολοκληρωσιμότητας
τύπου Frobenius. Γενικώς υπάρχουν λιγότερες εξισώσεις από αγνώστους, οπότε με τη συνήθη έννοια, το
σύστημα είναι απροσδιόριστο. Λέμε τότε πως έχουμε λύσεις του συστήματος υπό μορφή επιφανειών στον χώρο
των m διαστάσεων. Όταν δεν είναι ολοκληρώσιμες δεν υπάρχουν τέτοιες σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών
αλλά υπάρχουν μόνο λύσεις-τροχιές της μορφής (1.4). Για την πλήρη μελέτη του θέματος απαιτούνται
προχωρημένες γνώσεις Διαφορικής Γεωμετρίας που ξεφεύγουν από τα πλαίσια αυτού του πονήματος.
Αναλυτική Δυναμική 12
Θα δούμε αργότερα, την έννοια ολοκληρωσιμότητας συστημάτων διαφορικών εξισώσεων, όπου
προσδιορίζονται αναλλοίωτες (διατηρούμενες) ποσότητες. Στη Μηχανική τέτοια είναι τα ολοκληρώματα
κίνησης και σχετίζονται με την εύρεση λύσεων συστημάτων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξεως, π.χ.
διατηρούμενη ενέργεια. Αυτή λέγεται ολοκληρωσιμότητα Liouville.
Για κάθε l οι Εξ. (1.5) αντιπροσωπεύουν μια μονοπαραμετρική οικογένεια υπερεπιφανειών, διάστασης
m 1 , που είναι εμβαπτισμένες μέσα σε χώρο διάστασης m . Αυτό ισχύει διότι όπως είπαμε η κάθε μια
σταθερά cl που ανήκει σε συγκεκριμένη σχέση των Εξ. (1.5) παίρνει διάφορες τιμές, ενώ η συναρτησιακή
μορφή hl παραμένει ίδια. Οι υπερεπιφάνειες της μονοπαραμετρικής οικογένειας (δεδομένο l , διάφορες τιμές
του cl ) δεν τέμνονται μεταξύ τους. Η τομή M τέτοιων υπερεπιφανειών, με διαφορετικά l , είναι υπόχωρος
m M διαστάσεων, του χώρου των m διαστάσεων.
Όταν το σύστημα διαφορικών εξισώσεων είναι πλήρως ολοκληρώσιμο, τότε οι καμπύλες των Εξ. (1.4)
(μη γνήσιες λύσεις, καταχρηστικές) βρίσκονται σε αυτόν τον υπόχωρο.
Για το πλήρως ολοκληρώσιμο σύστημα ισχύει ένα ή συνδυασμός από τα παρακάτω:
α) η κάθε διαφορική έκφραση είναι ολικό διαφορικό ή μπορεί να γίνει ολικό διαφορικό με
πολλαπλασιασμό επί κατάλληλο, μη μηδενικό ολοκληρωτικό παράγοντα (ο οποίος είναι,
γενικώς, συνάρτηση των μεταβλητών).
β) υπάρχουν γραμμικοί συνδυασμοί των Εξ. (1.3), μετά από πολλαπλασιασμό τους με παράγοντες
που είναι συναρτήσεις των μεταβλητών, οι οποίοι γραμμικοί συνδυασμοί είναι ολικά
διαφορικά.
Μπορούμε να καταλάβουμε ότι το δεύτερο περιλαμβάνει το πρώτο, ως ειδική περίπτωση.
Εκτός από την σχετικά απλή περίπτωση μιας (μοναδικής) διαφορικής εξίσωσης, η μελέτη του
προβλήματος που αναφέρεται σε σύστημα (πολλών) διαφορικών εξισώσεων είναι γενικώς πολύπλοκο.
Μπορεί μέρος του συστήματος να είναι ολοκληρώσιμο, με την ανωτέρω έννοια, ενώ οι υπόλοιπες
εξισώσεις του να μην είναι. Το σύστημα τότε είναι μερικώς ολοκληρώσιμο.
Για σύστημα το οποίο είναι πλήρως ολοκληρώσιμο, σε κάθε σημείο του χώρου υπάρχουν γειτονικά
σημεία που δεν ενώνονται με αυτό ακολουθώντας τις διαδρομές (1.4) , οι οποίες πληρούν τις παραπάνω
διαφορικές εξισώσεις. Αυτό συμβαίνει διότι οι λύσεις θα βρίσκονται πάνω στις «τομές» M υπερεπιφανειών
διάστασης η κάθε μια ίσης με m 1 . Η κάθε μια υπερεπιφάνεια ανήκει σε μια από τις M οικογένειες
υπερεπιφανειών. Το αρχικό σημείο βρίσκεται πάνω σε κάποια τομή από όπου περνά λύση. Όποια σημεία
(ακόμη και πολύ γειτονικά στο αρχικό) δεν βρίσκονται πάνω σε τέτοιες τομές δεν μπορούν να ενωθούν με το
αρχικό γιατί η λύση δεν μπορεί να βγει έξω από αυτόν τον υπόχωρο.
Όσα αναφέρουμε εδώ, έχουν εφαρμογή και στη θερμοδυναμική. Σχετίζονται με το θεώρημα του
Καραθεοδωρή, το οποίο χρησιμοποίησε για να αναδιατυπώσει το Δεύτερο Θερμοδυναμικό Αξίωμα.
Μια (μοναδική) διαφορική εξίσωση μπορεί να είναι ολοκληρώσιμη, με την παραπάνω έννοια, χωρίς να
είναι ολικό διαφορικό, αυτό σημαίνει ότι μπορεί να γίνει ολικό διαφορικό αν πολλαπλασιαστεί επί κάποιον
κατάλληλο ολοκληρωτικό παράγοντα.
Αν υπάρχει ένας ολοκληρωτικός παράγοντας μπορεί να βρεθεί άπειρο πλήθος ολοκληρωτικών
παραγόντων.
Για το πλήθος L των ολοκληρωμάτων (αν υπάρχουν), ισχύει L M , όπου M το πλήθος των
ανεξάρτητων διαφορικών εξισώσεων. Το σύστημα μπορεί να είναι πλήρως ( L M ) , μερικώς ( L M ) ή
καθόλου ολοκληρώσιμο ( L 0) .
Παρόλο που δεν έχουμε εισαγάγει ακόμη αυστηρά την έννοια των γενικευμένων συντεταγμένων θα
χρησιμοποιούμε το καθιερωμένο σύμβολό τους, δηλαδή το q , για να δηλώσουμε συντεταγμένες που είναι και
οι καρτεσιανές αλλά και οι σφαιρικές, οι κυλινδρικές κ.α. Στη Μηχανική που θα μας απασχολήσει εδώ, θα
γράφουμε τα ολοκληρώματα των διαφορικών εξισώσεων των δεσμών στη μορφή
fl (q1 , q2 ,..., qm , t ) 0 (1.6)
Αυτό σημαίνει ότι οι δεσμοί μπορεί να εξαρτώνται και από τον χρόνο. Η σχέση (1.6), για δεδομένη
χρονική στιγμή, μας λέει ότι τo σημείο του χώρου των θέσεων, δηλαδή του θεσικού χώρου (q1 , q2 ,..., qm ) είναι
δέσμιο να βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια διάστασης m που παριστάνει αυτή η σχέση, όπου ο χρόνος είναι
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 13
μια σταθερή κάθε φορά παράμετρος. Επίσης η σχέση (1.6) παριστάνει μια «επιφάνεια» στον χώρο διάστασης
m 1 , ο οποίος χαρακτηρίζεται από τις m συντεταγμένες του θεσικού χώρου μαζί με τη μια διάσταση του
χρόνου.
Για την ειδική περίπτωση που αναφέραμε προηγουμένως, του κυλιόμενου κατακόρυφου δίσκου χωρίς
ολίσθηση, όπου δεν υπεισέρχεται ο χρόνος, μπορούμε να κατανοήσουμε ότι δεν υπάρχει δεσμευτική σχέση
μεταξύ των γενικευμένων συντεταγμένων, οι συντεταγμένες μπορούν να πάρουν όλες τις τιμές που θα έπαιρναν
αν δεν υπήρχαν οι δεσμευτικές σχέσεις. Αυτό φαίνεται με τον παρακάτω συλλογισμό για αυτό το ειδικό
παράδειγμα.
Έστω ότι έχουμε δεδομένα τα x, y , που προφανώς μπορεί να είναι οποιαδήποτε. Ισχυριζόμαστε ότι το
μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Πράγματι, ο δίσκος μπορεί να κυλίσει (χωρίς ολίσθηση) διαγράφοντας,
για παράδειγμα, κύκλο αυθαίρετης ακτίνας R , του οποίου το κέντρο είναι πάνω στην κάθετο στο επίπεδό του
στο σημείο επαφής του με το οριζόντιο επίπεδο, ενώ πληρούνται οι συνθήκες των δεσμών. Κατά την κίνηση,
το επίπεδο του δίσκου είναι συνεχώς κάθετο στην ακτίνα του διαγραφόμενου κύκλου η οποία περνά από το
σημείο επαφής. Αυτό σημαίνει ότι ο δίσκος περιστρέφεται περί τον κατακόρυφο άξονα που περνά από το
σημείο επαφής και το μεταβάλλεται. Ας υποθέσουμε ότι ο δίσκος διαγράφει έναν πλήρη κύκλο στο οριζόντιο
επίπεδο. Προφανώς τα x, y , θα έχουν και πάλι τις τιμές που είχαν όταν ξεκίνησε η μετατόπιση. Είναι ευνόητο
ότι διαλέγοντας κατάλληλα την ακτίνα R του κύκλου περιστροφής μπορούμε να επιτύχουμε οποιοδήποτε
για δεδομένα x, y , . Αυτό δείχνει ότι δεν υπάρχει δεσμευτική σχέση μεταξύ των x, y, , . Το ίδιο ισχύει
για απειροστή μετατόπιση, δηλαδή αν είμαστε σε κάποια θέση ( x, y, , ) και θέλουμε να πάμε στην απείρως
κοντινή γειτονική θέση ( x, y, d , ) , μπορούμε να το επιτύχουμε διαλέγοντας κύκλο κατάλληλης ακτίνας
R στον οποίο να κινηθεί κατά συνεχή τρόπο ο δίσκος, όπως πριν, έτσι που τα x, y , να έχουν τελικώς τις
αρχικές τους τιμές και το να αποκτήσει την τιμή d . Αν οι δεσμοί, μεταξύ των (γενικευμένων)
συντεταγμένων, δίνονται από αλγεβρικές εξισώσεις της παρακάτω μορφής (ή μπορεί να αναχθούν σε τέτοιες),
f k (q1 , q2 ,..., qn , t ) 0 k 1, 2,...., M (1.7)
τότε λέμε ότι οι δεσμοί είναι ολόνομοι (holonomic), ο όρος είναι διεθνής και προέρχεται από την
ελληνική γλώσσα και σημαίνει κάτι που είναι «σύμφωνα με τον νόμο». Οι δεσμευτικές σχέσεις και οι δεσμοί
αυτής της μορφής λέγονται γεωμετρικής μορφής. Σε όλες τις περιπτώσεις σχέσεων δεσμών, οι σχέσεις που
λαμβάνουμε υπόψη πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.
Όλοι οι άλλοι δεσμοί, που δεν δίνονται σε αυτή τη μορφή ή δίνονται σε μορφή που δεν μπορεί να αναχθεί
στη μορφή αυτή, λέγονται μη ολόνομοι δεσμοί. Τέτοιοι είναι και οι δεσμοί με ανισότητες που όμως δεν
διαπραγματευόμαστε σε αυτό το πόνημα.
Αξίζει να συνοψίσουμε την εξής ουσιώδη διαφορά μεταξύ ολόνομων και μη ολόνομων δεσμών: Η
διάσταση του θεσικού χώρου μειώνεται όταν υπάρχουν ολόνομοι δεσμοί, ενώ αυτό δεν συμβαίνει για μη
ολόνομους δεσμούς.
Είναι ευνόητο ότι, οι τελικοί θεσικοί βαθμοί ελευθερίας του συστήματος, με n το πλήθος αρχικές
συντεταγμένες και M ολόνομους δεσμούς, είναι n M , άρα πρέπει n M , ώστε το σύστημα να έχει
κάποιους θεσικούς βαθμούς ελευθερίας, ώστε να μπορεί να κινηθεί υπό την επίδραση (ενεργητικών) δυνάμεων,
δηλαδή δυνάμεων που δεν οφείλονται στους δεσμούς.
Γενικές σχέσεις που περιέχουν και γενικευμένες ταχύτητες, δηλαδή είναι της μορφής,
gk (q, q, t ) 0, k 1, 2,..., M (1.8)
λέγονται σχέσεις δεσμών σε κινηματική μορφή. Αν οι σχέσεις αυτές δεν μπορούν να ολοκληρωθούν και
να οδηγήσουν σε εξισώσεις της μορφής της Εξ. (1.7), οπότε θα ανάγονταν σε ολόνομους δεσμούς, εκφράζουν
μη ολόνομους δεσμούς. Σε αντίθετη περίπτωση εκφράζουν ολόνομους δεσμούς.
Ειδική περίπτωση των Εξ. (1.8) είναι αυτή των Εξ. (1.9) που είναι γραμμικές ως προς τις ταχύτητες οπότε
μπορούν να γραφτούν στη μορφή,
Αναλυτική Δυναμική 14
n
A i 1
ki (q, t )qi Ak (q, t ) 0 k 1, 2,..., M (1.9)
Ας δούμε την παρακάτω απλή περίπτωση. Έστω κυκλικός δίσκος ακτίνας a που κυλίεται χωρίς ολίσθηση
κατά μήκος ευθείας όπως στο Σχ. 1.2. Οι συντεταγμένες είναι οι ( , s ) . Ο περιορισμός για κύλιση χωρίς
ολίσθηση δίνει
ds d
a
dt dt (1.10)
ds ad =0.
Σχήμα 1.2 Δίσκος που κυλίεται πάνω σε μια ευθεία.
Εύκολα με ολοκλήρωση, παίρνουμε μια σχέση μεταξύ των δυο γενικευμένων συντεταγμένων, τη σχέση
s s0 a0 a 0 . Ο κάτω δείκτης 0 δηλώνει αρχικές τιμές των αντίστοιχων μεγεθών. Αυτή η σχέση είναι
της μορφής της Εξ. (1.7), άρα το σύστημα είναι ολόνομο, υπάρχει περιορισμός μεταξύ των γενικευμένων
συντεταγμένων. Η μια συντεταγμένη μπορεί να εξαλειφθεί και να μείνει μόνο μια (γνήσια) συντεταγμένη. Αν
η κύλιση γίνονταν με ολίσθηση τότε δεν θα υπήρχε δεσμευτική σχέση και ο θεσικός χώρος θα είχε διάσταση
δύο. Παρατηρούμε ότι ξεκινώντας από το αρχικό σημείο του χώρου των δυο διαστάσεων δεν μπορούμε να πάμε
σε οποιοδήποτε αυθαίρετο γειτονικό του σημείο, εφόσον πληρούται η δεσμευτική σχέση στον χώρο των δυο
διαστάσεων, δηλαδή δε μπορούμε να πάμε (χωρίς ολίσθηση) από το σημείο s , στο γειτονικό αυθαίρετο
σημείο s + s, + . Δεν υπάρχει ορισμός για το τι είναι μη ολόνομος δεσμός, απλά δεσμός που δεν είναι
ολόνομος είναι μη ολόνομος δεσμός. Θα ασχοληθούμε κυρίως με την ειδική κατηγορία δεσμών που
περιγράφονται με διαφορικές, γραμμικές ως προς τις ταχύτητες, εξισώσεις ή με τη μορφή τους με διαφορικά
(δηλαδή με εξισώσεις Pfaff), όπως οι παρακάτω:
n
A
k 1
lk (q, t )qk Al (q, t ) 0 l 1, 2,..., M M n
(1.11)
n
ή A
k 1
lk (q, t )dqk Al (q, t )dt 0 l 1, 2,..., M M n .
Τονίζουμε ξανά ότι αυτές οι διαφορικές εξισώσεις (κινηματική μορφή), εκφράζουν ολόνομους δεσμούς
αν μπορεί να οδηγήσουν σε ολοκληρώματα, που γενικώς συνδέουν γενικευμένες συντεταγμένες και τον χρόνο.
Αν δεν μπορούν να οδηγήσουν σε τέτοιες σχέσεις μεταξύ συντεταγμένων και του χρόνου, τότε εκφράζουν μη
ολόνομους δεσμούς. Αν δεν υπάρχει ο όρος με το Al (q, t ) , τότε ο δεσμός λέγεται καταστατικός, αν υπάρχει
αυτός ο όρος τότε έχουμε ακαταστατικό δεσμό. Αν όλοι οι δεσμοί συστήματος είναι του πρώτου τύπου το
σύστημα λέγεται καταστατικό, αν όλοι είναι του δεύτερου τύπου το σύστημα λέγεται ακαταστατικό.
Αν έχουμε τις ολόνομες σχέσεις, Εξ. (1.7), μπορούμε να πάρουμε τις διαφορικές εξισώσεις με διαφόριση
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 15
n
A
k 1
lk (q, t )dqk Al (q, t )dt 0 l 1, 2,..., M
(1.12)
f (q, t ) f (q, t )
Alk (q, t ) l , Al (q, t ) l .
qk t
Κατά τη διαφόριση είναι ευνόητο ότι ο δεσμός πληρούται και για τη μετατοπισμένη θέση, τα ( q , t ) δεν
είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους και το ίδιο ισχύει για τα (dq,dt ) . Δηλαδή τα σημεία βρίσκονται πάνω σε
«υπερεπιφάνειες» που καθορίζουν οι δεσμευτικές σχέσεις. Με άλλα λόγια fl (q dq, t dt ) 0 f (q, t ) . Αν
ο δεσμός δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο, λέγεται σκληρόνομος (scleronomic) δεσμός, ο όρος είναι διεθνής,
προέρχεται από τα ελληνικά και θα πει κάτι «σκληρό», στέρεο, δηλαδή κάτι που δεν εξαρτάται (άμεσα) από
τον χρόνο. Αν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο λέγεται ρεόνομος (rheonomic) δεσμός, και πάλι από τα ελληνικά,
και σημαίνει κάτι «ρευστό», δηλαδή κάτι που εξαρτάται (άμεσα) από τον χρόνο.
Ο χρόνος μπορεί να εμφανίζεται και σε δεσμευτικές σχέσεις που είναι ανισότητες, οπότε και σε αυτή την
περίπτωση μιλούμε για σκληρόνομους και ρεόνομους δεσμούς. Αν οι διαφορικές εξισώσεις δεσμών, που
σχετίζονται με διαφορικές εκφράσεις που αρχικά δεν είναι ολικά διαφορικά, μπορεί να μετατραπούν οι ίδιες ή
γραμμικοί συνδυασμοί τους σε ολικά διαφορικά, αφού στη συνέχεια πολλαπλασιαστούν επί κατάλληλες
συναρτήσεις, τότε ουσιαστικά πρόκειται για ολόνομους δεσμούς. Πρόκειται για ένα είδος «κρυμμένων»
ολόνομων δεσμών. Επανερχόμαστε στον συμβολισμό της Εξ. (1.3), μόνο που αλλάζουμε το z με το u , οπότε
καταλήγουμε στις
ul ql l 1, 2,..., n m n 1 um t .
Οι διαφορικές εξισώσεις των Εξ. (1.11) παίρνουν τη μορφή
m
B
k 1
lk (u )duk 0, Blk Alk k 1, 2,..., n , Blm Al l 1, 2,..., M (1.13)
Αν έχουμε μόνο μια μοναδική δεσμευτική σχέση της μορφής
m
B du
r 1
r r 0 (1.14)
το κριτήριο ολοκληρωσιμότητάς της είναι σχετικά απλό, συγκεκριμένα πρέπει να ισχύει
Bl Br B B B B
Bs ( ) Bl ( r s ) Br ( s l ) 0
ur ul us ur ul us (1.15)
r , l , s 1, 2,..., m.
Υπάρχουν m(m 1)(m 2) / 6 εξισώσεις εκ των οποίων (m 1)(m 2) / 2 είναι ανεξάρτητες, m 2 .
Αυτό σημαίνει πως υπάρχει ολοκληρωτικός παράγοντας που κάνει τη διαφορική εξίσωση ολικό διαφορικό. Για
μια δεσμευτική σχέση με τρεις μεταβλητές, όπου η μια μπορεί να είναι ο χρόνος, έχουμε για το κριτήριο
ολοκληρωσιμότητας τη σχέση
B C C A A B
Adu1 Bdu2 Cdu3 0, A B C 0. (1.16)
u3 u2 u1 u3 u2 u1
Για δυο μεταβλητές, A u1 , u2 du1 B u1 , u2 du2 0 , αποδεικνύεται ότι, αν το διαφορικό δεν είναι
Αναλυτική Δυναμική 16
τέλειο εξ αρχής, πάντα μπορεί να βρεθεί ολοκληρωτικός παράγοντας που το κάνει τέλειο διαφορικό. Σε αυτή
την περίπτωση, μπορεί να διαπιστωθεί ότι πράγματι ισχύει πάντα το κριτήριο (1.16). Στην περίπτωση μιας
ολοκληρώσιμης διαφορικής εξίσωσης τύπου Pfaff (ή της αντίστοιχης με τις ταχύτητες) τριών μεταβλητών,
έχουμε μια εικόνα όπου φαίνεται εύκολα το γεωμετρικό νόημα της διαδικασίας. Η γεωμετρική κατανόηση είναι
ακόμη καλύτερη αν οι τρεις μεταβλητές είναι συντεταγμένες θέσης, δηλαδή αν δεν υπάρχει ο χρόνος στις
δεσμευτικές σχέσεις, βλέπε Σχήμα 1.3.
Σχήμα 1.3 Γεωμετρική εικόνα μιας ολοκληρώσιμης διαφορικής εξίσωσης.
Το ολοκλήρωμα της διαφορικής εξίσωσης, θα έχει και μια σταθερά ολοκλήρωσης c , δηλαδή θα έχει τη
μορφή f (u1 , u2 , u3 ) c . Δεν «απορροφούμε» τη σταθερά μέσα στη συνάρτηση f και στο Σχήμα 1.3 φαίνεται
η επιφάνεια που παριστάνει η προηγούμενη σχέση, για δυο τιμές c, c της σταθεράς c . Έχουμε δυο μη
τεμνόμενες δισδιάστατες επιφάνειες. Στο σημείο u10 , u20 , u30 της επιφάνειας c έχει σχεδιαστεί το στοιχειώδες
εφαπτόμενο επίπεδο και η κάθετος που αντιπροσωπεύει διάνυσμα V ( A, B, C ) , δηλαδή διάνυσμα με
συνιστώσες τα A, B, C . Πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο βρίσκονται τα du1 ,du2 ,du3 που είναι κατά μήκος της,
παραμετροποιημένης με παράμετρο , λύσης u1 u1 ( ), u2 u2 ( ), u3 u3 ( ) η οποία περνά από το εν
λόγω σημείο. Η καθετότητα υπάρχει γιατί ισχύει η διαφορική εξίσωση Adu1 + Bdu2 + Cdu3 = 0 . Μπορούμε
να γράψουμε και τη σχέση
V dr 0, dr (du1 ,du2 ,du3 ) . (1.17)
Το dr είναι πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο. Αυτό που συμβαίνει είναι ότι όλες οι λύσεις που περνούν
από το ανωτέρω σημείο είναι κάθετες στο «διάνυσμα» A, B, C και μπορούν και σχηματίζουν ένα επίπεδο
εφαπτόμενο στην επιφάνεια c . Σημειώνουμε ότι στην περίπτωση μη ολοκληρωσιμότητας ενώ στο κάθε
σημείο ισχύει η καθετότητα των διανυσμάτων ( A, B, C ) (du1 , du2 , du3 ) , δεν υπάρχει πεπερασμένη επιφάνεια
πάνω στην οποία να βρίσκονται συνεχώς τα (du1 , du2 , du3 ) . Δεν υπάρχει γενικός τρόπος υπολογισμού των
ολοκληρωτικών παραγόντων.
Το κριτήριο της Εξ. (1.16) σημαίνει ότι αν V ( A, B, C ) πρέπει
V ( V ) 0 . (1.18)
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 17
Η Εξ. (1.15) είναι γενίκευση των Εξ. (1.16) και (1.18).
Αν η διαφορική εξίσωση είναι από την αρχή ολικό διαφορικό τότε ισχύουν οι γνωστές σχέσεις
B C C A A B
, , . (1.19)
u3 u2 u1 u3 u2 u1
Όταν ισχύουν αυτές οι σχέσεις τότε το κριτήριο (1.16) ισχύει κατά τετριμμένο τρόπο.
Οι σχέσεις (1.19) λένε ότι το V 0 άρα το αντίστοιχο πεδίο είναι αστρόβιλο, επομένως προέρχεται
από δυναμικό, άρα V f . Δηλαδή
f f f
A , B , A .
u1 u2 u3
Η κλίση V f είναι κάθετη στην επιφάνεια f (u1 , u2 , u3 ) c . Αυτά είναι ειδική περίπτωση της Εξ.
(1.12). Για να είναι πλήρες διαφορικό η διαφορική έκφραση της μοναδικής Εξ. (1.14), όπου υπάρχουν πολλές
μεταβλητές (η μιία μπορεί να είναι ο χρόνος), οι αναγκαίες και ικανές συνθήκες, οι αντίστοιχες των Εξ. (1.19)
είναι οι εξής
Br Bs
r , s 1, 2,..., m . (1.20)
us ur
Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει συνάρτηση f (u ) που το ολικό διαφορικό της είναι η διαφορική έκφραση της
Εξ. (1.14). Η εύρεση της συνάρτησης αυτής μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους που εξαρτώνται από τη
f
μορφή της διαφορικής εξίσωσης. Μπορεί κάποιος να κάνει χρήση του γεγονότος ότι Bi . Επίσης ότι το
ui
ολοκλήρωμα μεταξύ δυο σημείων δεν εξαρτάται από τη διαδρομή (αστρόβιλο πεδίο) κ.λπ.
Στη γενική περίπτωση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων (1.13) που οι διαφορικές εκφράσεις
τους δεν είναι κατ’ ανάγκη ολικά διαφορικά, οι αναγκαίες και ικανές συνθήκες ώστε οι διαφορικές εξισώσεις
να είναι πλήρως ολοκληρώσιμες ως σύστημα εξισώσεων, είναι οι συνθήκες του Frobenius,
𝑚 𝑚
𝜕𝐵𝑙𝑠 𝜕𝐵𝑙𝑟
∑∑( − ) 𝑥 𝑦 = 0 𝑙 = 1,2, . . . , 𝑀 (1.21)
𝜕𝑢𝑟 𝜕𝑢𝑠 𝑟 𝑠
𝑟=1 𝑠=1
όπου τα xr , ys είναι δυο σύνολα λύσεων των
m
B
r 1
x 0 . l 1, 2,..., M
lr r
(1.22)
Επειδή οι εξισώσεις είναι λιγότερες από τους αγνώστους, υπάρχουν γενικώς περισσότερες από μια
λύσεις. Αν όλες ή μερικές από τις διαφορικές εκφράσεις του Pfaff, που αποτελούν το σύστημα των διαφορικών
εξισώσεων, είναι πλήρη διαφορικά τότε για κάθε μια από αυτές ισχύει το κριτήριο της Εξ. (1.20).
Το κριτήριο του Frobenius, στην παραπάνω μορφή του, είναι μεν πολύ δύσκολο να εφαρμοστεί στην
πράξη, αλλά μπορεί να εφαρμοστεί.
Μια πιο χρηστική μορφή κριτηρίου Frobenius είναι αυτή που στηρίζεται στις διαφορικές μορφές
(differential forms) που εισήγαγε ο Cartan. Το Παράρτημα Π1 είναι μια απλή χρήσιμη εισαγωγή στο θέμα.
Έστω ότι έχουμε σύστημα M διαφορικών εξισώσεων Pfaff . Το διαφορικό μέρος είναι διαφορικές
μορφές-1 (βαθμού 1) σε χώρο n διαστάσεων, δηλαδή
Αναλυτική Δυναμική 18
n
i Aij du j i 1, 2,..., M , M n . (1.23)
j 1
Αν οι διαφορικές εξισώσεις είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες, τότε η διαφορική μορφή- M (βαθμού M )
που είναι γινόμενο-Λ (wedge product) των ανωτέρω M διαφορικών μορφών-1, είναι διάφορη του μηδενός,
δηλαδή
12 ...M 0 . (1.24)
Σε αυτή την περίπτωση, οι διαφορικές εξισώσεις ως σύστημα είναι (πλήρως) ολοκληρώσιμες, αν ισχύει
ταυτοτικά
di 1...M 0, i 1, 2,..., M . (1.25)
Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν M ανεξάρτητες σχέσεις, ολοκληρώματα, όπως στην (1.5). Αν ο χώρος των
ανεξάρτητων μεταβλητών (u1 , u2 ,..., un ) είναι απλά συνεκτικός (θέτοντάς το απλά, αν δεν έχει τρύπες), τότε
αν ισχύει ταυτοτικά η σχέση di 0 , αυτό οδηγεί στο ότι το i είναι ολικό διαφορικό, Εξ. (1.20), και η
αντίστοιχη διαφορική εξίσωση, είναι ολοκληρώσιμη από μόνη της. Αυτά σημαίνουν ότι υπάρχει συνάρτηση
f f (u1 , u2 ,..., un ) της οποίας το ολικό διαφορικό, ισούται με το συγκεκριμένο , δηλαδή df . Αφού
εξασφαλιστεί η ύπαρξη τέτοιας συνάρτησης, η εύρεσή της μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, ανάλογα με
την έκφραση της διαφορικής μορφής όπως αναφέραμε στα προηγούμενα. Αν έχουμε μόνο μια εξίσωση τότε
M 1 και η Εξ. (1.25) γίνεται dΛ 0. Το κριτήριο της ολοκληρωσιμότητας είναι απαραίτητο να ισχύει,
για να υπάρχουν αυτές που λέμε γνήσιες λύσεις που αναφέραμε προηγουμένως, δεν θα επεκταθούμε
περισσότερο. Σε αυτό το σημείο θα δείξουμε την ουσιώδη διαφορά λύσεων στην περίπτωση ολοκληρώσιμων
και μη ολοκληρώσιμων δεσμών. Θα περιοριστούμε μόνο στη σχετικά απλή περίπτωση με μια διαφορική
εξίσωση τριών μεταβλητών.
Η διαφορική εξίσωση είναι
A( x, y, z )dx B( x, y, z )dy C ( x, y, z )dz 0
Ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει ολοκλήρωμα (επιφάνεια) της μορφής f ( x, y, z ) c (η εξίσωση δεν είναι
ολοκληρώσιμη, δεν έχει γνήσια λύση). Θα βρούμε καταχρηστικές λύσεις της. Θεωρούμε μια αρκετά αυθαίρετη
συνάρτηση
( x, y , z ) 0 .
Αυτή παριστάνει επίσης μια επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο. Την διαφορίζουμε και παίρνουμε τη
σχέση
dx dy dz 0 .
x y z
Με χρήση των δυο τελευταίων απαλείφουμε μια μεταβλητή και το διαφορικό της από την πρώτη
εξίσωση. Διαλέγουμε να απαλείψουμε τα z , dz .
Βρίσκουμε
C A dx C B dy 0 .
x z y z
Εννοείται ότι έχει αντικατασταθεί και το z συναρτήσει των x, y με χρήση της δεύτερης σχέσης. Αυτή
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 19
είναι της μορφής
M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 .
Αυτή, αν δεν είναι ταυτότητα, έχει πάντα γνήσια λύση της μορφής
f1 ( x, y) K σταθ.
Πρόκειται για επιφάνεια με κυλινδρικό σχήμα (ανεξάρτητη του z ). Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν λύσεις
(τροχιές, γραμμές) της αρχικής διαφορικής εξίσωσης, στον τρισδιάστατο χώρο οι οποίες είναι τομές της
αυθαίρετης επιφάνειας που διαλέξαμε και της τελευταίας. Είναι γεγονός ότι αφού η αρχική επιφάνεια είναι
αρκετά αυθαίρετη μπορεί να ληφθεί έτσι ώστε η τομή της με την τελευταία να δίνουν καταχρηστικές (τροχιές,
λύσεις της αρχικής διαφορικής εξίσωσης) που να ενώνουν δυο οποιαδήποτε σημεία στον χώρο. Ας δούμε τώρα
τι συμβαίνει όταν υπάρχει γνήσια λύση της αρχικής διαφορικής εξίσωσης. Αποδεικνύεται ότι σε αυτή την
περίπτωση δεν είναι δυνατόν να ακολουθηθεί η παραπάνω διαδικασία για τις καταχρηστικές λύσεις της. Αυτό
συμβαίνει διότι αν επιχειρηθεί να ακολουθηθεί, θα καταλήξουμε στο ότι η μια επιφάνεια είναι η γνωστή γνήσια
λύση. Αυτό μπορεί κάποιος να το περιμένει διαισθητικά. Τότε η τελευταία διαφορική εξίσωση με τις δυο
μεταβλητές είναι ταυτότητα, επομένως δεν οδηγεί σε γνήσια λύση.
Σε αυτή την περίπτωση οι καταχρηστικές λύσεις είναι τομές της γνήσιας λύσης (της σχετικής επιφάνειας
στον τρισδιάστατο χώρο) και οποιασδήποτε άλλης λύσης (επιφάνειας στον τρισδιάστατο χώρο). Σημειώστε
πως οι δυο αυτές επιφάνειες δεν έχουν μεταξύ τους εξάρτηση, όπως ισχύει για την προηγούμενη περίπτωση.
Το ότι οι καταχρηστικές λύσεις (τροχιές, διαδρομές) βρίσκονται πάνω στην γνήσια λύση, δηλαδή στη
συγκεκριμένη επιφάνεια η οποία δεν είναι αυθαίρετη, σημαίνει ότι δεν μπορούν να συνδεθούν δυο σημεία τα
οποία δεν βρίσκονται και τα δυο πάνω σε μια τέτοια επιφάνεια, με τροχιές - λύσης λύσεις της διαφορικής
εξίσωσης. Συνοψίζουμε λέγοντας ότι, αν η διαφορική εξίσωση έχει γνήσια λύση τότε υπάρχουν σημεία στη
γειτονιά κάθε σημείου της τα οποία δεν μπορούν να «συνδεθούν» με αυτό με τροχιές - λύσεις.
Ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρής έδειξε και το αντίστροφο, δηλαδή: Αν στη γειτονιά τυχαίου σημείου
περιέχονται σημεία που δεν είναι προσιτά από αυτό κατά μήκος καμπυλών που πληρούν τη δεδομένη διαφορική
εξίσωση (τύπου Pfaff), η εξίσωση είναι ολοκληρώσιμη. Σε αυτό στήριξε τη δική του διατύπωση του Δεύτερου
Αξιώματος της Θερμοδυναμικής.
1.3 Είδη μετατοπίσεων
Αναφερόμαστε σε δεσμούς που εκφράζονται με εξισώσεις, δηλαδή σε αμφιμερείς δεσμούς. Όπως είδαμε, οι
ολόνομοι δεσμοί μειώνουν τη διάσταση του (προσβάσιμου) θεσικού χώρου και την κινητικότητα. Οι μη
ολόνομοι δεσμοί δεν μειώνουν τη διάσταση του (προσβάσιμου) θεσικού χώρου αλλά μειώνουν την
κινητικότητα. Η διάσταση του θεσικού χώρου ισούται με τους θεσικούς βαθμούς ελευθερίας, που είναι το
(ελάχιστο) πλήθος των ανεξάρτητων μεταξύ τους συντεταγμένων που μαζί με τις δεσμευτικές σχέσεις
καθορίζουν πλήρως τη θέση όλων των σημείων του συστήματος. Οι κινητικοί βαθμοί ελευθερίας είναι το
ελάχιστο πλήθος ανεξάρτητων μετατοπίσεων των γενικευμένων συντεταγμένων που μαζί με τις σχέσεις των
δεσμών καθορίζουν πλήρως κάθε στοιχειώδη μετατόπιση όλων των σημείων του συστήματος. Αυτό σημαίνει
ότι αν έχουμε σύστημα με N σωμάτια και υπάρχουν L μη ολόνομες σχέσεις δεσμών (τύπου Pfaff) καθώς και
M ολόνομοι δεσμοί, τότε έχουμε 3N L M κινητικούς βαθμούς ελευθερίας.
Οι θεσικοί βαθμοί ελευθερίας είναι 3N M . Αν υπάρχουν μόνο ολόνομοι δεσμοί τότε τα δυο είδη
βαθμών ελευθερίας ταυτίζονται και τότε μπορούμε να μιλούμε απλώς για βαθμούς ελευθερίας, χωρίς άλλον
προσδιορισμό. Η κατάσταση ενός μηχανικού συστήματος είναι το σύνολο (q1 , q2 ,..., qn , q1 , q2 ,..., qn ) . Αυτά
είναι σημεία ενός χώρου, του λεγόμενου χώρου των καταστάσεων (καταστατικός χώρος) που έχει διάσταση
2n .
Στα επόμενα θα αναφερόμαστε σχεδόν αποκλειστικά σε δεσμούς, που είναι ολοκληρωμένοι ολόνομοι
και σε δεσμούς που εκφράζονται με την κινηματική τους μορφή των Εξ (1.11). Οι τελευταίοι μπορεί να είναι
ολόνομοι ή μη ολόνομοι.
Αναλυτική Δυναμική 20
1.3.1. Πραγματική μετατόπιση
Αν για κάποιο σύστημα, οι ποσότητες (q1 (t ), q2 (t ),..., qn (t )) είναι λύσεις των εξισώσεων κίνησης, που μαζί
με τις ταχύτητες (q1 (t ), q2 (t ),..., qn (t )) ικανοποιούν και τις εξισώσεις των δεσμών, τότε αυτές αποτελούν
πεπερασμένες πραγματικές (θεσικές) μετατοπίσεις του συστήματος (actual displacement). Το σύνολο των
(q1 (t ), q2 (t ),..., qn (t )) συνηθίζουμε να λέμε ότι αποτελεί ένα διάνυσμα πραγματικής πεπερασμένης
μετατόπισης. Το σύνολο των αντίστοιχων απειροστών μετατοπίσεων, dq1 , dq2 ,..., dqn , που βρίσκονται από τις
ανωτέρω λύσεις των εξισώσεων κίνησης και ικανοποιούν και τις εξισώσεις των δεσμών, είναι οι απειροστές
πραγματικές μετατοπίσεις του συστήματος. Αν δεν υπάρχουν δεσμοί τότε προφανώς δεν χρειάζεται να
ικανοποιείται καμιά πρόσθετη εξίσωση δεσμών.
1.3.2. Πιθανή μετατόπιση
Το σύνολο των απειροστών μετατοπίσεων dqk k 1, 2,..., n ενός συστήματος, που ικανοποιούν τις
παρακάτω διαφορικές εξισώσεις των δεσμών,
n
A
k 1
lk (q, t )dqk Al (q, t )dt 0 l 1, 2,..., M
n
(1.26)
ή A
k 1
lk (q, t )qk Al (q, t ) 0 l 1, 2,..., M
αλλά δεν πληρούν κατ’ ανάγκη και τις εξισώσεις κίνησης, λέγονται πιθανές μετατοπίσεις (possible
displacements) και το στοιχειώδες διάνυσμα dq(dq1 , dq2 ,..., dqn ) λέγεται διάνυσμα πιθανής μετατόπισης. Αν
δεν υπάρχουν δεσμοί, τότε όλες οι απειροστές μετατοπίσεις θέσης είναι πιθανές μετατοπίσεις. Οι απειροστές
πραγματικές μετατοπίσεις είναι μέλη του συνόλου των πιθανών μετατοπίσεων αλλά γενικώς δεν ισχύει το
αντίστροφο.
1.3.3. Δυνατή μετατόπιση
Οι δυνατές (ή οιονεί ή εικονικές ή φανταστικές ή δυνητικές) μετατοπίσεις (virtual displacement), είναι
απειροστές μετατοπίσεις του συστήματος, που γίνονται με t σταθ (dt 0) . Στην περίπτωση που υπάρχουν
δεσμοί είναι χρήσιμο να δούμε πως ορίζονται οι δυνατές μετατοπίσεις. Συγκεκριμένα, όταν οι δεσμοί είναι
ολόνομοι ή μη ολόνομοι, οι χρήσιμες δυνατές μετατοπίσεις προσδιορίζονται κατά τετριμμένο τρόπο από τις
εξισώσεις των δεσμών στη μορφή Pfaff με «πάγωμα» του χρόνου, δηλαδή θέτοντας t σταθ., dt 0 . Για τη
δυνατή μετατόπιση χρησιμοποιείται το σύμβολο δ αντί του d . Με αυτόν τον τρόπο βρίσκουμε ότι οι δυνατές
μετατοπίσεις, δq , ικανοποιούν τις σχέσεις:
n
Ak 1
lk (q, t )δqk 0 l 1, 2,..., M . (1.27)
Οι δυνατές και οι πιθανές μετατοπίσεις συμπίπτουν για καταστατικά συστήματα όπως και για
σκληρόνομα ολόνομα συστήματα.
Ως δυνατές ταχύτητες ορίζονται τα δqk . Ισχύουν οι σχέσεις
d(δqk ) dqk dqk dq
δqk qk qk , δ( k )
dt dt dt dt
(1.28)
d(δqk ) dq
δ( k ) δqk , dδqk δdqk .
dt dt
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 21
Δηλαδή τα δ και d μετατίθενται.
Πιθανή είναι μια κατάσταση (q1 , q2 ,..., qn , q1 , q2 ,..., qn ) που ικανοποιεί τις σχέσεις των δεσμών. Οι
σχέσεις των δεσμών είναι:
n
A
k 1
lk (q, t )qk Al (q, t ) 0
(1.29)
ή fl (q1 , q2 ,..., qn , t ) 0 l 1, 2,..., M .
Αν δεν υπάρχουν δεσμοί, τότε κάθε κατάσταση του συστήματος είναι πιθανή κατάσταση. Αναφέρουμε
ότι, αν ένα σύστημα περιγράφεται με διαφορικές εξισώσεις γραμμικές ως προς τις ταχύτητες, οι οποίες δεν
είναι ολοκληρώσιμες, μια δυνατή μετατόπιση δεν οδηγεί από πιθανή σε πιθανή κατάσταση, ενώ αν είναι
ολόνομο, δηλαδή οι εξισώσεις είναι ολοκληρώσιμες, μια δυνατή μετατόπιση πάντα οδηγεί από πιθανή σε
πιθανή κατάσταση. Αν δεν υπάρχουν δεσμοί, κάθε δυνατή μετατόπιση οδηγεί από πιθανή σε πιθανή κατάσταση.
n
Αφού οι δυνατές μετατοπίσεις ικανοποιούν τη σχέση A
k 1
lk (q, t )δqk 0 , αυτές μετατρέπουν τις ανωτέρω
εκφράσεις του πρώτου μέλους των δεσμευτικών σχέσεων (1.29), στις αντίστοιχες εκφράσεις
n
Ak 1
lk (q δq, t )(qk δqk ) Al (q δq, t )
(1.30)
fl (q1 δq1 , q2 δq2 ,..., qn δqn , t ).
Για να είναι η προκύπτουσα κατάσταση πιθανή πρέπει αυτές οι εκφράσεις να είναι μηδέν (παραλείποντας
διαφορικά δεύτερης τάξης και άνω), δηλαδή πρέπει
n
A
k 1
lk (q1 δq1 , q2 δq2 ,..., qn δqn , t )(qk δqk ) Al (q δq, t ) 0
(1.31)
fl (q1 δq1 , q2 δq2 ,..., qn δqn , t ) 0.
Αυτό συμβαίνει μόνο, αν οι δεσμοί είναι ολόνομοι.
Η απόδειξη είναι εύκολη όταν είναι γνωστές οι ολοκληρωμένες σχέσεις. Πράγματι τότε έχουμε
f k (q1 , q2 ,..., qn , t ) 0 k 1, 2,...., M
n
f k
f k (q1 δq1 , q2 δq2 ,..., qn δqn , t ) f k (q1 , q2 ,..., qn , t ) δqi k 1, 2,...., M
i 1 qi
όμως από τον ορισμό των δυνατών μετατοπίσεων, Εξ. (1.27), προκύπτει ότι ο όρος με το άθροισμα είναι
μηδέν, άρα
f k (q1 δq1 , q2 δq2 ,..., qn δqn , t ) f k (q1 , q2 ,..., qn , t ) 0
δηλαδή η δυνατή μετατόπιση οδηγεί στην ίδια σχέση, δηλαδή από πιθανή κατάσταση σε πιθανή
κατάσταση.
Η απόδειξη για την πιο γενική περίπτωση διαφορικών σχέσεων οι οποίες μπορούν να οδηγήσουν σε
ολοκληρωμένες μορφές δεσμευτικών σχέσεων, άρα είναι «κρυμμένες» ολόνομες σχέσεις, στηρίζεται στη
χρήση του κριτηρίου του Frobenius. Σημειώνουμε ότι η σταθεροποίηση του χρόνου σημαίνει ότι, όταν ο χρόνος
«παγώνει», τα διάφορα μεγέθη κρατούν, κατά την δυνατή μετατόπιση, τις στιγμιαίες τιμές τους (π.χ. οι
ταχύτητες).
Αναλυτική Δυναμική 22
1.4 Παραλλαγή
Έστω συνάρτηση των συντεταγμένων, των ταχυτήτων και του χρόνου. Τέτοιες συναρτήσεις λέγονται δυναμικές
συναρτήσεις. Η συνάρτηση και το ολικό διαφορικό της είναι
f f ( q, q, t )
n
f n
f f
df dql
(1.32)
dql dt.
l 1 ql l 1 ql t
Παραλλαγή (variation) της συνάρτησης f (q, q, t ) που λέγεται απλώς και μεταβολή, είναι μεταβολή με
τον χρόνο σταθερό, dt 0 και ορίζεται από τη σχέση
n
f n
f
δf δql δql . (1.33)
l 1 ql l 1 ql
1.5 Δυνατό έργο
Πρέπει να τονίσουμε ότι πολλές φορές το df δεν παριστάνει ολικό διαφορικό αλλά απλώς ένα απειροστό
μέγεθος. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει πάντα συνάρτηση f της οποίας το απειροστό μέγεθος df είναι ολικό
διαφορικό. Στα πλαίσια της θερμοδυναμικής αυτό δηλώνεται με μια οριζόντια γραμμή πάνω ή στη μέση του d.
Για παράδειγμα η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας που είναι ολικό διαφορικό γράφεται dU, ενώ η
στοιχειώδης θερμότητα, που δεν είναι ολικό διαφορικό, γράφεται ως dQ . Τέτοιες περιπτώσεις έχουμε και στη
μηχανική αλλά δεν έχει καθιερωθεί ένας τέτοιος συμβολισμός και αυτό οδηγεί μερικές φορές σε παρανοήσεις.
Ανάλογα ισχύουν στη μηχανική για το δf που μερικές φορές δεν παριστάνει διαφόριση με τον χρόνο σταθερό,
αλλά απλώς στοιχειώδη ποσότητα που σχετίζεται με πάγωμα του χρόνου. Δεν έχει καθιερωθεί ο συμβολισμός
δ για τη δεύτερη περίπτωση, που απλά παριστάνει στοιχειώδη (απειροστή) ποσότητα. Ας έχουμε υπόψη ότι
υπάρχουν αυτά τα μειονεκτήματα στους καθιερωμένους συμβολισμούς στη Μηχανική.
Στη συνέχεια θα περιοριστούμε σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Το στοιχειώδες έργο δύναμης που
ασκείται σε σωμάτιο το οποίο υφίσταται απειροστή πραγματική μετατόπιση, ισούται με αυτό που φαίνεται στην
παρακάτω,
dW Fx (r , r , t )dx Fy (r , r , t )dy Fz (r , r , t )dz (1.34)
Το στοιχειώδες έργο, γενικώς, δεν είναι διαφορικό κάποιας συνάρτησης της μορφής W (r , r , t ) . Το ολικό
διαφορικό μιας συνάρτησης της μορφής W (r , r , t ) , είναι
W (r , r , t ) W (r , r , t ) W (r , r , t )
dW dx dy dz
x y z
(1.35)
W (r , r , t ) W (r , r , t ) W (r , r , t ) W (r , r , t )
dx dy dz dt.
x y z t
Το δυνατό έργο, δηλαδή το έργο σε μια δυνατή μετατόπιση, είναι
δW Fx (r , r , t )δx Fy (r , r , t )δy Fz (r , r , t )δz (1.36)
Η παραλλαγή, δηλαδή η μεταβολή με χρόνο σταθερό, (variation) μιας συνάρτησης W (r , r , t ) είναι
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 23
W (r , r , t ) W (r , r , t ) W (r , r , t )
δW δx δy δz
x y z
(1.37)
W (r , r , t ) W (r , r , t ) W (r , r , t )
δx δy δz.
x y z
Τα ανωτέρω επεκτείνονται και στις περιπτώσεις που η περιγραφή γίνεται σε χώρους γενικευμένων
συντεταγμένων, όπου εισάγεται η έννοια των γενικευμένων δυνάμεων.
Γενικώς το στοιχειώδες έργο δυνάμεων σε γενικευμένες συντεταγμένες δίνεται από σχέσεις της μορφής
n
dW Qi (q, q, t )dqi . (1.38)
i 1
Τα dqi είναι οι πραγματικές μετατοπίσεις στον χώρο των θέσεων, κατά την πραγματική κίνηση του
συστήματος. Τα Qi (q, q, t ) είναι οι λεγόμενες γενικευμένες συνιστώσες δύναμης, που γενικώς μπορεί να
εξαρτώνται άμεσα από τη θέση, τις ταχύτητες και τον χρόνο.
Το δυνατό έργο δίνεται από αντίστοιχες σχέσεις της μορφής
n
δW Qi (q, q, t )δqi . (1.39)
i 1
1.6 Μηδενικό δυνατό έργο δυνάμεων μερικών δεσμών
Μια έννοια πολύ θεμελιακή στην Αναλυτική Μηχανική, είναι η έννοια του δυνατού έργου των δυνάμεων, επί
του μηχανικού συστήματος. Ενώ στη νευτώνεια εικόνα της μηχανικής υπάρχει ο διαχωρισμός σε εσωτερικές
και εξωτερικές δυνάμεις, στη μεθοδολογία της Αναλυτικής Μηχανικής, γίνεται διαχωρισμός σε ασκούμενες
(ενεργητικές) δυνάμεις και σε δυνάμεις δεσμών (παθητικές). Στην Αναλυτική Δυναμική, ενδιαφέρουν κυρίως
εκείνες οι περιπτώσεις που οι δυνάμεις δεσμών, κατά τις δυνατές μετατοπίσεις δεν παράγουν (δυνατό) έργο.
Αυτού του είδους οι δυνάμεις δεσμών, λέγονται και ιδανικές δυνάμεις δεσμών και οι αντίστοιχοι δεσμοί
λέγονται ιδανικοί δεσμοί. Αναφέρουμε μερικές τέτοιες περιπτώσεις.
1. Ας εξετάσουμε το δυνατό έργο των εσωτερικών δυνάμεων των δεσμών που κάνουν ένα σύστημα
σωματίων να είναι στερεό σώμα. Ας φανταστούμε δυο οποιαδήποτε σωμάτια του στερεού, που ασκούν
δυνάμεις το ένα στο άλλο. Η σχέση του γεωμετρικού δεσμού μεταξύ οποιωνδήποτε δυο τέτοιων σωματίων του
στερεού είναι
rji (rj ri )2 σταθερό.
(1.40)
Δηλαδή οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων είναι σταθερές ανεξάρτητα του προσανατολισμού και της
κίνησης του μηχανικού συστήματος.
Αυτό σημαίνει ότι και
(rj ri ) (rj ri ) σταθερό.
(1.41)
Οι δυνατές μετατοπίσεις οι συμβατές με τον δεσμό πληρούν τη σχέση
(δrj -δri ) (rj ri ) 0 . (1.42)
Το δυνατό έργο του ζεύγους των δυο αυτών δυνάμεων σε μια δυνατή μετατόπιση είναι
Αναλυτική Δυναμική 24
δWij =δW ji =Fij δri +Fji δrj . (1.43)
Υποθέτουμε ότι για τις εσωτερικές δυνάμεις ισχύει η αρχή δράσης-αντίδρασης, της νευτώνειας
θεώρησης. Άρα, η δύναμη που ασκεί το σωμάτιο j στο i, δηλαδή η Fij είναι ίση κατά μέτρο και έχει αντίθετη
φορά σε σχέση με τη δύναμη που ασκεί το i στο j , επομένως μπορούμε να γράψουμε Fij Gij (ri rj ) και
θέτοντας Gij G ji καταλήγουμε στο ότι
Fij Gij (ri rj ) Fji , Fji G ji (rj ri ) .
(1.44)
Τελικώς βρίσκουμε
δWij =Gij (ri -rj ) δri +Gij (rj -ri ) δrj Gij (δrj - δri ) (rj ri ) 0 .
(1.45)
Επομένως, αν αθροίσουμε πάνω σε όλα τα ζεύγη δυνάμεων, βρίσκουμε ότι και το συνολικό δυνατό έργο
είναι μηδέν, δW 0 .
Αν αλλάξουμε συντεταγμένες και θεωρήσουμε συντεταγμένες τις
rij ri rj , (1.46)
τότε δrij = δri -δrj , δrij rij 0 (1.47)
δηλαδή η μεταβολή είναι κάθετη στο διάνυσμα της απόστασης, πράγμα που αναμένεται αφού η
απόσταση είναι σταθερή.
2. Ας δούμε την περίπτωση όπου ένα σώμα είναι αναγκασμένο να παραμένει σε επαφή με λεία, γενικώς,
κινούμενη επιφάνεια. Η δύναμη αυτού του συνδέσμου, είναι κάθετη στο κοινό τοπικό επίπεδο επαφής. Κάθε
στοιχειώδης δυνατή μετατόπιση, συμβατή με αυτόν τον σύνδεσμο (κάθε εξέλιξη στον χρόνο παγώνει), θα είναι
κάθετη στη δύναμη, άρα το δυνατό έργο θα είναι μηδέν.
3. Η επόμενη περίπτωση αναφέρεται σε σώμα που είναι δέσμιο να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ενώ εφάπτεται
σε, γενικώς, κινούμενη επιφάνεια. Σε αυτή την περίπτωση, δεν υπάρχει στοιχειώδης σχετική μετατόπιση του
σημείου επαφής του σώματος ως προς την επιφάνεια.
Αν η επιφάνεια είναι ακίνητη τότε το έργο της δύναμης που ασκεί πάνω στο κυλιόμενο σώμα είναι μηδέν
αφού το σημείο εφαρμογής της δεν κινείται.
Αν η επιφάνεια κινείται τότε ισχύει το ίδιο γιατί κατά τη δυνατή μετατόπιση ο χρόνος παγώνει οπότε η
επιφάνεια είναι στιγμιαία ακίνητη.
4. Η τελευταία περίπτωση αναφέρεται σε δυο σώματα που παραμένουν ενωμένα, έχοντας ένα κοινό σημείο,
ανεξάρτητα από την κίνησή τους. Οι δυνάμεις αυτού του συνδέσμου (οι δυνάμεις αλληλεπίδρασής τους) είναι
ίσες και αντίθετες, σύμφωνα με τη γνωστή αρχή δράση-αντίδραση, άρα κατά τη μετατόπιση του κοινού
σημείου, η μια παράγει κάποιο έργο και η άλλη ίσο και αντίθετο, επομένως το άθροισμα είναι μηδέν.
Σημειώνουμε ότι αν υπάρχουν συγχρόνως πολλοί τέτοιο ιδανικοί δεσμοί, τότε ισχύουν τα ανωτέρω, για
τον καθέναν χωριστά.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 25
Παραδείγματα - Ειδικά θέματα
1. Δίνεται η διαφορική εξίσωση xdx ydy zdz 0 . Δείξτε ότι είναι ολοκληρώσιμη και μάλιστα ότι
είναι ολικό διαφορικό.
Βρείτε το ολοκλήρωμα f ( x, y, z ) c . Η έκφραση αυτή ως δεσμός στη μηχανική είναι ολόνομος.
Λύση
Υπολογίζουμε το εξωτερικό διαφορικό d της διαφορικής μορφής xdx ydy zdz , έχουμε
d dxdx dydy dzdz 0 , αυτό σημαίνει ότι η διαφορική μορφή είναι ολικό διαφορικό, άρα η
διαφορική εξίσωση είναι ολοκληρώσιμη οπότε ενώ το κριτήριο Frobenius d 0 ισχύει, δεν χρειάζεται
να εφαρμοστεί.
Εφόσον ξέρουμε ότι υπάρχει το ολοκλήρωμα, αυτό μπορεί να υπολογιστεί με κάποια διαδικασία. Στη
συγκεκριμένη περίπτωση η διαδικασία είναι τετριμμένη αφού
xdx ydy zdz 2 x
1 2
y 2 z 2 άρα f ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 c .
2. Να δειχθεί ότι η 5x 4 y 2 z 3dx 2 x5 yz 3dy 3x5 y 2 z 2dz 0 , είναι ολοκληρώσιμη και να βρεθεί το
ολοκλήρωμά της f ( x, y, z ) c .
Λύση
5x4 y 2 z 3dx 2 x5 yz 3dy 3x5 y 2 z 2dz άρα
d (10 x 4 yz 3dydx 15 x 4 y 2 z 2 dz dx)
(10 x 4 yz 3dxdy 6 x 5 yz 2 dz dy )
(15 x 4 y 2 z 2 dxdz 6 x5 yz 2 dydz )
(10 x 4 yz 3 10 x 4 yz 3 )dxdy (15 x 4 y 2 z 2 15 x 4 y 2 z 2 )dxdz
(6 x5 yz 2 6 x5 yz 2 )dydz 0.
Επομένως η διαφορική μορφή
είναι ολικό διαφορικό, άρα η διαφορική εξίσωση
5x y z dx 2 x yz dy 3x y dz 0 είναι ολοκληρώσιμη.
4 2 3 5 3 5 2
Έστω f ( x, y, z ) c το ζητούμενο ολοκλήρωμα. Θα έχουμε
f f f
5x4 y 2 z3 , 2 x5 yz 3 , 3x5 y 2 z 2 .
x y z
Ολοκληρώνουμε την πρώτη ως προς x και βρίσκουμε f ( x, y, z ) x y z f1 ( y, z )
5 2 3
f f ( y, z )
Από αυτήν και τη δεύτερη βρίσκουμε 2 x5 yz 3 2 x5 yz 3 1
y y
f1 ( y, z ) f df ( z )
άρα 0 οπότε f1 f1 ( z ) . Με χρήση και της τρίτης βρίσκουμε 3x5 y 2 z 2 3x5 y 2 z 2 1
y z dz
df ( z )
οπότε 1 0 , άρα f1 σταθερά , αυτό σημαίνει ότι f ( x, y, z ) x5 y 2 z 3 c .
dz
3. Δείξτε ότι το σύστημα ydx xdy wdz 0, wdw dz 0 είναι πλήρως ολοκληρώσιμο και βρείτε τα
δυο ολοκληρώματα f ( x, y, z, w) c1 , g( x, y, z, w) c2 .
Αναλυτική Δυναμική 26
Λύση
1 ydx xdy wdz, 2 wdw dz , 12 0 άρα οι δυο αυτές διαφορικές εξισώσεις είναι
ανεξάρτητες μεταξύ τους. d1 dwdz , d2 0 . Αυτά δείχνουν ότι η δεύτερη εξίσωση είναι ολικό
διαφορικό, από μόνη της. Εφαρμόζουμε το κριτήριο του Frobenius για την πρώτη εξίσωση, από μόνη της.
Έχουμε d11 ydwdzdx xdwdzdy 0 , άρα η πρώτη εξίσωση δεν είναι από μόνη της
ολοκληρώσιμη. Όμως d112 0 και d2 12 0 , επομένως το σύστημα είναι πλήρως
ολοκληρώσιμο.
Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη εξίσωση επί w και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην πρώτη διαφορική
εξίσωση, οπότε βρίσκουμε ως γραμμικό συνδυασμό των δυο αρχικών διαφορικών εξισώσεων την
3 ydx xdy w2dw 0 . Φαίνεται αμέσως ότι αυτή είναι ολικό διαφορικό. Εξάλλου
d3 dydx dxdy 0 .
Καταλήγουμε στο ισοδύναμο με το αρχικό σύστημα εξισώσεων
2 wdw dz 0, 3 ydx xdy w2dw 0 του οποίου η κάθε μια εξίσωση είναι ολικό
διαφορικό, άρα ολοκληρώσιμη.
1 2 1
Προφανώς βρίσκουμε f ( x, y, z , w) w z c1 , g ( x, y, z , w) yx w3 c2 .
2 3
Θα δείξουμε ότι αυτές είναι ισοδύναμες , δηλαδή οδηγούν ή αλλιώς, ικανοποιούν τις δεδομένες αρχικά
διαφορικές εξισώσεις. Πράγματι, από τη διαφόρισή τους βρίσκουμε τις wdw dz 0, ydx xdy w2dw 0
Η πρώτη είναι η μια από τις αρχικές εξισώσεις, στη συνέχεια την πολλαπλασιάζουμε επί w και προσθέτουμε
το αποτέλεσμα στη δεύτερη, οπότε καταλήγουμε στην άλλη από τις αρχικές εξισώσεις. Άρα οι δυο αρχικές
επαληθεύονται από τα ολοκληρώματα f c1 , g c2 .
4. Θεωρήστε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων xdx zdy 0, xdx ydz 0 . Δείξτε ότι είναι
ανεξάρτητες. Δείξτε ότι καμιά από μόνη της δεν ολοκληρώνεται, αλλά το σύστημα, ως σύνολο δυο
εξισώσεων είναι ολοκληρώσιμο. Βρείτε δυο ολοκληρώματα του συστήματος. Κάντε την αντίστροφη
διαδικασία για να βεβαιωθείτε ότι τα δυο ολοκληρώματα που βρήκατε, οδηγούν στις αρχικές διαφορικές
εξισώσεις. Αυτό είναι ένα απλό παράδειγμα που δείχνει ότι, ενώ μπορεί καμιά από τις επιμέρους
(ανεξάρτητες) διαφορικές εξισώσεις να είναι ολοκληρώσιμη από μόνη της, και οι δυο ως σύστημα είναι
ολοκληρώσιμες.
Λύση
Έχουμε 1 xdx zdy, 2 xdx ydz . 12 xydxdz zxdydx zydydz 0 , αυτό σημαίνει
ότι οι διαφορικές εξισώσεις είναι ανεξάρτητες. Έχουμε
d1 dxdx dzdy dzdy, d2 dxdx dydz dydz .
d11 xdzdydx zdzdydy xdzdydx 0
Επομένως,
d2 2 xdydzdx ydydzdz xdydzdx 0
δηλαδή η καθεμιά εξίσωση, από μόνη της, δεν είναι ολοκληρώσιμη. Στη συνέχεια σχηματίζουμε τις
εκφράσεις d112 , d2 12 .
Χρησιμοποιούμε αποτελέσματα από τα παραπάνω και μετά από κάποιους υπολογισμούς καταλήγουμε
στο ότι ισχύουν
d112 xydzdydxdz zxdzdydydx zydzdydydz
.
0 0 0 0.
Είναι ευνόητο, αφού d1 d2 , ότι ισχύει επίσης, d2 12 0 . Επομένως, το συμπέρασμα είναι
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 27
ότι, ως σύνολο (σύστημα) δυο εξισώσεων, οι δεδομένες διαφορικές εξισώσεις είναι ολοκληρώσιμες. Για να
βρούμε δυο ολοκληρώματά τους, εργαζόμαστε ως εξής: Στην αρχή προσθέτουμε τις δυο δεδομένες εξισώσεις
(γραμμικός συνδυασμός), οπότε βρίσκουμε 2 xdx zdy ydz 2 xdx d( yz ) 0 . Από αυτήν, με απλή
ολοκλήρωση, βρίσκουμε ένα ολοκλήρωμα το x yz c1 . Στη συνέχεια, αφαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις
2
dy dz
(γραμμικός συνδυασμός), οπότε βρίσκουμε zdy ydz 0 . Από αυτήν βρίσκουμε . Μια απλή
y z
y
ολοκλήρωση δίνει ένα δεύτερο (ανεξάρτητο) ολοκλήρωμα που είναι το ln c2 .
z
Οι διαφορικές εξισώσεις που είναι ολικά διαφορικά και είναι ισοδύναμες των αρχικών, βρίσκονται από
διαφόριση των δυο ολοκληρωμάτων και είναι οι: 2 xdx zdy ydz 0, zdy ydz 0 . Από αυτές, με
προσθαφαιρέσεις (γραμμικοί συνδυασμοί), μπορούμε να καταλήξουμε στις αρχικές (δεδομένες) διαφορικές
εξισώσεις. Θα δούμε παρακάτω ότι ένα πρόβλημα Δυναμικής με δεσμευτικές σχέσεις τις αρχικές διαφορικές
εξισώσεις, μπορεί να λυθεί με τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange, για δεσμούς μορφής Pfaff
(παράθεση δεσμών) ή με χρήση των δυο ολοκληρωμάτων που βρήκαμε (κανόνας του πολλαπλασιασμού όπου
τροποποιείται η λαγκρανζιανή).
5. Η δεσμευτική κινητική σχέση στον χώρο των τριών διαστάσεων είναι η διαφορική εξίσωση
dy zdx 0 . Αυτή δεν είναι ολοκληρώσιμη. Βρείτε λύση-διαδρομή που να ενώνει δυο τυχαία σημεία,
έστω το x1 , y1 , z1 και το x2 , y2 , z2 .
Λύση
df ( x )
Διαλέγουμε μια συνάρτηση τέτοια που να ισχύουν y f ( x) z . Η f ( x ) είναι (αρκετά
dx
αυθαίρετη) αλλά έχει επιλεγεί έτσι ώστε να έχει πρώτη παράγωγο και να ισχύουν
df ( x1 ) df ( x2 )
f ( x1 ) y1 z1 f ( x2 ) y2 z2
dx dx
Αντικαθιστώντας τα y , z στη διαφορική εξίσωση του δεσμού βρίσκουμε ότι αυτή ικανοποιείται κατά
την ανωτέρω διαδρομή. Πράγματι, έχουμε
df
dy zdx df dx 0 .
dx
Αυτά δείχνουν ότι η υπάρχει διαδρομή (καταχρηστική λύση) που πράγματι μας οδηγεί από το σημείο
x1 , y1 , z1 στο σημείο x2 , y2 , z2 .
Αναλυτική Δυναμική 28
Προβλήματα
1. Δείξτε ότι, στον τρισδιάστατο χώρο, η σχέση V ( V ) 0 είναι αναγκαία και ικανή, για να υπάρχει
ολοκλήρωμα της διαφορικής εξίσωσης Adx Bdy Cdz 0 .
2. Πότε η διαφορική μορφή dy g ( z )dx 0 είναι ολοκληρώσιμη;
3. Δείξτε ότι η ydx xdy zdz 0 είναι ολοκληρώσιμη και βρείτε το ολοκλήρωμά της f ( x, y, z ) c .
4. Δείξτε ότι η (6 x yz )dx ( xz 2 y )dy ( xy 2 z )dz 0 είναι ολοκληρώσιμη και βρείτε το ολοκλήρωμά
της f ( x, y, z ) c .
5. Δείξτε ότι η yzdx 2 xzdy xydz 0 είναι ολοκληρώσιμη και βρείτε το ολοκλήρωμά της f ( x, y, z ) c .
6. Βρείτε αν η zdx ( x y )dy zydz 0 είναι ολοκληρώσιμη.
7. Δείξτε ότι η yz ( y z )dx zx( z x)dy xy ( x y )dz 0 είναι ολοκληρώσιμη.
8. Α) Με τη μέθοδο του κριτηρίου Frobenius με τις διαφορικές μορφές, ελέγξτε αν οι διαφορικές εξισώσεις
dx a cos d =0
dy a sin d =0
είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Συγκεκριμένα, ελέγξτε α) αν η κάθε μια διαφορική εξίσωση, από μόνη
της, είναι ολοκληρώσιμη, β) αν οι ανωτέρω εξισώσεις είναι πλήρως ολοκληρώσιμες ως σύστημα εξισώσεων .
Οι μεταβλητές είναι οι x, y, , . Β) Κάντε το β), με χρήση του «δύσκολου» κριτηρίου Frobenius.
9. Βρείτε το γινόμενο-Λ της διαφορικής μορφής x 2dydz xdzdx ydxdy , επί
α) 1/ x (σύνηθες γινόμενο),
β) 2 xdxdy (από αριστερά) και
γ) xydx zdy (από αριστερά).
10. Θεωρήστε την περίπτωση της ρόδας που κινείται, ενώ είναι σε επαφή με οριζόντιο επίπεδο. Αγνοήστε την
κύλιση χωρίς ολίσθηση και θεωρήστε ότι η ρόδα μπορεί να κινείται μόνο στο επίπεδό της. Βρείτε την εξίσωση
αυτού του δεσμού. Είναι ο δεσμός ολόνομος; Αυτό είναι παρόμοιο με το πρόβλημα του πατινάζ.
11. Θεωρήστε τον μετασχηματισμό συντεταγμένων x x(u, v, w), y y (u, v, w), z z (u, v, w) .
Μετασχηματίστε το ολοκλήρωμα dxdydz
σε ολοκλήρωμα όπου οι συντεταγμένες είναι τα u , v, w .
Θα βρείτε το γνωστό αποτέλεσμα όπου εισέρχεται η ιακωβιανή.
Κάντε τους υπολογισμούς όταν x r sin cos , y r sin sin , z r cos , χωρίς να
χρησιμοποιήσετε το προηγούμενο γενικό αποτέλεσμα.
Υπόδειξη: Διαφορίστε τα x x(u, v, w), y y (u, v, w), z z (u, v, w) και σχηματίστε το γινόμενο-Λ
των διαφορικών. Μετά από τις πράξεις, μέσα στα τελικά ολοκληρώματα, όπου υπάρχει το σύμβολο Λ να το
αντικαταστήσετε με συνήθη πολλαπλασιασμό. Φυσικά το χωρίο ολοκλήρωσης Ω ( x, y, z ) θα μετασχηματιστεί
στο Ω' (u, v, w) .
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 29
12. Δείξτε ότι για την περίπτωση του δίσκου που κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει ενώ το
επίπεδό του είναι κατακόρυφο, οι δεσμευτικές σχέσεις της κίνησής του μπορεί να γραφτούν στη μορφή
(dx)2 (dy)2 a 2 (d )2 0, dx sin dy cos 0 . Παρατηρούμε ότι η πρώτη δεσμευτική εξίσωση δεν
είναι γραμμική ως προς τα διαφορικά, δηλαδή δεν έχει μορφή εξίσωσης του Pfaff.
13. Χρησιμοποιήστε το κριτήριο Frobenius στη «δύσκολη» μορφή του και δείξτε ότι το σύστημα
ydx xdy wdz 0, wdw dz 0 είναι πλήρως ολοκληρώσιμο.
14. Βρείτε την (διαφορική) εξίσωση Pfaff για τις σχέσεις
α) x y z R 0 ,
2 2 2 2
1 2
β) ( x ) ay z 0 και γ) x f (t ) y 2 l 2 0 .
2
2
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 1
[1] H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, Addison-Wesley, 2001.
[2] Γ. Κατσιάρης, Μαθήματα Αναλυτικής Μηχανικής, ΟΑΔΒ, 1988.
[3] E. A. Desloge, Classical Mechanics, Vol. 1, 2, John Wiley, 1982.
[4] Α. Μαυραγάνης, Αναλυτική Μηχανική, ΕΜΠ, 1998.
[5] R. M. Rosenberg, Analytical Dynamics of Discrete Systems, Plenum Press, 1977.
[6] G. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, second edition, Academic Press, 1970.
[7] H. Margenau and G. M. Murphy, The Mathematics of Physics and Chemistry, D. Van Nostrand Co.
Inc., 1962.
[8] H. Flandres, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Dover Publications, N.Y.,
1989.
[9] S.H. Weitraub, Differential Forms: A Complement to Vector Calculus, Academic Press,1996.
[10] E. J. Saletan and A. H. Cromer, Theoretical Mechanics, John Willey, 1971.
[11] A. R. Forsyth, A Treatise On Differential Equations, sixth Ed., Macmillan and Company Limited,
1956.
[12] E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover, 1953.
[13] W. Greiner, Classical Mechanics, Systems of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 1989.
[14] E. A. Desloge, Suppression and restoration of constants in physical equations, American Journal of
Physics, Vol. 52, No. 4, pp. 312-316, April 1984.
[15] Π. Ιωάννου και Θ. Αποστολάτος, Στοιχεία Θεωρητικής Μηχανικής, Β’ Έκδοση, Πανεπιστήμιο
Αθηνών, 2007.
Αναλυτική Δυναμική 30
Κεφάλαιο 2: Φορμαλισμός του Lagrange
2.1 Αρχή d’ Alembert
Μια τέτοια αρχή διατύπωσε πρώτα ο James Bernoulli αλλά αναπτύχτηκε στη συνέχεια από τον d’ Alembert και
φέρει το όνομά του.
Ξεκινούμε με καρτεσιανές συντεταγμένες και με δυνάμεις τις καρτεσιανές δυνάμεις, διανύσματα,
γνωστές από τη νευτώνεια θεώρηση της Μηχανικής. Σε αυτό το σημείο, αλλά και αργότερα, είναι χρήσιμο το
Παράρτημα Π2 περί ειδών συνιστωσών δυνάμεων.
Η ιδέα της ανωτέρω αρχής ξεκινά από τη Στατική. Όταν ένα σύστημα από N υλικά σημεία ισορροπεί,
τότε η συνολική δύναμη που ασκείται σε κάθε υλικό σημείο (σωμάτιο) του συστήματος είναι μηδέν,
Fi 0 i 1, 2,..., N . (2.1)
Παριστάνουμε με δri την απειροστή δυνατή (εικονική) μετατόπιση του υλικού σημείου i , είναι
μετατόπιση από το σημείο ισορροπίας του, η οποία γίνεται «παγώνοντας» τον χρόνο ( dt 0) . Είναι
μετατόπιση συμβατή με τους συνδέσμους, οι οποίοι δε μεταβάλλονται κατά τη δυνατή μετατόπιση. Τονίζουμε
ότι οι ταχύτητες παγώνουν, διατηρώντας κατά τη δυνατή μετατόπιση, τις τιμές που έχουν τη στιγμή t . Το
δυνατό έργο της ολικής δύναμης πάνω σε κάθε ένα υλικό σημείο θα είναι μηδέν, διότι από την Εξ. (2.1)
προκύπτει ότι ισχύουν
Fi δri 0 i 1, 2,..., N . (2.2)
Έστω ότι υπάρχουν M δεσμοί, τότε σύμφωνα με τα προηγούμενα υπάρχουν, γενικώς, οι ασκούμενες
(ενεργητικές) δυνάμεις και οι δυνάμεις των δεσμών (παθητικές δυνάμεις). Η συνολική δύναμη πάνω σε κάθε
υλικό σημείο μπορεί να αναλυθεί σε μια (συνολική) ενεργητική, Fai , και μια (συνολική) δύναμη δεσμού, Fci ,
οπότε
Fi = Fai + Fci . (2.3)
Το δυνατό έργο που εκτελείται κατά τη δυνατή μετατόπιση, πάνω σε κάθε ένα σωμάτιο, είναι
Fi δri Fai δri Fci δri 0 . (2.4)
Η συνολική δύναμη δεσμού, Fci , πάνω στο σωμάτιο i , που οφείλεται στους M δεσμούς, είναι το
M
άθροισμα των δυνάμεων από τον κάθε έναν δεσμό, Fcji j 1, 2,..., M , Fci Fcji . Αν αθροίσουμε τα
j 1
δυνατά έργα για όλα τα υλικά σημεία του συστήματος, θα έχουμε για το συνολικό δυνατό έργο όλων των
δυνάμεων επί του συστήματος
N N
Fai δri Fci δri 0 .
i 1 i 1
(2.5)
Υποθέτουμε ότι κάθε ένας δεσμός είναι ιδανικός δεσμός, οπότε για κάθε έναν δεσμό, το δυνατό συνολικό
N
έργο των δυνάμεων του δεσμού πάνω σε όλα τα σωμάτια είναι μηδέν, δηλαδή F
i 1
cji δri 0 , επομένως
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 31
N N M
F
i 1
ci δri Fcji δri 0 .
i 1 j 1
(2.6)
Έτσι, η (2.5) δίνει
N
F
i 1
ai δri 0 . (2.7)
Αυτό σημαίνει ότι κάθε χρονική στιγμή, κατά την ισορροπία, το συνολικό δυνατό έργο επί του
συστήματος των ενεργητικών (ασκούμενων) δυνάμεων είναι μηδέν. Η Εξ. (2.7) αναφέρεται ως Αρχή των
Δυνατών Έργων.
Οι δυνατές μετατοπίσεις δri i 1, 2,..., N , όταν υπάρχουν δεσμοί, δεν είναι αυθαίρετες, δηλαδή δεν
είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, γι’ αυτό από τη σχέση (2.7) δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι Fai = 0 .
Η σχέση (2.7) είναι κάτι χρήσιμο που μπορεί να εφαρμοστεί σε συστήματα σε ισορροπία και να βοηθήσει
στη λύση προβλημάτων στατικής. Σε στοιχειώδες επίπεδο εφαρμόζεται στις απλές μηχανές όπως τροχαλίες,
μοχλούς κ.λπ.
Στη συνέχεια, έγινε η προσπάθεια να αναχθούν τα προβλήματα της Δυναμικής σε προβλήματα Στατικής
και να γενικευτεί η Αρχή των Δυνατών έργων και για τη Δυναμική. Ο θεμελιώδης νόμος της Δυναμικής για
κάθε υλικό σημείο ενός συστήματος γράφεται
dpi
Fi pi i 1, 2,..., N . (2.8)
dt
Από αυτή τη σχέση καταλήγουμε στη σχέση
Fi pi =0 i 1, 2,..., N . (2.9)
Ο όρος - pi λέγεται αντίστροφη ενεργός δύναμη (reversed effective force) ή αδρανειακή δύναμη ή
δύναμη d’ Alembert. Η Εξ. (2.9) μας λέει ότι για ένα σύστημα υλικών σημείων που, γενικώς, δεν βρίσκεται σε
ισορροπία, κάθε στιγμή το διανυσματικό άθροισμα των πραγματικών δυνάμεων και των αντίστροφων ενεργών
δυνάμεων, σε κάθε ένα σημείο, είναι μηδέν, δηλαδή αυτές οι δυνάμεις ισορροπούν. Αν φανταστούμε δυνατές
μετατοπίσεις (ο χρόνος παγώνει), από την Εξ. (2.9) βρίσκουμε
Fi δri pi δri 0 . (2.10)
Στη συνέχεια κάνουμε την ανάλυση των πραγματικών δυνάμεων, όπως και στα προηγούμενα.
F
N
Υποθέτουμε ότι έχουμε ιδανικούς δεσμούς και καταλήγουμε στη σχέση ai pi δri 0 . Για ευκολία
i 1
αλλάζουμε συμβολισμό, δηλαδή παραλείπουμε τον δείκτη a στην ενεργητική δύναμη και γράφουμε αντί Fai
απλώς Fi . Έτσι, έχουμε
N N
Fi pi δri Fi mi ri δri 0 (2.11)
i 1 i 1
Έχουμε στη Στατική και στη Δυναμική, ότι το δυνατό έργο δW όλων των πραγματικών δυνάμεων στο
σύστημα, είναι το άθροισμα των έργων των ενεργητικών (ασκούμενων) δυνάμεων και των δυνάμεων των
δεσμών. Εφόσον οι δεσμοί είναι ιδανικοί, το δυνατό έργο τους είναι μηδέν, οπότε το συνολικό δυνατό έργο
Αναλυτική Δυναμική 32
όλων των πραγματικών δυνάμεων στο σύστημα, ισούται με το έργο (μόνον) όλων των ενεργητικών δυνάμεων.
Έτσι καταλήγουμε στη σχέση
N
δW Fi δri .
i 1
(2.12)
Η σχέση (2.11) είναι η Αρχή (του) d’ Alembert, που είναι γενίκευση της Αρχής των Δυνατών Έργων,
Εξ. (2.7). Προφανώς η Αρχή d’ Alembert ισχύει και όταν δεν υπάρχουν δεσμοί.
Σημειώνουμε, όπως και πριν, ότι από την Εξ. (2.11) δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι
Fi - pi = Fi - mi ri = 0
διότι όταν υπάρχουν δεσμοί, τα δri δεν μπορεί το καθένα να ληφθεί αυθαίρετα σε σχέση με τα άλλα,
διότι αλληλοεξαρτώνται, όπως είπαμε προηγουμένως.
2.2 Φορμαλισμός χωρίς δεσμούς
Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχουν δυνάμεις δεσμών (δηλαδή παθητικές δυνάμεις), υπάρχουν μόνο
ασκούμενες (δηλαδή ενεργητικές) δυνάμεις και μπορεί κάποιος να προχωρήσει χωρίς χρήση της αρχής d’
Alembert, όμως μπορεί να ξεκινήσει και με τη χρήση της η οποία ισχύει κατά τετριμμένο τρόπο και όταν δεν
υπάρχουν δεσμοί.
Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα σωματίων που περιγράφεται με καρτεσιανές συντεταγμένες. Το σύστημα
μπορεί να περιγραφεί και με άλλες συντεταγμένες. Με μετασχηματισμό των συντεταγμένων από καρτεσιανές
σε οποιεσδήποτε άλλες (γενικευμένες) συντεταγμένες, καταλήγουμε στις εξισώσεις (του) Lagrange που έχουν
ίδια μορφή, ανεξάρτητα από το ποιες είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες. Οι λύσεις αυτών των εξισώσεων
Lagrange περιγράφουν την κίνηση του συστήματος στις νέες συντεταγμένες. Ο μετασχηματισμός των λύσεων
στις καρτεσιανές οδηγεί στις λύσεις στις γενικευμένες συντεταγμένες. Οι ασκούμενες δυνάμεις
μετασχηματίζονται σε γενικευμένες (συνιστώσες) δυνάμεις που κάθε μια σχετίζεται με μια γενικευμένη
συντεταγμένη και λέγεται συνιστώσα γενικευμένης δύναμης της γενικευμένης συντεταγμένης. Οι σχέσεις
μετασχηματισμού συντεταγμένων που χρησιμοποιούμε είναι
n 3N
ri ri (q1 , q2 ,..., qn , t ) i 1, 2,..., N (2.13)
q j q j (r1 , r2 ,..., rN , t ) j 1, 2,..., n .
Εννοείται ότι για την περιοχή ισχύος αυτού του μετασχηματισμού πρέπει οι σχέσεις αυτές να μπορούν
να αντιστραφούν. Θα σκιαγραφήσουμε τη μέθοδο και αφήνουμε ως άσκηση την απόδειξη των αποτελεσμάτων
που δίνουμε. Γίνεται χρήση του Παραρτήματος Π3 για την κινητική ενέργεια σε γενικευμένες συντεταγμένες,
η οποία ενέργεια σημειώνουμε ότι υπολογίζεται ως προς το αδρανειακό σύστημα αναφοράς.
Ξεκινούμε από τις εξισώσεις κίνησης του Νεύτωνα (στο αδρανειακό σύστημα) με τις ανωτέρω
καρτεσιανές συντεταγμένες
mi ri Fi i 1, 2,..., N . (2.14)
Μετά από εφαρμογή των ανωτέρω μετασχηματισμών καταλήγουμε στις
d T T
Qk , k 1, 2,..., n . (2.15)
dt qk qk
Αυτές είναι οι εξισώσεις Euler-Lagrange. Στη Μηχανική και γενικότερα στη Φυσική, συνήθως λέγονται
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 33
απλώς εξισώσεις Lagrange. Η κινητική ενέργεια εκφράζεται ως συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων,
των γενικευμένων ταχυτήτων και του χρόνου, T T (q, q, t ) .
Η παράσταση στο δεξί μέλος των Εξ. (2.15), ορίζει την γενικευμένη συνιστώσα δύναμης τη σχετική με
τη συντεταγμένη k , δηλαδή την qk , που παριστάνεται με Qk , δηλαδή
N
ri
Qk Fi k 1, 2,..., n . (2.16)
i 1 qk
Όταν όλες οι δυνάμεις προέρχονται από βαθμωτή δυναμική συνάρτηση V (r1 , r2 ,..., rN , t ) , δηλαδή όταν
Fi iV , τότε έχουμε για τις γενικευμένες δυνάμεις
N
ri N
r
Qk Fi iV i k 1, 2,..., n . (2.17)
i 1 qk i 1 qk
Η τελευταία έκφραση είναι η μερική παράγωγος της συνάρτησης V ως προς qk , όπου V V (q, t ) ,
δηλαδή τα ri έχουν αντικατασταθεί συναρτήσει των q j . Επομένως
V
Qk (2.18)
qk
Εφόσον το V δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες, έχουμε
d (T V ) (T V )
0 k 1, 2,..., n . (2.19)
dt qk qk
Η συνάρτηση (του) Lagrange, λαγκρανζιανή (lagrangian), ορίζεται από τη σχέση
L(q, q, t ) T (q, q, t ) V (q, t ) . Θα δούμε παρακάτω την περίπτωση όπου η δυναμική συνάρτηση έχει μια
ειδική μορφή εξάρτησης από τις ταχύτητες. Τότε η δυναμική συνάρτηση είναι της μορφής U U (q, q, t ) και
L(q, q, t ) T (q, q, t ) U (q, q, t ) . Η μορφή U (q, q, t ) περιλαμβάνει τη μορφή V (q, t ) όταν δεν
υπεισέρχονται ταχύτητες.
Όταν η λαγκρανζιανή υπολογίζεται με τον παραπάνω τρόπο, συνήθως, λέγεται «φυσιολογική»
λαγκρανζιανή. Αυτό έχει τη σημασία του γιατί θα δούμε ότι για ένα σύστημα υπάρχουν πολλές διαφορετικές
λαγκρανζιανές οι οποίες είναι ισοδύναμες αφού οδηγούν στις ίδιες (τελικές) εξισώσεις κίνησης. Η άμεση
εξάρτηση αυτής της λαγκρανζιανής από τον χρόνο μπορεί να οφείλεται σε δεσμευτικές σχέσεις που εξαρτώνται
από τον χρόνο, σε αλλαγή συστήματος αναφοράς, σε ύπαρξη δυνάμεων που εξαρτώνται από τον χρόνο.
Με τη λαγκρανζιανή, οι εξισώσεις κίνησης (2.19) γίνονται
d L L
0 k 1, 2,..., n . (2.20)
dt qk qk
Αυτή είναι η άλλη μορφή των εξισώσεων Lagrange.
Προς τιμήν του Lagrange, χρησιμοποιείται και ο όρος Λαγκρανζιανή Μηχανική (Lagrangian
Mechanics). Ο ίδιος ο Lagrange στο πρώτο σχετικό σύγγραμμά του χρησιμοποιεί τον όρο Αναλυτική
Μηχανική.
Είναι ευνόητο ότι οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης για συγκεκριμένο μηχανικό σύστημα, προκύπτουν
από τις ανωτέρω γενικής μορφής εξισώσεις Lagrange, αφού δοθεί η συγκεκριμένη λαγκρανζιανή ή/και οι
ενεργητικές γενικευμένες συνιστώσες δύναμης, για το μηχανικό σύστημα που εξετάζεται. Δηλαδή οι εξισώσεις
Αναλυτική Δυναμική 34
του Lagrange είναι ένα είδος «συνταγής» που οδηγεί στις ειδικές (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης για κάθε
συγκεκριμένο μηχανικό σύστημα.
Η αξία της λαγκρανζιανής διατύπωσης της μηχανικής συνίσταται στο ότι, εκτός των άλλων, η μορφή
των εξισώσεων Euler-Lagrange δεν εξαρτάται από το ποιες είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες. Η σημασία
όμως αυτής της διατύπωσης είναι μεγαλύτερη όταν υπάρχουν ολόνομοι δεσμοί, τότε μπορούμε να έχουμε τις
εξισώσεις Lagrange και τις ειδικές για το σύστημα εξισώσεις κίνησης, ανεξάρτητες των δυνάμεων των δεσμών,
ανεξάρτητες των δεσμών.
Αναφέρουμε εδώ ότι, στα πλαίσια της Κλασικής Μηχανικής, μπορούμε να βρούμε λαγκρανζιανές με τη
συνταγή της φυσιολογικής λαγκρανζιανής, L T U , για τις συνήθεις βασικές μακροσκοπικές δυνάμεις του
ηλεκτρομαγνητισμού και της (νευτώνειας) βαρύτητας. Αυτό γίνεται διότι αυτές οι δυνάμεις μπορούν να
προκύψουν με γνωστό τρόπο, από δυναμική συνάρτηση U (q, q, t ) .
Αυτό δεν μπορεί να γίνει για όλες τις περιπτώσεις μη βασικών μακροσκοπικών δυνάμεων, όπως για
παράδειγμα είναι οι τριβές. Όμως μπορεί να δειχτεί ότι υπό ορισμένες προϋποθέσεις , μπορούμε να βρούμε
λαγκρανζιανές και για συστήματα στα οποία δεν μπορεί να εφαρμοστεί η παραπάνω συνταγή L T U .
Ακόμη και σε αυτή την περίπτωση οι (ειδικές) εξισώσεις κίνησης του συστήματος μπορεί να προκύψουν από
τις εξισώσεις Lagrange. Θα δούμε περισσότερες λεπτομέρειες παρακάτω.
Σημειώνουμε το εξής: Έστω ότι για κάποιες γενικευμένες συντεταγμένες ισχύουν οι εξισώσεις Lagrange,
στη συνέχεια αν χρησιμοποιηθεί μετασχηματισμός μεταξύ αυτών των συντεταγμένων και νέων γενικευμένων
συντεταγμένων, όπου μπορεί να εισέρχεται και ο χρόνος, τότε ισχύουν οι εξισώσεις Lagrange και στο νέο
σύστημα όπου η λαγκρανζιανή έχει μετασχηματιστεί σύμφωνα με αυτό τον μετασχηματισμό.
Πρέπει να πούμε ότι δεν είναι ανάγκη να ξεκινά κάποιος από καρτεσιανές συντεταγμένες, μπορεί να
ξεκινήσει από οποιεσδήποτε συντεταγμένες και με μετασχηματισμό συντεταγμένων θα καταλήξει πάλι σε
εξισώσεις Lagrange στις «νέες» συντεταγμένες. Αυτό είναι αναμενόμενο αφού οι εξισώσεις Lagrange έχουν
την ίδια μορφή για κάθε σύνολο συντεταγμένων.
Είναι σημαντικό να τονίσουμε τα παρακάτω που σχετίζονται με αυτά τα τελευταία. Αν ξέρουμε τη
λαγκρανζιανή εκφρασμένη ως προς κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς, τότε αν εφαρμόσουμε
μετασχηματισμό που οδηγεί σε άλλο σύστημα αναφοράς κινούμενο κατά οποιονδήποτε τρόπο ως προς το
πρώτο, τότε η προκύπτουσα λαγκρανζιανή είναι σωστή λαγκρανζιανή και ως προς το νέο σύστημα, που μπορεί
να μην είναι αδρανειακό. Τέτοιοι μετασχηματισμοί έχουν άμεση εξάρτηση από τον χρόνο.
Αυτό δεν ισχύει, γενικώς, για άλλα μεγέθη. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η κινητική ενέργεια.
Η κινητική ενέργεια ως προς σύστημα αναφοράς σχετίζεται με τις ταχύτητες ως προς αυτό το σύστημα
αναφοράς. Αυτό σημαίνει ότι αν ξεκινήσουμε με την κινητική ενέργεια ως προς κάποιο αδρανειακό σύστημα
και μετασχηματίσουμε τις συντεταγμένες έτσι που να πάμε σε κινούμενο ως προς το πρώτο σύστημα αναφοράς,
τότε θα έχουμε την κινητική ενέργεια ως προς το αρχικό σύστημα αναφοράς εκφρασμένη με συντεταγμένες
του κινούμενου συστήματος αναφοράς. Η κινητική ενέργεια ως προς το κινούμενο σύστημα περιλαμβάνει τις
«σχετικές» ταχύτητες ως προς αυτό και είναι εντελώς άλλη έκφραση από αυτή που προέκυψε με τον ανωτέρω
μετασχηματισμό συστήματος αναφοράς.
Η λαγκρανζιανή χαρακτηρίζει το μηχανικό σύστημα ανεξάρτητα από το σύστημα αναφοράς. Η μορφή
της γενικώς αλλάζει με τους μετασχηματισμούς σημείου σε σχέση με τη μορφή στο αρχικό, αλλά εξακολουθεί
να είναι λαγκρανζιανή και ως προς το νέο κινούμενο ως προς το πρώτο συστήματα αναφοράς.
Είναι χρήσιμο να κάνουμε κάποια σχόλια για τις διάφορες παραγώγους και τα σύμβολά τους. Έστω ότι
έχουμε μια συνάρτηση των q , q , t (δυναμική συνάρτηση), δηλαδή f f (q, q, t ) . Ότι έχουμε άμεση εξάρτηση
από τα q , q , t , ορίσματα της f . Εννοείται ότι q q(t ), q q (t ) , αλλά δεν μας είναι γνωστές εκ των προτέρων
f
οι τελευταίες. Έχουμε τα εξής είδη παραγώγων: , όπου εννοείται ότι όλα τα (άλλα) ορίσματα της f είναι
qr
f f
σταθερά, εκτός του qr . όπου όλα τα ορίσματα της f είναι σταθερά εκτός του qr . όπου όλα τα
qr t
ορίσματα της f είναι σταθερά εκτός του t . Η εξάρτηση από τον χρόνο είναι άμεση και χαρακτηρίζεται από
την τελευταία μερική παράγωγο ως προς τον χρόνο, και έμμεση, εξαρτώμενη από τα q q(t ), q q (t ) . Αυτά
σημαίνουν ότι ολική παράγωγος ως προς τον χρόνο είναι,
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 35
df n
f n
f f
qi qi .
dt i 1 qi i 1 qi t
Αξίζει να τονίσουμε ότι η «συνταγή» L T U , όταν μπορεί να χρησιμοποιηθεί, γίνεται ανεξάρτητα
από το αν το σύστημα περιγραφής είναι αδρανειακό ή όχι. Όμως πρέπει να ξέρουμε πώς να υπολογίσουμε το
U και το στο μη αδρανειακό σύστημα. Θυμηθείτε ότι σε μη αδρανειακά συστήματα υπεισέρχονται και οι
λεγόμενες ψευδοδυνάμεις ή αδρανειακές δυνάμεις.
Επειδή το μέγεθος U είναι συνήθως γνωστό σε αδρανειακά συστήματα, προτιμούμε πρώτα να γράφουμε
την λαγκρανζιανή σε αδρανειακό σύστημα (τις πιο πολλές στη μορφή V ( q, t ) ) και μετά με μετασχηματισμό
να τη βρίσκουμε για οποιοδήποτε σύστημα, αδρανειακό ή όχι. Πολλές φορές ξεκινούμε και με καρτεσιανές
συντεταγμένες, παρόλο που ούτε αυτό είναι απαραίτητο.Τέλος, σημειώνουμε ότι, αν η λαγκρανζιανή
συστήματος πολλαπλασιαστεί επί σταθερά, οι εξισώσεις κίνησης μένουν ίδιες, είναι αναλλοίωτες. Αυτό
δείχνεται εύκολα με απλή αντικατάσταση της L με σταθ L C L στις εξισώσεις Lagrange.
2.3 Φορμαλισμός με δεσμούς
Αυτός ο φορμαλισμός περιλαμβάνει ως ειδική περίπτωση την περίπτωση όπου δεν υπάρχουν δεσμοί.
2.3.1 Δυνάμεις δεσμών
Όπως είπαμε, οι δεσμοί ασκούν δυνάμεις και περιορίζουν την κίνηση μηχανικού συστήματος. Οι δυνάμεις
αυτές των δεσμών, δεν έχουν γνωστή άμεση εξάρτηση από τη θέση, τις ταχύτητες και τον χρόνο, ενώ αυτό
ισχύει για τις ενεργητικές δυνάμεις, οι οποίες είναι γνωστές συναρτήσεις της γενικής μορφής, Fi Fi (r , r , t ) .
Θα δούμε ότι από τις σχέσεις των δεσμών μπορούμε να έχουμε μια μερική γνώση για τις δυνάμεις των δεσμών.
Ο πλήρης προσδιορισμός τους χρειάζεται τη λύση του προβλήματος για το μηχανικό σύστημα που εξετάζουμε.
Για να κατανοήσουμε τη διαφορά αναφέρουμε ότι αν για κάποια χρονική στιγμή δοθούν οι θέσεις, οι ταχύτητες
και ο χρόνος, τότε οι ενεργητικές δυνάμεις είναι πλήρως καθορισμένες αυτή τη στιγμή, για τον προσδιορισμό
τους δε χρειάζεται να βρεθεί συγκεκριμένη πραγματική κίνηση του συστήματος. Όμως, για κάποιο σύστημα
υλικών σημείων όπου υπάρχουν δεσμοί, αυτό δεν ισχύει για τις δυνάμεις των δεσμών. Δηλαδή για τις ίδιες
θέσεις, ταχύτητες και χρόνο οι δυνάμεις των δεσμών μπορεί να είναι διαφορετικές. Θυμηθείτε ότι μπορεί στο
ίδιο σύστημα σωματίων οι δεσμοί να είναι ίδιοι, αλλά οι ενεργητικές δυνάμεις να είναι διαφορετικές, και
επομένως, ακόμη και για ίδιες αρχικές συνθήκες, οι κινήσεις είναι διαφορετικές, πράγμα που επηρεάζει τις
δυνάμεις δεσμών κάθε χρονική στιγμή. Οφείλουμε να τονίσουμε ότι οι δυνάμεις των δεσμών, σε αντίθεση με
τις ενεργητικές δυνάμεις, μηδενίζονται όταν δεν υπάρχουν δεσμοί. Επίσης, οι θέσεις και ταχύτητες που
υπάρχουν στις σχέσεις που δίνουν τις δυνάμεις δεσμών, είναι τέτοιες που να πληρούν τις σχέσεις των δεσμών,
δηλαδή δεν είναι τόσο αυθαίρετες όπως είναι στην περίπτωση των ενεργητικών δυνάμεων. Θα ξεκινήσουμε με
καρτεσιανές συντεταγμένες. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε σύστημα Ν σωματίων που περιγράφονται με Ν
διανύσματα θέσης (r1 , r2 ,..., rN ) . Υποθέτουμε ότι υπάρχουν K ολόνομοι και K μη ολόνομοι δεσμοί. Οι
δεσμευτικές σχέσεις είναι K K το πλήθος, ισχύει K K 3N . Τις κατατάσσουμε έτσι που οι πρώτες K
να είναι αυτές των μη ολόνομων δεσμών και οι υπόλοιπες K αυτές των ολόνομων. Θα υποθέσουμε ότι έχουμε
προσδιορίσει τις σχέσεις για τους ολόνομους δεσμούς σε ολοκληρωμένη μορφή (γεωμετρική μορφή) οι οποίες
είναι,
fl (r1 , r2 ,..., rN , t ) 0 l K 1, K 2,..., K K K K 3N . (2.21)
Οι εξισώσεις μπορούν να γραφούν ως συναρτήσεις των καρτεσιανών συνιστωσών θέσης και του χρόνου,
έχουμε,
(r1 , r2 ,..., rN , t ) x ( x1 , x2 ,..., x3 N , t ) . (2.22)
Θα περιοριστούμε στην περίπτωση που οι K μη ολόνομοι δεσμοί εκφράζονται με διαφορικές εξισώσεις
Αναλυτική Δυναμική 36
γραμμικές ως προς τις παραγώγους πρώτης τάξεως ή στην αντίστοιχη μορφή με εξισώσεις Pfaff.
Μπορούμε όμως να γράψουμε τις δεσμευτικές σχέσεις με τις καρτεσιανές συντεταγμένες στην
ολοκληρωμένη μορφή για την περίπτωση των ολόνομων δεσμών, αλλά και για τα δυο είδη δεσμών μπορούμε
να τις έχουμε στη μορφή με παραγώγους πρώτης τάξεως (ή στη μορφή Pfaff):
fl ( x1 , x2 ,..., x3 N , t ) 0
3N
fl fl 3 N
i 1 xi
xi = Ali ( x, t ) xi Al (x,t ) 0
t i 1
3N
fl fl 3N
i 1 xi
dxi
t
dt =
i 1
Ali (x, t )dxi Al ( x, t )dt 0
fl f
Ali (x, t ) Al ( x, t ) l l K 1, K 2,..., K K
xi t (2.23)
3N
A
i 1
ji ( x, t ) xi Aj (x,t )=0
3N
A
i 1
ji (x, t )dxi Aj ( x, t )dt 0 j 1, 2,..., K
K K 3N .
Για ευκολία διαλέξαμε την παραπάνω αρίθμηση των δεσμευτικών σχέσεων αλλά κάποιος μπορεί να
διαλέξει οποιαδήποτε άλλη. Οι K το πλήθος μη ολόνομες σχέσεις δεν είναι ολοκληρώσιμες. Οι σχέσεις της
πρώτης σειράς αποτελούν γεωμετρικούς δεσμούς και οι αντίστοιχες δυνάμεις δεσμών λέγονται δυνάμεις
γεωμετρικού δεσμού, μπορούμε να τις λέμε και γεωμετρικές δυνάμεις. Όλες οι άλλες σχέσεις δεσμών
αποτελούν κινηματικούς δεσμούς και οι αντίστοιχες δυνάμεις δεσμών λέγονται δυνάμεις κινηματικού δεσμού
ή κινηματικές δυνάμεις. Στην περίπτωση ολόνομων δεσμών οι δεσμοί μπορεί να είναι γεωμετρικοί ή
κινηματικοί και αντίστοιχα οι δυνάμεις των δεσμών, είναι δυνάμεις γεωμετρικού δεσμού (γεωμετρικές) ή
δυνάμεις κινηματικού δεσμού (κινηματικές). Στην περίπτωση των μη ολόνομων δεσμών, οι δεσμοί είναι μόνο
κινηματικοί και οι αντίστοιχες δυνάμεις είναι μόνο δυνάμεις κινηματικού δεσμού (κινηματικές).
Από τις γεωμετρικές μορφές μπορούμε να βρούμε με παραγώγιση ή διαφόριση τις κινηματικές μορφές.
Αντίστροφα, με ολοκλήρωση μπορούμε να κάνουμε το αντίστροφο, οπότε το πολύ να έχουμε και μια
προσθετική σταθερά. Η σταθερά έχει τιμή που εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες του χρονικά εξελισσόμενου
συστήματος. Εννοείται ότι κατά την ανωτέρω διαδικασία, μπορεί οι δεδομένες κινηματικές μορφές να μην είναι
ολικά διαφορικά ή ολοκληρώσιμες. Σε αυτή την περίπτωση θα χρειαστεί να πολλαπλασιαστούν επί
ολοκληρωτικούς παράγοντες πριν την ολοκλήρωση ή ακόμη αν έχουμε πολλές εξισώσεις, να χρειαστεί να
ληφθούν και συνδυασμοί τους και μετά να ολοκληρωθούν. Δηλαδή στην περίπτωση που υπάρχει
ολοκληρωσιμότητα πάντα μπορούμε να καταλήξουμε σε σχέσεις που περιέχουν ολικά διαφορικά και τελικώς
σε γεωμετρικές μορφές.
Ας ξεκινήσουμε με την περίπτωση ολόνομου δεσμού, όπου έχουμε μόνο ένα σωμάτιο το οποίο μπορεί
να κινείται στον τρισδιάστατο (θεσικό) χώρο και είναι δέσμιο να βρίσκεται συνεχώς πάνω σε μια δισδιάστατη
επιφάνεια αυτού του θεσικού χώρου (γεωμετρικός δεσμός) και δεν υπάρχει τριβή.
Η μη ύπαρξη τριβής σημαίνει ότι η δύναμη ένεκα του δεσμού, είναι κάθετη στην δισδιάστατη επιφάνεια,
και κατά τις δυνατές μετατοπίσεις το έργο της δύναμης του δεσμού είναι μηδέν, δηλαδή ισχύει η αρχή d’
Alembert. Αυτή η επιφάνεια παριστάνεται με μια μοναδική δεσμευτική σχέση, την
f (r , t ) f ( x1 , x2 , x3 , t ) 0 , και έχουμε το Σχ.(2.1). Η επιφάνεια στον θεσικό χώρο, γενικώς, κινείται και
μπορεί να μεταβάλλει σχήμα με τον χρόνο.
Το Σχ. (2.1) αναφέρεται σε δυο διαφορετικές σταθερές τιμές του χρόνου t1 , t t1 t .
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 37
Σχήμα 2.1 Δισδιάστατη επιφάνεια δεσμού σε τρισδιάστατο θεσικό χώρο για ένα (δέσμιο) σωμάτιο.
f f f
Το διάνυσμα με τις τρεις συνιστώσες , , είναι διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια στη θέση
x1 x2 x3
που φαίνεται στο σχήμα, υπό την προϋπόθεση ότι στη συγκεκριμένη επιφάνεια και θέση τη δεδομένη χρονική
στιγμή, οι παραπάνω μερικές παράγωγοι δεν είναι όλες μηδέν και επίσης όλες είναι πεπερασμένες. Μπορούμε
πάντα να γράψουμε τη σχέση του συνδέσμου έτσι που αυτές οι παράγωγοι να μην είναι μηδέν. Για παράδειγμα,
η σχέση f a ( x1 , x2 , x3 ) ( s1 x1 s2 x2 s3 x3 ) 0 και η σχέση f b ( x1 , x2 , x3 ) ( s1 x1 s2 x2 s3 x3 ) 2 0 με
( s1 , s2 , s3 ) σταθ., παριστάνουν και οι δυο τον ίδιο γεωμετρικό δεσμό, δεσμεύουν το σωμάτιο να βρίσκεται
στο ίδιο επίπεδο που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετο στο διάνυσμα ( s1 , s2 , s3 ) . Όμως
πάνω στη συγκεκριμένη επιφάνεια
f a
si 0 i 1, 2,3
xi
Ενώ
f b
2( s1 x1 s2 x2 s3 x3 ) xi 0 i 1, 2,3
xi
Επομένως για τον σκοπό μας είναι χρήσιμη για την περιγραφή του παραπάνω δεσμού, μόνο η μια από
τις δυο παραπάνω εκφράσεις, δηλαδή η έκφραση,
fa ( x1 , x2 , x3 ) ( s1 x1 s2 x2 s3 x3 ) 0
Μια άλλη έκφραση, η f c ( x1 , x2 , x3 ) ( s1 x1 s2 x2 s3 x3 )1/2 0 δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί διότι οι
παράγωγοί της ως προς τα xi απειρίζονται. Η δύναμη του δεσμού Fc , θα είναι συγγραμμική με το κάθετο
f
διάνυσμα και για κάθε μια καρτεσιανή συνιστώσα της θα ισχύει Fci (t ) i 1, 2,3 ή Fc (t )f .
xi
Βλέπουμε ότι κάναμε ένα βήμα για τον προσδιορισμό της δύναμης δεσμού. Η δύναμη είναι ίση με το γινόμενο
μιας άγνωστης συνάρτησης του χρόνου (πολλαπλασιαστής Lagrange) (t ) επί την κλίση της δεδομένης
(γνωστής) έκφρασης της οποίας έκφρασης ο μηδενισμός καθορίζει τον ολόνομο δεσμό. Αυτά γενικεύονται και
για σύστημα πολλών σωματίων και με πολλούς ολόνομους δεσμούς.
Αναλυτική Δυναμική 38
Τώρα θα δούμε τι ισχύει για τις δυνάμεις των δεσμών στην πιο γενική περίπτωση πολλών σωματίων και
πολλών δεσμών οι οποίοι δεσμοί δίνονται στη μορφή Pfaff (μπορεί να είναι ολόνομοι ή μη ολόνομοι). Οι
εξισώσεις των δεσμών σε αυτές τις περιπτώσεις είναι,
3N
A
i 1
ji (x, t )dxi A j (x,t )dt 0 j 1, 2,..., M .
M είναι το πλήθος των δεσμών.
Για τις δυνατές μετατοπίσεις έχουμε
3N
A
i 1
ji (x, t )δxi 0 j 1, 2,..., M (2.24)
Το συνολικό έργο των δυνάμεων για κάθε έναν δεσμό είναι μηδέν, δηλαδή
3N
F
i 1
cji (x, t )δxi 0 j 1, 2,..., M . (2.25)
Αυτό δηλώνει ότι, για κάθε δεσμό και κάθε χρονική στιγμή, οι δυνατές μετατοπίσεις είναι κάθετες στις
δυνάμεις των δεσμών. Αυτό είναι ανεξάρτητο από το αν οι δεσμοί είναι ολόνομοι ή όχι. Χρειάζεται να βρούμε
πως σχετίζονται οι δυνάμεις των δεσμών με γνωστές εκφράσεις που υπολογίζονται από τις δεδομένες
δεσμευτικές σχέσεις, όπως κάναμε και στην προηγούμενη απλή περίπτωση ενός σωματίου με έναν ολόνομο
γεωμετρικό δεσμό. Παρόλο που μπορούμε διαισθητικά να καταλάβουμε τι γίνεται, θα ακολουθήσουμε την
παρακάτω κάπως πιο αυστηρή διαδικασία: Πολλαπλασιάζουμε την κάθε μια από τις σχέσεις (2.24) επί μια
αυθαίρετη συνάρτηση του χρόνου j (t ) (πολλαπλασιαστής Lagrange) και αφαιρούμε το αποτέλεσμα από την
κάθε μια από τις (2.25), οπότε βρίσκουμε,
F (x, t ) j (t ) Aji ( x, t ) δxi 0 j =1,2,...,M .
3N
cji (2.26)
i 1
Επειδή για κάθε δεσμό j ισχύει μια δεσμευτική σχέση μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων δxi , αυτό
σημαίνει ότι μόνο 3N M από τις μετατοπίσεις δxi είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες. Επομένως M από αυτές
τις δυνατές μετατοπίσεις θα εξαρτιόνται από τις άλλες. Ας λάβουμε τις πρώτες M , δx1 , να εξαρτιόνται από
τις υπόλοιπες. Αφού τα j (t ) είναι αυθαίρετα μπορούμε να διαλέξουμε τα M πρώτα από αυτά έτσι ώστε να
M
ισχύουν F
i 1
cji (x, t ) j (t ) A ji ( x, t ) 0, j 1, 2,...M .
F (x, t ) j (t ) Aji ( x, t ) δxi 0 . Σε αυτή τη σχέση τα δxi είναι
3N
Έτσι καταλήγουμε στη σχέση cji
i 1
μεταξύ τους ανεξάρτητα, επομένως εύκολα συμπεραίνουμε ότι για κάθε έναν όρο του αθροίσματος έχουμε
Fcji (x, t ) j (t ) Aji ( x, t ) 0 i =M 1, M 2,...,3N .
Τελικώς ισχύουν
Fcji (x, t ) j (t ) Aji ( x, t ) i =1,2,...,3N j 1, 2,..., M . (2.27)
Αυτές είναι οι σχέσεις μεταξύ των δυνάμεων των δεσμών και μεγεθών που βρίσκονται από τις δεδομένες
δεσμευτικές σχέσεις. Αυτό σημαίνει πως οι σχέσεις μηδενισμού του δυνατού έργου των (άγνωστων) δυνάμεων
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 39
των δεσμών
3N
F
i 1
cji (x, t )δxi 0 j 1, 2,..., M ,
είναι ισοδύναμες με τις δεδομένες (γνωστές) δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων,
3N
A i 1
ji ( x, t )δxi 0 j 1, 2,..., M (2.28)
Αυτές είναι οι λεγόμενες πρόσθετες ή βοηθητικές συνθήκες (side conditions, auxiliary conditions) που
συνδέουν τις δυνατές μετατοπίσεις.
Τονίζουμε ότι, η Αναλυτική Μηχανική ασχολείται κυρίως με συστήματα για τα οποία οι δυνάμεις του
κάθε δεσμού δεν παράγουν έργο κατά τις δυνατές μετατοπίσεις του συστήματος. Επίσης, συνήθως, οι δεσμοί
(όπως στα προηγούμενα) μπορεί να εκφράζονται με διαφορικές εξισώσεις που εξαρτώνται γραμμικά από τις
ταχύτητες ή έχουν την ισοδύναμη μορφή εξισώσεων Pfaff.
Όταν οι εξισώσεις των δεσμών είναι πιο γενικές, της μορφής gl (q, q, t ) 0 , όπου η εξάρτηση από τις
ταχύτητες δεν είναι γραμμική, τότε δεν μπορούμε να έχουμε τις ισοδύναμες εξισώσεις Pfaff και την παραπάνω
ανάλυση. Σε αυτή την περίπτωση οι βοηθητικές σχέσεις πρέπει να προσδιοριστούν από τις σχέσεις των δεσμών
με κάποια διαδικασία που να βασίζεται στον μερικό προσδιορισμό των δυνάμεων των δεσμών. Πρέπει και σε
αυτή την περίπτωση το δυνατό έργο των δυνάμεων του κάθε δεσμού να είναι μηδέν. Θα αναφερθούμε σε αυτό
το θέμα αργότερα.
Η τελευταία γενίκευση μπορεί να περιλάβει ως μερική περίπτωση και τους δεσμούς που είναι γραμμικοί
ως προς τις ταχύτητες.
2.3.2 Μετάβαση σε γενικευμένες συντεταγμένες
Στη συνέχεια θα δείξουμε με περισσότερη αυστηρότητα, ότι για κάθε ολόνομο δεσμό, οι δυνάμεις του δεσμού,
δηλαδή οι παθητικές δυνάμεις, μπορεί να απαλειφθούν από τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης, πράγμα που
απλουστεύει κατά πολύ την αντιμετώπιση σχετικών προβλημάτων. Συγχρόνως, για κάθε ολόνομο δεσμό,
μπορεί να μειωθεί κατά ένα η διάσταση του θεσικού χώρου, οπότε έχουυμε λιγότερες γενικευμένες
συντεταγμένες.
Θα υποθέσουμε και πάλι ότι έχουμε N σωμάτια και M σχέσεις δεσμών του παραπάνω τύπου, εκ των
οποίων οι K είναι ολόνομοι και οι K είναι μη ολόνομοι, M K K 3N . Έχουμε δει ότι οι ολόνομοι
δεσμοί πλήθους K περιορίζουν τον προσβάσιμο θεσικό χώρο ενός συστήματος και τον κάνουν να έχει
διάσταση n 3N K . Με άλλα λόγια, ο αναγκαίος και ικανός αριθμός (γενικευμένων) συντεταγμένων που
χρειάζεται για να καθορίσει τη θέση ενός συστήματος είναι n 3N K . Πρόκειται για τις γνήσιες
συντεταγμένες. Τέτοιες συντεταγμένες μπορεί να είναι διάφορα φυσικά μεγέθη, όχι κατ’ ανάγκη με διαστάσεις
μήκους. Ενώ το πλήθος τους παριστάνεται συνήθως με n .
Ξεκινούμε και πάλι από καρτεσιανές συντεταγμένες και για τους K ολόνομους δεσμούς χρησιμοποιούμε
τις γεωμετρικές τους σχέσεις. Σύμφωνα με τα προηγούμενα έχουμε
fl ( x1 , x2 ,..., x3 N , t ) 0 l 1, 2,..., K
3N
A
i 1
ji ( x, t ) xi Aj (x,t )=0
(2.29)
3N
A
i 1
ji (x, t )dxi A j ( x, t )dt 0 j 1, 2,..., K
K K 3N .
Στην περίπτωση των ολόνομων δεσμών, είναι δυνατόν να θεωρήσει κάποιος το σύστημα των εξισώσεων
Αναλυτική Δυναμική 40
των γεωμετρικών δεσμευτικών σχέσεων πλήθους K (και αν αυτό είναι δυνατόν), να λύσει αυτό το σύστημα
έτσι ώστε να εκφραστούν K από τις καρτεσιανές συντεταγμένες συναρτήσει των υπόλοιπων 3N K n .
Στη συνέχεια αντικαθιστά στη λαγκρανζιανή και έτσι η λαγκρανζιανή γίνεται συνάρτηση λιγότερων
συντεταγμένων. Αυτή είναι άμεση ενσωμάτωση των (ολόνομων) δεσμευτικών σχέσεων.
Ανεξάρτητα από το αν ακολουθηθεί αυτή η μέθοδος ή όχι, οι απαραίτητες (γνήσιες) συντεταγμένες που
χρειάζονται για τον καθορισμό της θέσης του συστήματος στον θεσικό χώρο είναι λιγότερες από τις αρχικές,
όπως ήδη ξέρουμε από τα προηγούμενα. Με αυτές τις λιγότερες συντεταγμένες και με τη χρήση των σχέσεων
των δεσμών μπορούμε να βρούμε τη θέση οποιουδήποτε σωματίου του συστήματος. Αυτό, σε πολλές
περιπτώσεις, δεν είναι απαραίτητο να γίνει. Είναι ευνόητο ότι ο χώρος των γνήσιων συντεταγμένων θέσης είναι
υπόχωρος του αρχικού (πλήρους) θεσικού χώρου.
Μπορεί να γίνει μετάβαση σε άλλες γενικευμένες συντεταγμένες πριν από οποιαδήποτε διαδικασία που
θα οδηγήσει στη μείωση του πλήθους των συντεταγμένων θέσης. Αν ακολουθηθεί αυτή τη διαδικασία, πρέπει
να γίνει και μετασχηματισμός των σχέσεων των δεσμών. Στη συνέχεια μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος που
αναφέραμε στην αρχή για τις καρτεσιανές συντεταγμένες. Όμως αυτή η μέθοδος εφαρμόζεται σε απλές
περιπτώσεις αλλά δεν χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις με πολλές γεωμετρικές δεσμευτικές σχέσεις.
Φανταστείτε ένα στερεό σώμα το οποίο έχουμε προσεγγίσει να αποτελείται από N 10 υλικά σημεία. Αν
10
γράψουμε όλους τους γεωμετρικούς δεσμούς μεταξύ όλων των σημείων που σχετίζονται με το γεγονός ότι οι
αποστάσεις τους είναι σταθερές ανεξάρτητα από τη θέση του συστήματος στον χώρο, καταλαβαίνετε ότι θα
έχουμε ένα τεράστιο πλήθος σχέσεων, είναι αδύνατο να εργαστούμε με κάτι τέτοιο. Θυμηθείτε ότι η θέση ενός
στερεού σώματος στον χώρο των τριών διαστάσεων καθορίζεται από έξι ανεξάρτητες συντεταγμένες, δηλαδή
οι εξισώσεις δεσμών είναι 3 10 6 . Κανείς δεν ενδιαφέρεται να ξέρει τη θέση του καθενός υλικού σημείου
10
του στερεού, παρόλο που μπορεί να τη βρει. Η μέθοδος που θα αναπτύξουμε είναι πιο βολική και ρεαλιστική.
Θυμίζουμε ότι οι μη ολόνομοι δεσμοί περιορίζουν την κινηματική του συστήματος αλλά δεν περιορίζουν
τον θεσικό χώρο. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να χρησιμοποιηθούν οι κινηματικές εξισώσεις των μη
ολόνομων δεσμών για να περιορίσουμε το πλήθος των απαραίτητων συντεταγμένων για τον καθορισμό της
θέσης του συστήματος κάθε χρονική στιγμή. Το πλήθος των συντεταγμένων είναι το ίδιο με ή χωρίς τους μη
ολόνομους δεσμούς. Εισάγουμε τους σχετικά αυθαίρετους καλά συμπεριφερόμενους (αντιστρεπτούς)
μετασχηματισμούς συντεταγμένων θέσης:
qi qi ( x1 , x2 ,..., x3 N , t )
(2.30)
xi xi (q1 ,q2 ,...,q3 N ,t ) i 1, 2,...,3N .
Εφόσον υπάρχουν K ανεξάρτητοι ολόνομοι γεωμετρικοί δεσμοί και αντίστοιχες εξισώσεις, είναι
βολικό να διαλέξουμε K γενικευμένες συντεταγμένες με τέτοιο τρόπο που να εξαρτώνται από τις
xi i 1, 2,...,3N μόνον μέσω των γεωμετρικών σχέσεων των δεσμών. Επιλέγουμε να διαλέξουμε τις K
τελευταίες συντεταγμένες έτσι που να ισχύουν
q3N K l ( x1 , x2 ,..., x3 N ) l f K 1 , f K 2 ,..., f K K l 1, 2,..., K . (2.31)
l () είναι αυθαίρετες, καλά συμπεριφερόμενες, συναρτήσεις. Μπορεί κάποιος να διαλέξει τις l () να
συμπίπτουν με τις f K l , αλλά αυτό δεν είναι πολλές φορές το πιο βολικό. Δηλαδή, υπάρχουν πολλοί τρόποι να
διαλέξει κάποιος αυτές τις συναρτήσεις, οπότε διαλέγει τις πιο κατάλληλες για την περίπτωση. Πρέπει να
τονίσουμε ξανά ότι στην πράξη σχεδόν ποτέ δε χρειάζεται να γραφτούν οι παραπάνω σχέσεις, μας αρκεί το ότι
υπάρχουν τέτοιες σχέσεις. Το ότι δεν χρειάζεται να γραφτούν είναι και ένα από τα πλεονεκτήματα αυτής της
μεθοδολογίας. Υποθέτουμε ότι ισχύουν οι προϋποθέσεις ώστε οι (2.31) να μπορεί να αντιστραφούν, οπότε
καταλήγουμε στις σχέσεις
f l f l (qK 1 , qK 2 ,..., qK K ) l 1, 2,..., K . (2.32)
Επιλέγουμε τις γενικευμένες συντεταγμένες που ορίζονται από τις (2.31) οπότε, εφόσον ισχύουν οι
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 41
γεωμετρικοί δεσμοί που φαίνονται στην πρώτη σειρά των (2.29), βρίσκουμε
qK l l 0,0,...,0 l 1, 2,..., K . (2.33)
Αυτό σημαίνει ότι οι K τελευταίες γενικευμένες συντεταγμένες είναι σταθερές ποσότητες, δηλαδή είναι
ανεξάρτητες του χρόνου, άρα δεν μεταβάλλονται κατά την κίνηση του συστήματος.
Επομένως, καταλήξαμε στο ότι χρειάζεται να βρούμε πως εξελίσσονται στον χρόνο οι άλλες, δηλαδή
πρώτες n 3N K , συντεταγμένες, q1 , q2 ,..., qn . Αν ενδιαφερόμαστε για τις θέσεις όλων των σωματίων του
συστήματος, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη δεύτερη σειρά από τις σχέσεις (2.30). Όπως είπαμε, αυτό
συνήθως δε χρειάζεται να γίνει. Ουσιαστικά με τον παραπάνω τρόπο, έγινε απαλειφή συντεταγμένων και
ο θεσικός χώρος τώρα έχει διάσταση n 3N K 3N , δηλαδή μικρότερη από τη διάσταση 3N , του αρχικού
«πλήρους» χώρου. Αυτό είναι ένα είδος ενσωμάτωσης των δεσμών (embedding of constraints), όπου γίνεται
μείωση του πλήθους των συντεταγμένων θέσης. Παραμένουν οι μη ολόνομοι δεσμοί του συστήματος οι οποίοι
δεν μπορούν να ενσωματωθούν με τον ανωτέρω τρόπο, δηλαδή δεν μπορούν να περιορίσουν τη διάσταση του
θεσικού χώρου, διότι δεν υπάρχουν για αυτούς γεωμετρικές σχέσεις οι οποίες να χρησιμοποιηθούν για την
παραπάνω διαδικασία που ακολουθήθηκε για τους ολόνομους δεσμούς. Συνοψίζουμε λέγοντας ότι ξεκινήσαμε
με σύστημα που είχε ολόνομους και μη ολόνομους δεσμούς, ενσωματώσαμε τους ολόνομους δεσμούς,
ουσιαστικά τους απαλείψαμε, και καταλήξαμε σε περιγραφή της εξέλιξης του συστήματος με λιγότερες
γενικευμένες συντεταγμένες. Οι θεσικοί βαθμοί ελευθερίας περιορίστηκαν στους n 3N K 3N . Στον νέο
θεσικό χώρο οι (γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες δεν υπόκεινται στους ολόνομους δεσμούς αλλά μόνο
στους μη ολόνομους. Στη συνέχεια θα μετασχηματίσουμε διάφορες σχέσεις έτσι ώστε να περιέχουν μόνο τις
νέες (γνήσιες) συντεταγμένες. Εφόσον οι τελευταίες K γενικευμένες συντεταγμένες είναι σταθερές, μπορούμε
να γράψουμε, qK l l l 1, 2,..., K , οπότε από τις δεύτερες των σχέσεων (2.30) βρίσκουμε
xi xi (q1 ,q2 ,...,qn , 1 , 2 ,..., K ,t ) i 1, 2,...,3N . (2.34)
Μπορεί κάποιος να καταλάβει από την αντιστροφή των (2.34), ότι οι σταθερές είναι δυνατόν να
προσδιοριστούν από τις αρχικές συνθήκες.
Διαφορίζοντας αυτές τις σχέσεις καταλήγουμε στις
n
xi x
dxi dqk i dt i 1, 2,...,3N . (2.35)
k 1 qk t
Παγώνουμε τον χρόνο οπότε από τις τελευταίες βρίσκουμε για τις δυνατές μετατοπίσεις:
n
xi
δxi δqk i 1, 2,...,3N . (2.36)
k 1 qk
Οι πιθανές μετατοπίσεις δίνονται από τις σχέσεις των μη ολόνομων δεσμών τύπου Pfaff που φαίνονται
στις (2.29), δηλαδή
3N
A
i 1
ji (x, t )dxi A j ( x, t )dt 0 j 1, 2,..., K . (2.37)
Λαμβάνουμε υπόψη τις (2.35) και μετά από κάποιες πράξεις βρίσκουμε τη μορφή των μη ολόνομων
εξισώσεων των δεσμών στις γνήσιες γενικευμένες συντεταγμένες,
Αναλυτική Δυναμική 42
n
B
i 1
ji (q, t )dqi B j (q, t )dt 0 j 1, 2,..., K
n
ή B
i 1
ji (q, t )qi B j (q, t ) 0 j 1, 2,..., K (2.38)
3N
xi 3N
x
όπου B jk Aji , B j A ji i A j .
i 1 qk i 1 t
Από την πρώτη σειρά συμπεραίνουμε ότι οι δυνατές μετατοπίσεις ικανοποιούν τις σχέσεις
n
B
i 1
ji (q, t )δqi 0 j 1, 2,..., K . (2.39)
Στα επόμενα θα αλλάξουμε συμβολισμό και στη θέση των B ji , B j θα χρησιμοποιούμε ξανά τα σύμβολα
που είχαμε με τις καρτεσιανές συντεταγμένες, δηλαδή τα A ji , A j .
Αν δεν υπάρχουν μη ολόνομοι δεσμοί, το σύστημα με τους ενσωματωμένους ολόνομους δεσμούς λέγεται
ότι είναι ένα ολόνομο σύστημα με n βαθμούς ελευθερίας (δηλαδή χωρίς δεσμούς).
Θυμίζουμε ότι για το σύμβολο δ ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις, για οποιεσδήποτε γενικευμένες
συντεταγμένες, συμπεριλαμβανομένων των καρτεσιανών:
dδq dq
dδq δdq, δ δq .
dt dt
δq είναι οι δυνατές, δυνητικές (virtual) ταχύτητες. Οι σχέσεις μετασχηματισμού για τα διανύσματα
θέσης των καρτεσιανών συντεταγμένων και τις (γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες είναι προφανώς
ri ri (q1 , q2 ,..., qn , t ) i 1, 2,..., N
(2.40)
q j q j (r1 , r2 ,..., rN , t ) j 1, 2,..., n .
Στην Αναλυτική Μηχανική, μπορούμε να ξεκινήσουμε από τη μορφή των μεγεθών, T , V , U , L, Q ,
συναρτήσει των καρτεσιανών συντεταγμένων σε αδρανειακό σύστημα και να τα μετασχηματίσουμε στη μορφή
με γνήσιες γενικευμένες συντεταγμένες. Φυσικά το ίδιο γίνεται για τους μη ενσωματωμένους δεσμούς. Έτσι
όλα εκφράζονται συναρτήσει των n γνήσιων συντεταγμένων.
Δεν είναι ανάγκη να ξεκινούμε από καρτεσιανές συντεταγμένες, πολλές φορές έχουμε ένα μηχανικό
σύστημα εκφρασμένο ήδη σε γενικευμένες συντεταγμένες και στη συνέχεια μπορούμε να προσθέσουμε
επιπλέον δεσμούς στο σύστημα. Η μείωση του πλήθους των συντεταγμένων είναι ανεξάρτητη από το
συγκεκριμένο μηχανικό σύστημα που εξετάζουμε, εξαρτάται μόνο από τις ολόνομες δεσμευτικές σχέσεις.
2.3.3 Αρχή d’ Alembert σε γενικευμένες συντεταγμένες
Η αρχή d’ Alembert σε καρτεσιανές συντεταγμένες, είναι
F p δr F m r δr 0 .
N N
i i i i i i i (2.41)
i 1 i 1
Υποθέτουμε ότι οι ολόνομοι δεσμοί έχουν ενσωματωθεί με τον παραπάνω τρόπο, ενώ μπορεί να
υπάρχουν και πρόσθετοι μη ολόνομοι δεσμοί. Οι θεσικοί βαθμοί ελευθερίας είναι n και τόσες είναι και οι
(γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες. Θα μετασχηματίσουμε την παραπάνω αρχή ώστε να ισχύει για
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 43
οποιεσδήποτε γενικευμένες συντεταγμένες. Για τον σκοπό αυτό τα ri , Fi ,δri πρέπει να γραφτούν ως
συναρτήσεις των q , 1, 2,..., n .
Ας αρχίσουμε με τα δri (δυνατές μετατοπίσεις). Ξεκινούμε από τις Εξ. (2.40) και βρίσκουμε
n
ri
δri δqα i 1, 2,..., N . (2.42)
α 1 qα
Αντικαθιστούμε στην σχέση (2.41) τις (2.42) και καταλήγουμε στην
n
N
ri
(mi ri Fi )
1
δq
q
0. (2.43)
i 1
Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τον όρο που έχει τη δύναμη στην Εξ. (2.43). Ο όρος αυτός είναι το
N
δυνατό έργο των ενεργητικών δυνάμεων. Πράγματι, από τη γνωστή σχέση, δW Fi δri , αντικαθιστώντας
i 1
τις δυνατές μετατοπίσεις από την εξίσωση (2.42) βρίσκουμε,
n N
ri
δW δqα Fi . (2.44)
α 1 i 1 qα
Εννοείται ότι όλα, όπως και οι δυνάμεις, έχουν εκφραστεί συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων
q. Στη συνέχεια ορίζουμε ως γενικευμένη συνιστώσα δύναμης που σχετίζεται με τη συντεταγμένη
q την
ποσότητα
N
ri n
Q Fi , δW Q j δq j (2.44)
i 1 q j 1
Στην (2.45) φαίνεται και η μορφή για το δυνατό έργο με γενικευμένες δυνάμεις και δυνατές μετατοπίσεις.
Τώρα, στην Εξ. (2.43) θα ασχοληθούμε με τον όρο που περιέχει τις επιταχύνσεις (ο όρος αυτός περιέχει τις
αναφερόμενες ως αδρανειακές δυνάμεις), και έχουμε
ri d r d ri
ri ri i ri . (2.46)
q dt q dt q
Για τις ταχύτητες έχουμε
dri n
r r
i ri i q i
dt 1 q t
οπότε ισχύουν
i r r
i i . (2.47)
q q q
Για τον τελευταίο όρο στο δεξί μέλος της Εξ. (2.46) έχουμε
Αναλυτική Δυναμική 44
d ri n
2 ri r
q i
dt q 1 q q t q
(2.48)
n ri r
q i i .
q 1 q t q
Εισάγουμε τα αποτελέσματα των Εξ. (2.47) και Εξ. (2.48) στην Εξ. (2.46), πολλαπλασιάζουμε επί mi
και αθροίζουμε ως προς i, οπότε βρίσκουμε
N
ri N d i i
m r q dt m q
i i i i mii
q
i 1 i 1
d T T
,
dt q q
1 N
Η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος των σωματίων είναι T
2 i 1
mii 2 . Εδώ την έχουμε
μετασχηματίσει ώστε να είναι συνάρτηση των γενικευμένων συντεταγμένων, T T (q, q, t ) , βλ. Παράρτημα
Π3. Η Εξ. (2.43) γίνεται όπως φαίνεται στην πρώτη σειρά των εξισώσεων (2.49). Η δεύτερη σειρά αναφέρεται
στην περίπτωση που κάποιες, αλλά όχι όλες οι δυνάμεις, προέρχονται από δυναμική συνάρτηση, τότε μόνο για
αυτές ισχύει L T V , οι άλλες παριστάνονται με Q .
n d T T
δq
dt q
q
Q 0
1
(2.49)
n d L L
δq Q 0.
1 dt q q
Αυτή είναι η αρχή του d’ Alembert για γενικευμένες συντεταγμένες.
Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι οι δυνατές μετατοπίσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, δηλαδή δεχόμαστε
ότι δεν υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων. Έτσι ακολουθούμε την παρακάτω
γνωστή διαδικασία, συγκεκριμένα: Αφού όλα τα δq είναι αυθαίρετα, μπορούμε να πάρουμε το πρώτο, δηλαδή
το δq1 μη μηδενικό και όλα τα άλλα μηδέν, στη συνέχεια το δεύτερο, το δq2 , μη μηδενικό και όλα τα άλλα
μηδέν, κ.ο.κ. Αυτό οδηγεί σε n ανεξάρτητες εξισώσεις Lagrange, της μορφής
d T T
Q , 1, 2,..., n (2.50)
dt q q
ή της μορφής
d L L
Q , 1, 2,..., n . (2.51)
dt q q
Οι εξισώσεις κίνησης είναι, το πολύ, δεύτερης τάξης διαφορικές εξισώσεις ως προς τον χρόνο. Αυτό
φαίνεται αν αναπτύξουμε τις παραγώγους ως προς τον χρόνο. Έχουμε για την Εξ. (2.50) τις Εξ. (2,52), (ανάλογα
ισχύουν για την Εξ. (2.51), όπου έχουμε αντί των T , Q τα L, Q ),
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 45
n 2T 2T 2T T
1 q q
q
q q
q
t q
q
Q (q, q, t ) . (2.52)
2T
Για να είναι δεύτερης τάξης διαφορικές εξισώσεις πρέπει det 0 . Αυτό δεν ισχύει αν έχουμε
q q
γραμμική εξάρτηση από τις ταχύτητες.
Θυμίζουμε ξανά ότι για το δυνατό έργο των ασκούμενων γενικευμένων δυνάμεων ισχύει αυτό που είδαμε
και στα προηγούμενα, δηλαδή:
n
δW Q j δq j . (2.53)
j 1
Παρατηρούμε και πάλι ότι ένα χαρακτηριστικό των εξισώσεων Euler-Lagrange είναι ότι η μορφή τους
δεν εξαρτάται από το ποιες είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες.
Το άλλο σημαντικό, που έχουμε ήδη αναφέρει, είναι ότι στην περίπτωση ύπαρξης ολόνομων δεσμών
μπορούμε να έχουμε τις εξισώσεις κίνησης ανεξάρτητες των δυνάμεων των δεσμών. Τονίζουμε ξανά ότι δεν
είναι εύκολο να προσδιορίσει κάποιος τη λαγκρανζιανή ως προς μη αδρανειακά συστήματα, γι αυτό είναι
καλύτερα να ξεκινά από αδρανειακό σύστημα, να προσδιορίζει τα T και V (ή U ) ως προς συντεταγμένες
του αδρανειακού συστήματος, στη συνέχεια να εφαρμόζει τον κατάλληλο μετασχηματισμό συντεταγμένων
μεταξύ αδρανειακού και μη αδρανειακού συστήματος και να εκφράζει τα T και V (ή U ) συναρτήσει των
συντεταγμένων του μη αδρανειακού. Στη συνέχεια εφαρμόζει τη «συνταγή»
L = T - V , ή L T U . (2.54)
Παρόλο που σύμφωνα με όσα είπαμε είναι αυτονόητο ότι οι εξισώσεις Euler-Lagrange έχουν την ίδια
μορφή ανεξάρτητα από τις γενικευμένες συντεταγμένες, μπορεί κάποιος να δείξει αυτό με απευθείας
υπολογισμό. Δηλαδή να δείξει ότι, κάθε μετασχηματισμός μεταξύ (γενικευμένων) συντεταγμένων, όπου μπορεί
να υπεισέρχεται και ο χρόνος, αφήνει αναλλοίωτη τη μορφή των εξισώσεων Euler-Lagrange. Αυτού του είδους
οι μετασχηματισμοί λέγονται σημειακοί μετασχηματισμοί ή μετασχηματισμοί σημείου.
2.4 Δυναμικά που εξαρτώνται από τις ταχύτητες
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δυναμική συνάρτηση (δυναμικό) που εξαρτάται από τις ταχύτητες (γενικευμένο
δυναμικό). Σε αυτή την περίπτωση οι γενικευμένες δυνάμεις οι οποίες προέρχονται από αυτό υπολογίζονται ως
εξής
U U ( q, q, t )
U d U (2.55)
Qj , j 1, 2,..., n
q j dt q j
Η λαγκρανζιανή υπολογίζεται από τη γνωστή σχέση και εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι εξισώσεις
του Lagrange, δηλαδή έχουμε την αντίστοιχη της Εξ. (2.51), όπου μπορεί να υπάρχουν και δυνάμεις, Q , οι
οποίες δεν προέρχονται από την εν λόγω δυναμική συνάρτηση.
L ( q, q, t ) T ( q, q, t ) U ( q , q , t )
d L L (2.56)
Q 1, 2,..., n.
dt q q
Αναλυτική Δυναμική 46
Οι δυνάμεις που γενικώς προέρχονται από δυναμικό το οποίο μπορεί να εξαρτάται και από τις ταχύτητες,
λέγονται μονογενείς δυνάμεις, όλες οι άλλες λέγονται πολυγενείς δυνάμεις. Με δεδομένο ότι οι δυνάμεις δε
μπορεί να εξαρτώνται από τις επιταχύνσεις, προκύπτει πως η εξάρτηση της U από τις ταχύτητες μπορεί να
n
είναι μόνο γραμμική, δηλαδή έχουμε τη σχέση U ai (q, t )qi a0 (q, t ) .
i 1
Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι για ένα σύστημα υπάρχει λαγκρανζιανή της μορφής L T U (q, q, t )
, τότε οι προκύπτουσες από αυτήν εξισώσεις Lagrange είναι:
d L L d T T d U U
0
dt qi qi dt qi qi dt qi qi
Από αυτές προκύπτουν οι επιμέρους εξισώσεις κίνησης του συστήματος. Είναι σαφές ότι έχουμε:
d
Qi
dt qi qi
όπου οι δυνάμεις Qi προκύπτουν από την U (q, q, t ) .
Έτσι φαίνεται ότι σε αυτή την περίπτωση, πράγματι, οι δυνάμεις υπολογίζονται από τις σχέσεις
U d U
Qi .
qi dt qi
2.5 Ηλεκτρομαγνητική δύναμη - Αδρανειακές δυνάμεις
Χαρακτηριστική περίπτωση μονογενούς δύναμης που εξαρτάται από την ταχύτητα είναι η δύναμη Lorentz σε
φορτισμένο σωματίδιο που κινείται μέσα σε εξωτερικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο.
Υποθέτουμε ότι δεν υπάρχουν άλλου είδους δυνάμεις. Αυτή η δύναμη μπορεί να προέλθει από την
παρακάτω δυναμική συνάρτηση U U (q, q, t ) και την αντίστοιχη λαγκρανζιανή
U eq eq A
1 (2.57)
L m 2 eq eq A
2
όπου eq είναι το φορτίο του σωματιδίου, η ταχύτητά του, είναι το βαθμωτό δυναμικό και A το
διανυσματικό δυναμικό του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου.
Παίρνοντας ως συντεταγμένες τις καρτεσιανές συντεταγμένες του σωματίου σε αδρανειακό σύστημα
αναφοράς και γράφοντας τις εξισώσεις του Lagrange, καταλήγουμε σε εξισώσεις κίνησης όπου εμφανίζεται η
γνωστή δύναμη Lorentz
F eq E ( B) .
Δηλαδή, αφού λάβουμε υπόψη ότι
A
E , B A
t
βρίσκουμε ότι
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 47
mr F eq E ( B) . (2.58)
Σημειώνουμε πως ανάλογα ισχύουν για τις αδρανειακές δυνάμεις. Συγκεκριμένα, αν έχουμε ένα σωμάτιο
του οποίου η κίνηση περιγράφεται με τις συντεταγμένες ως προς περιστρεφόμενο σύστημα αξόνων (το οποίο
είναι μη αδρανειακό σύστημα), τότε έχουμε την παρακάτω δυναμική συνάρτηση και αντίστοιχη λαγκρανζιανή.
1
U m r m( r ) 2
2
(2.59)
1 1
L m 2 m r m( r ) 2
2 2
Βλέπουμε και εδώ γραμμική εξάρτηση από τις ταχύτητες, όπως και στην περίπτωση του
ηλεκτρομαγνητικού πεδίου. Υποθέσαμε ότι δεν ασκούνται συνήθεις δυνάμεις στο σωμάτιο, αν υπάρχουν και
προέρχονται από δυναμική συνάρτηση αυτή πρέπει να ληφθεί υπόψη στις ανωτέρω σχέσεις. Η ταχύτητα
είναι η ταχύτητα ως προς το περιστρεφόμενο σύστημα, είναι η γωνιακή ταχύτητα του στρεφόμενου
συστήματος ως προς το (ακίνητο) αδρανειακό σύστημα και r το διάνυσμα θέσης ως προς το περιστρεφόμενο
σύστημα. Αυτά οδηγούν στις γνωστές εξισώσεις κίνησης, όπου εμφανίζονται το φαινόμενο Coriolis
(χρησιμοποιείται και ο όρος δύναμη Coriolis), η φυγόκεντρος δύναμη και αν η γωνιακή ταχύτητα εξαρτάται
από τον χρόνο, η δύναμη (του) Euler.
2.6 Ισοδύναμες λαγκρανζιανές
Η λαγκρανζιανή καθορίζει κατά μοναδικό τρόπο τις εξισώσεις κίνησης μηχανικού συστήματος αλλά το
αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή, υπάρχουν πολλές λαγκρανζιανές που οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις κίνησης,
αυτές είναι ισοδύναμες λαγκρανζιανές. Αυτό είναι αντικείμενο μαθηματικής μελέτης μέχρι και τις μέρες μας.
Εδώ θα περιοριστούμε σε μια απλή περίπτωση. Θα δείξουμε ότι αν σε κάποια λαγκρανζιανή προσθέσουμε μια
συνάρτηση η οποία είναι ολική παράγωγος ως προς τον χρόνο κάποιας συνάρτησης (μόνο) των q, t τότε οι
τελικές εξισώσεις κίνησης παραμένουν οι ίδιες. Σημειώνουμε όμως ότι αν δυο λαγκρανζιανές δίνουν τις ίδιες
εξισώσεις κίνησης αυτό δεν σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι διαφέρουν κατά τη συνάρτηση που αναφέραμε
παραπάνω. Τέτοιο παράδειγμα αποτελεί το ζευγάρι (ισοδύναμων) λαγκρανζιανών
L1 q1q2 q1q2 , L2
1
2
(q1 ) 2 (q2 ) 2 (q1 ) 2 (q2 ) 2 .
Η L2 είναι φανερό ότι περιγράφει δυο μη αλληλεπιδρώντες αρμονικούς ταλαντωτές μέσα σε ίδιο
δυναμικό. Παρόλο που δεν είναι προφανές και η L1 περιγράφει την ίδια περίπτωση. Ένα άλλο ζευγάρι
ισοδύναμων λαγκρανζιανών είναι το ζευγάρι
L1 q 2 q 4 , L2 q 3q 6 .
Εύκολα διαπιστώνεται ότι το κάθε ένα από τα δυο παραπάνω ζευγάρια λαγκρανζιανών, οδηγεί σε ίδιες
εξισώσεις κίνησης χωρίς να διαφέρουν κατά μια ολική παράγωγο κάποιας συνάρτησης των q, t .
Έστω τώρα ότι έχουμε τις λαγκρανζιανές
dG ( q , t )
L L(q, q, t ), L1 L (2.60)
dt
Θα δείξουμε ότι οι εξισώσεις του Lagrange και κατά συνέπεια και οι τελικές (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης
είναι ίδιες για τις δυο αυτές λαγκρανζιανές. Έχουμε για την λαγκρανζιανή L L(q, q, t ) τις εξισώσεις
Lagrange:
Αναλυτική Δυναμική 48
d L L
Qi , i 1, 2,..., n . (2.61)
dt qi qi
Τα Q αντιπροσωπεύουν δυνάμεις που δεν εκφράστηκαν με τη λαγκρανζιανή. Μπορεί να είναι μη
μονογενείς δυνάμεις. Αναπτύσσουμε την έκφραση του πρώτου μέλους και βρίσκουμε για τις τελικές εξισώσεις
κίνησης:
n
2 L n
2 L 2 L L
i 1 qi q j
qi
i 1 qi q j
qi
tq j q j
Q j , j 1, 2,..., n .
d L L
Οι εκφράσεις που παριστάνονται με το Ei , για τις οποίες ισχύουν Ei , είναι ένα είδος
dt qi qi
αυτών που λέγονται εκφράσεις του Euler. Αυτό είναι ανεξάρτητο από το αν ισχύουν οι εξισώσεις Lagrange ή
όχι. Ας θεωρήσουμε στη συνέχεια τη λαγκρανζιανή της Εξ. (2.60), δηλαδή την
L1 L1 (q, q, t ) L(q, q, t ) g (q, q, t ) , όπου
dG(q, t ) n G G
g (q, q, t ) qi .
dt i 1 qi t
Έχουμε την αντίστοιχη έκφραση του Euler,
d L1 L1
E1i .
dt qi qi
Επομένως,
d L1 L1 d L L d g g
E1i , i 1, 2,..., n . (2.62)
dt qi qi dt qi qi dt qi qi
Για την g (q, q, t ) , βρίσκουμε ότι
g G g n
2G 2G
, qk . (2.63)
qi qi qi k 1 qi qk qi t
Επίσης ισχύουν
d g n
G 2G
qj , i 1, 2,..., n . (2.64)
dt qi j 1 qi q j t qi
Έτσι καταλήγουμε στις σχέσεις:
d g g
0, i 1, 2,..., n . .
dt qi qi
Τελικώς, βρίσκουμε
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 49
d L L
E1i Ei , i 1, 2,..., n .
dt qi qi
Οι εκφράσεις Euler, είναι ίδιες ανεξάρτητα από το αν ισχύουν οι εξισώσεις Lagrange ή όχι, δηλαδή για
οποιεσδήποτε εξαρτήσεις qi qi (t ) και όχι μόνο για την πραγματική κίνηση. Όμως ισχύουν οι εξισώσεις
Lagrange Εξ. (2.61), επομένως από τις τελευταίες προκύπτει ότι και για τη λαγκρανζιανή L1 θα ισχύουν
ακριβώς οι ίδιες εξισώσεις Lagrange. Δηλαδή οι παρακάτω εξισώσεις είναι ίδιες
d L L d L1 L1
Qi , Qi , i 1, 2,..., n . (2.65)
dt qi qi dt qi qi
Προφανώς και οι τελικές εξισώσεις κίνησης θα είναι ίδιες. Αυτή η περίπτωση είναι ένα είδος
μετασχηματισμού βαθμίδας (gauge transformation). Σε αυτή την κατηγορία υπάγεται η περίπτωση του
ηλεκτρομαγνητισμού, όπου ο κατωτέρω μετασχηματισμός του διανυσματικού και του βαθμωτού δυναμικού
( r , t )
(2.66)
t
(με αυθαίρετη, διαφορίσιμη, συνάρτηση), δεν επηρεάζει τη δύναμη Lorentz και επομένως τις
εξισώσεις κίνησης του φορτισμένου σωματιδίου.
2.7 Εξισώσεις Lagrange με δεσμούς. Υπολογισμός δυνάμεων δεσμών
Στα προηγούμενα δώσαμε τις εξισώσεις Lagrange με γενικευμένες συντεταγμένες αλλά χωρίς δεσμούς.
Εισάγαμε τις γενικευμένες συντεταγμένες ενώ υποθέσαμε πως υπήρχαν μόνο ολόνομοι δεσμοί, έτσι μειώσαμε
το πλήθος των συντεταγμένων του δυναμικού συστήματος που εξετάζουμε, αφού κάναμε ενσωμάτωση όλων
των (ολόνομων) δεσμών και καταλήξαμε στις γνήσιες συντεταγμένες, οπότε οι εξισώσεις Lagrange
αναφέρονταν σε σύστημα χωρίς δεσμούς.
Τώρα θα δούμε πως εργαζόμαστε όταν θέλουμε να λύσουμε το πρόβλημα αλλά μας ενδιαφέρει να
υπολογίσουμε και τις δυνάμεις των δεσμών, ολόνομων ή μη ολόνομων. Πολλές φορές, ενώ ξέρουμε ότι κάποιοι
δεσμοί είναι ολόνομοι, δεν τους ενσωματώνουμε ώστε να διώξουμε τις δυνάμεις των δεσμών αυτών και να
μειώσουμε το πλήθος των συντεταγμένων. Συνήθως δεν κάνουμε αυτή την ενσωμάτωση δεσμών όταν θέλουμε
να προσδιορίσουμε τις δυνάμεις αυτών των ολόνομων δεσμών με τη μέθοδο που θα αναπτύξουμε παρακάτω.
Για τους μη ολόνομους δεσμούς ακολουθούμε αυτή τη μέθοδο ακόμη και αν δεν μας ενδιαφέρουν οι δυνάμεις
τους. Όλοι οι εναπομένοντες δεσμοί θα είναι στη μορφή Pfaff. Θα έχοyμε επομένως τη σχέση της αρχής του d’
Alembert, Εξ. (2.49), μαζί με δεσμευτικές διαφορικές εξισώσεις μεταξύ των γενικευμένων συντεταγμένων και
του χρόνου,
n d L L
δq Q 0
1 dt q q (2.67)
n
A
k 1
lk (q, t )dqk Al (q, t )dt 0, l 1, 2,..., M
Πρέπει να τονίσουμε ότι εδώ οι n το πλήθος δq , οι δυνατές μετατοπίσεις, δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ
τους, άρα δεν μπορούμε να καταλήξουμε στις εξισώσεις κίνησης, Εξ. (2.51). Πρέπει με χρήση των δεσμευτικών
σχέσεων να προσδιορίσουμε τις δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δqα . Είναι αυτές που ονομάσαμε στα
προηγούμενα, πρόσθετες σχέσεις (συνθήκες) ή βοηθητικές σχέσεις (συνθήκες) (side conditions, auxiliary
Αναλυτική Δυναμική 50
conditions ). Όπως έχουμε ξαναπεί, αυτές οι δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων
σχετίζονται με το γεγονός ότι κατά τις δυνατές μετατοπίσεις το έργο των δυνάμεων του κάθε δεσμού είναι
μηδέν. Στη Μηχανική οι σχέσεις που προκύπτουν μεταξύ των δq (δυνατές μετατοπίσεις) από τις διαφορικές
εξισώσεις των δεσμών των Εξ. (2.67) μορφής Pfaff, βρίσκονται θέτοντας στις ανωτέρω δεσμευτικές σχέσεις
dt 0 :
n
A
k 1
lk (q, t )δqk 0, l 1, 2,..., M . (2.68)
Μπορούμε να προχωρήσουμε διαλέγοντας κάποιες δυνατές μετατοπίσεις δqα , ( n M ) το πλήθος, ως
ανεξάρτητες, στη συνέχεια να εκφράσουμε τις υπόλοιπες ως συναρτήσεις αυτών, έτσι τελικώς καταλήγουμε σε
εκφράσεις με μόνο ανεξάρτητες δυνατές μετατοπίσεις, οπότε μπορούμε να βρούμε τις εξισώσεις εξέλιξης με
τον χρόνο του συστήματος. Αυτό είναι ένα άλλο είδος ενσωμάτωσης, είναι ενσωμάτωση των δυνατών
μετατοπίσεων.
Δεν θα προχωρήσουμε έτσι αλλά θα ακολουθήσουμε τη διαδικασία των πολλαπλασιαστών του Lagrange.
Πολλαπλασιάζουμε τις Εξ. (2.68) επί τους πολλαπλασιαστές l (t ) l 1, 2,..., M , οι οποίοι είναι γενικώς Μ
συναρτήσεις του χρόνου που πρέπει να προσδιοριστούν και αφού αθροίσουμε στα l βρίσκουμε
M n
(t ) A
l 1 k 1
l lk (q, t )δqk 0. (2.69)
Στη συνέχεια αφαιρούμε κατά μέλη την Εξ. (2.69) από την πρώτη από τις Εξ. (2.67) και βρίσκουμε
τελικώς
n d L
L M
δq l (t ) Al (q, t ) Q 0 (2.70)
1 dt q
q l 1
Αφού έχουμε κρατήσει M δεσμευτικές σχέσεις, συμπεραίνουμε ότι μεταξύ των n δυνατών
μετατοπίσεων υπάρχουν μόνο m n M ανεξάρτητες. Στη συνέχεια ακολουθούμε τη γνωστή διαδικασία,
μπορούμε να διαλέξουμε τις πρώτες στη σειρά δυνατές μετατοπίσεις, πλήθους m , ως αυθαίρετες (ανεξάρτητες)
και τις επόμενες M ως εξαρτημένες. Στη συνέχεια διαλέγουμε τους Μ πολλαπλασιαστές l (t ) να πληρούν τις
Μ το πλήθος σχέσεις
d L L M
l (t ) Al (q, t ) Q 0, =m+1,m+2,...,n . (2.71)
dt q q l 1
Επομένως η Εξ. (2.70) ανάγεται στην Εξ. (2.72) για τις m πρώτες ανεξάρτητες δυνατές μετατοπίσεις
m
d L L M
δq l (t ) Al (q, t ) Q 0 . (2.72)
1 dt q
q l 1
Αφού αυτές οι δυνατές μετατοπίσεις είναι ανεξάρτητες, ο κάθε όρος του αθροίσματος πάνω στα
=1,2,.., m θα είναι μηδέν, δηλαδή
d L L M
l (t ) Al (q, t ) Q 0, =1,2,...,m . (2.73)
dt q q l 1
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 51
Τελικώς οι Εξ. (2.71) και Εξ. (2.73) οδηγούν στις Εξ. (2.74)
d L L M
l (t ) Alj (q, t ) Qj 0, j =1,2,...,n . (2.74)
dt q j q j l 1
Αυτές μαζί με τις εξισώσεις των δεσμών της Εξ. (2.67), στη μορφή
n
A
k 1
lk (q, t )qk Al (q, t ) 0, l 1, 2,..., M (2.75)
μας λύνουν το πρόβλημα. Η παραπάνω διαδικασία, με τους πολλαπλασιαστές Lagrange, οδηγεί στην
λεγόμενη παράθεση (adjoining) των σχέσεων των δυνατών μετατοπίσεων Εξ. (2.68) που σχετίζονται με τους
δεσμούς, λέμε ότι έχουμε παράθεση των δεσμών.
Σημειώνουμε εδώ ότι, οι Εξ. (2.68), οι πρόσθετες συνθήκες (side conditions), δεν είναι απαραίτητο να
οδηγούν από πιθανές σε πιθανές καταστάσεις. Δηλαδή οι μετατοπισμένες δεν ικανοποιούν κατ’ ανάγκη τις Εξ.
(2.75) των δεσμών. Σημειώνουμε ότι το αποτέλεσμα που βρήκαμε για την περίπτωση δεσμών Pfaff, είναι σε
συμφωνία με όσα είπαμε στα προηγούμενα για τις δυνάμεις των δεσμών. Είναι μάλλον εύλογο από την Εξ.
M
(2.74) ότι αφού ο όρος (t ) A (q, t )
l 1
l lj προστίθεται στον όρο Q j που αντιπροσωπεύει ασκούμενες
γενικευμένες δυνάμεις, παριστάνει τις δυνάμεις των δεσμών.
Αν έχουμε ολόνομους δεσμούς, τότε από τις σχέσεις,
fl (q, t ) 0 l 1, 2,..., M
καταλήγουμε στις ισοδύναμες σχέσεις
df l n
f (q, t ) f (q, t )
l qk l l 1, 2,...M
dt k 1 qk t
n
df l
άρα Alk qk Al l 1, 2,...M (2.76)
dt k 1
f (q, t ) f (q, t )
όπου Alk l , Al l .
qk t
Αυτό σημαίνει ότι για τη λύση του προβλήματος έχουμε τις εξισώσεις
d L L M f (q, t )
l (t ) l Qj 0, j =1,2,...,n
dt q j q j l 1 qk
(2.77)
fl (q, t ) 0 l 1, 2,..., M .
Θα ακολουθήσουμε κατά κάποιον τρόπο την αντίστροφη πορεία για να επιβεβαιώσουμε και αλλιώς τις
σχέσεις για τις δυνάμεις των δεσμών που ήδη ξέρουμε. Όταν υπάρχουν δεσμοί, υπεισέρχονται στις εξισώσεις
Lagrange οι δυνάμεις των δεσμών όταν οι δεσμοί δεν είναι ολόνομοι. Επίσης υπεισέρχονται, όταν οι δεσμοί
είναι ολόνομοι, δεν έχουν ενσωματωθεί και είναι στη μορφή Pfaff. Αυτό σημαίνει ότι οι γενικευμένες
συνιστώσες (ολικής) δύναμης στις εξισώσεις Lagrange θα είναι το άθροισμα των ασκούμενων δυνάμεων, Q ,
και των δυνάμεων των δεσμών, Qc . Επομένως μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις Lagrange στη μορφή
Αναλυτική Δυναμική 52
d L L
Qcj Qj 0, j =1,2,...,n . (2.78)
dt q j q j
Αν με κάποιο τρόπο έχουμε βρει τις λύσεις q q (t ) για το σύστημα, τότε με χρήση των (2.78) μπορούμε
να βρούμε τις δυνάμεις των δεσμών, χωρίς τους πολλαπλασιαστές Lagrange. Αυτό έχει χρησιμότητα στην
περίπτωση ολόνομων δεσμών, όπου προφανώς δεν έχει γίνει ενσωμάτωσή τους στη λαγκρανζιανή της εξίσωσης
(2.78). Όμως έχουμε δείξει στην παράγραφο περί δυνάμεων δεσμών, ότι οι γενικευμένες συνιστώσες δυνάμεων
για τους δεσμούς δίνονται από τις σχέσεις
M
Qcj l (t ) Alj (q, t ) . (2.79)
l 1
Οπότε από τις Εξ. (2.78) και (2.79) καταλήγουμε ξανά στις (2.74) .
Αν έχουμε μη ενσωματωμένους ολόνομους δεσμούς σε ολοκληρωμένη μορφή,
fl (q, t ) 0, l 1, 2,..., M (2.80)
θα δούμε ότι μπορούμε να τροποποιήσουμε τη λαγκρανζιανή L , έτσι ώστε αντί της αρχικής
λαγκρανζιανής
L L ( q, q, t ) (2.81)
να έχουμε μια νέα λαγκρανζιανή L για την οποία να ισχύει
M
L L(q, q, t ) λl (t ) f l ( q, t ) . (2.82)
l 1
Αυτό αναφέρεται ως κανόνας του πολλαπλασιασμού. Από αυτή τη λαγκρανζιανή μπορούμε να βρούμε
τις εξισώσεις Lagrange χωρίς να λάβουμε υπόψη τους δεσμούς σε αυτή τη φάση, δηλαδή θεωρούμε τις
μεταβολές δq ανεξάρτητες. Έχουμε όμως εισαγάγει M πρόσθετες άγνωστες συναρτήσεις τις λl (t ) που
πρέπει να προσδιοριστούν οπότε χρειάζονται και οι M το πλήθος σχέσεις των ολόνομων δεσμών.
Τελικώς, καταλήγουμε στη λύση του ίδιου προβλήματος με τις ίδιες εξισώσεις όπως πριν. Ξεκινούμε από
την αρχή d’Alembert, τις δεύτερες από τις Εξ. (2.49), μαζί με την Εξ. (2.80), έχουμε
n d L L
δq Q 0
1 dt q q (2.83)
fl (q, t ) 0, l 1, 2,..., M .
Κατά τη δυνατή μεταβολή (variation) της f l έχουμε,
n
fl (q, t )
δfl fl (q δq, t ) f l (q, t ) δqi
i 1 qi
(2.84)
n
f (q, t )
fl (q δq, t ) f l (q, t ) δf l f l (q, t ) l δqi 0.
i 1 qi
Η τελευταία προκύπτει διότι, για τις δυνατές μετατοπίσεις ισχύει η γνωστή σχέση (ένα είδος
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 53
ορθογωνιότητας):
n
fl (q, t ) n
i 1 qi
δqi
i 1
Ali (q, t )δqi 0. (2.85)
Αυτό μας λέει ότι η σχέση του δεσμού, δηλαδή η δεύτερη σχέση στην Εξ. (2.83), ικανοποιείται και στα
απειροστά γειτονικά σημεία που προκύπτουν κατά τη δυνατή μετατόπιση, δq . Δηλαδή έχουμε μετάβαση από
πιθανή σε πιθανή κατάσταση. Ακολουθούμε και πάλι τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange. Η μετάβαση
αυτή από πιθανή σε πιθανή κατάσταση μας οδηγεί στο ότι το παρακάτω άθροισμα είναι μηδέν
M n M
fl
δ λl (t ) fl (q, t ) λl (t ) δqi 0 . (2.86)
l 1 i 1 l 1 qi
M
fl
Το (t ) q
l 1
l είναι η i γενικευμένη συνιστώσα δύναμης του δεσμού.
i
Προσθέτουμε το μηδενικό άθροισμα της Εξ. (2.86), στις πρώτες από τις Εξ. (2.83). Τώρα θεωρούμε τα
δq ανεξάρτητα οπότε καταλήγουμε τελικώς στις σχέσεις
d L L
Qj 0, j =1,2,...,n
dt q j q j
M (2.87)
L L(q, q, t ) l (t ) f l (q, t )
l 1
f l (q, t ) 0 l 1, 2,..., M .
Πηγαίνοντας αντίστροφα, εύκολα βρίσκουμε από αυτές τις Εξ. (2.77).
Επειδή τα l (t ) είναι συναρτήσεις μόνο του χρόνου όπως είναι και τα qi (t ) , είναι δυνατόν να
διευρύνουμε τις εξαρτημένες από τον χρόνο μεταβλητές (γενικευμένες συντεταγμένες) ώστε να
συμπεριληφθούν σε αυτές και οι συναρτήσεις l (t ) , έτσι το σύνολο των νέων μεταβλητών (συντεταγμένων)
γίνεται
(1 , 2 ,..., n M ) q(q1 , q2 ,..., qn ), (1 , 2 ,..., M ) . (2.88)
Έχουμε επομένως ότι η νέα λαγκρανζιανή είναι συνάρτηση των j και μπορεί και του χρόνου,
L L(1 , 2 ,..., n M , t ) . (2.89)
Οι δυνατές μετατοπίσεις είναι δ (δq, δ ) και θεωρούνται ανεξάρτητες. Οι εξισώσεις Lagrange θα
είναι
d L L
Qj , j 1, 2,..., n M . (2.90)
dt j j
Δηλαδή έχουμε n M εξισώσεις και n M αγνώστους και δεν έχουμε σχέσεις δεσμών. Οι σχέσεις
δεσμών ουσιαστικά εμπεριέχονται στις Εξ. (2.90). Με τη χρήση και της Εξ. (2.82) βρίσκουμε από τις Εξ. (2.90)
Αναλυτική Δυναμική 54
τις γνωστές σχέσεις Εξ. (2.77) με τις οποίες μπορούμε να προσδιορίσουμε και τις δυνάμεις των δεσμών.
2.8 Σχέσεις δεσμών με γραμμική εξάρτηση ως προς τις ταχύτητες
Θα ασχοληθούμε με δεσμούς της μορφής διαφορικών εξισώσεων όπου έχουμε γραμμική εξάρτηση από τις
ταχύτητες, συγκεκριμένα:
n
gl (q, q, t ) Alk (q, t )qk Al (q, t ) 0, l 1, 2,..., M . (2.91)
k 1
Αυτές οι σχέσεις μπορεί να περιγράφουν ολόνομους δεσμούς ή μη ολόνομους δεσμούς. Οι δυνατές
μετατοπίσεις δqk ικανοποιούν τις σχέσεις
n
A
k 1
lk (q, t )δqk 0, l 1, 2,..., M . (2.92)
gl
Ισχύουν Alk .
qk
Με τον γνωστό τρόπο βρίσκουμε τις γνωστές εξισώσεις Lagrange που μαζί με τις Εξ. (2.91) δίνουν τη
λύση του δυναμικού προβλήματος, δηλαδή έχουμε
d L L M
l (t ) Alk (q, t ) Qj 0, j 1, 2,..., n
dt q j q j l 1
(2.93)
n
gl (q, q, t ) Alk (q, t )qk Al (q, t ) 0, l 1, 2,..., M .
k 1
Θα εξετάσουμε πότε άλλοτε, εκτός της περίπτωσης του Εδαφίου 2.7, μπορούμε να τροποποιήσουμε τη
λαγκρανζιανή ώστε να έχει τη μορφή (κανόνας του πολλαπλασιασμού)
M
L L μl (t ) gl , gl (q, q, t ) 0 l 1, 2,..., M (2.94)
i 1
από την οποία θα βρούμε τις εξισώσεις Lagrange για την L . Θα δούμε ότι αυτό γίνεται μόνο αν οι
ισοδύναμες εξισώσεις Pfaff είναι ολικά διαφορικά. Τέτοιοι δεσμοί είναι ολόνομοι.
Είδαμε στα προηγούμενα ότι όταν εφαρμόζεται ο κανόνας του πολλαπλασιασμού για την τροποποίηση
της λαγκρανζιανής, τότε οι δυνατές μεταβολές (variations) για τις δεσμευτικές σχέσεις είναι μηδέν, Εξ. (2.84).
Αυτό δεν ισχύει γενικώς για αυτήν εδώ την περίπτωση. Πράγματι, έχουμε
n
gl (q, q, t ) n
g (q, q, t )
δgl gl (q δq, q δq, t ) gl (q, q, t ) δqi l δqi . (2.95)
i 1 qi i 1 qi
Οι δυνάμεις των δεσμών κατά τη δυνατή μετατόπιση παράγουν έργο ίσο με μηδέν. Για τους δεσμούς της
Εξ. (2.93) το έργο των δυνάμεων των δεσμών σχετίζεται με τις εκφράσεις
n n
gl (q, q, t )
Alk (q, t )δqk
k 1 k 1 qk
δqk 0 l 1, 2,..., M . (2.96)
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 55
Αυτές καθορίζουν τις δεσμεύσεις μεταξύ των δq . Ο συνδυασμός των Εξ. (2.95) και (2.96), γενικώς, δεν
οδηγεί στον μηδενισμό των δυνατών μεταβολών για τις gl (q, q, t ) , δηλαδή ισχύει γενικώς
δgl (q, q, t ) 0 .
Θα δούμε στη συνέχεια τι πρέπει να ισχύει ώστε να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη λαγκρανζιανή
που φαίνεται στη σχέση (2.94). Επίσης θα δούμε ότι τότε ισχύει η σχέση δg (q, q, t ) 0 .
Εισάγουμε τα Glj με τις σχέσεις
d gl gl
Glj , j 1, 2,..., n (2.97)
dt q j q j
Η σχέση d’Alembert για την L θα είναι η (2.98) και δεν υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις,
n d L L
dt q Qj δq j 0 .
(2.98)
j 1
j q j
Με χρήση της Εξ. (2.94) και (2.97) βρίσκουμε
n d L L M g M
j 1 dt q j
l l l Glj Qj δq j 0 .
(2.99)
q j l 1 q j l 1
Τα δq j είναι ανεξάρτητα, επομένως καταλήγουμε στις σχέσεις
d L L M g M
l l l Glj Qj 0, j 1, 2,..., n
dt q j
q j l 1 q j l 1 (2.100)
gl 0, l 1, 2,..., M .
Τα μl (t ) είναι συναρτήσεις μόνο του χρόνου οπότε μπορούμε να γράψουμε λl(t ) μl (t ) , δηλαδή
έχουμε τα αντίστοιχα των l (t ) . Υπεισέρχονται πάλι οι συντελεστές Alj και υπολογίζονται από τις σχέσεις
των δεσμών, οι οποίες περιέχουν τις ταχύτητες στην πρώτη δύναμη.
Ξέρουμε ότι οι σωστές εξισώσεις κίνησης είναι οι Εξ. (2.93), επομένως για να είναι οι Εξ. (2.100) ίδιες
με τις σωστές πρέπει
n A Alj Al
A
Glj li qi 0
lj
(2.101)
i 1 qi q j t q j
Η σχέση αυτή ικανοποιείται αν για κάθε qi ισχύουν οι σχέσεις
Alj Ali Alj Al
0, 0. (2.102)
qi q j t q j
Αυτές οι σχέσεις είναι οι σχέσεις που πρέπει να ισχύουν ώστε η διαφορική έκφραση, Pfaff, η οποία είναι
Αναλυτική Δυναμική 56
ισοδύναμη με την δεσμευτική σχέση στην Εξ. (2.93), να είναι ολικό διαφορικό (βλ. Εξ. (1.20)). Έτσι βρίσκουμε
ότι οι Εξ. (2.100) γίνονται
d L L M g
l(t ) l Qj 0, j 1, 2,..., n
dt q j q j l 1 q j (2.103)
gl 0, l 1, 2,..., M .
Δηλαδή βρίσκουμε τις σωστές εξισώσεις, τις (2.93). Αυτό σημαίνει ότι οι Εξ. (2.98) από τις οποίες
ξεκινήσαμε και είναι ισοδύναμες με τις τελευταίες είναι σωστές.
Επομένως όταν οι δεσμοί με τις ταχύτητες είναι τέτοιοι που οι αντίστοιχοί τους στη μορφή Pfaff είναι
ολικά διαφορικά τότε μπορούμε να τροποποιήσουμε την λαγκρανζιανή με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού.
Αν οι δεσμευτικές σχέσεις περιέχουν τις ταχύτητες στην πρώτη δύναμη αλλά τα αντίστοιχα διαφορικά
δεν είναι ολικά διαφορικά αλλά μπορούν να μετατραπούν σε ολικά διαφορικά πολλαπλασιάζοντας τα με
κατάλληλους ολοκληρωτικούς παράγοντες, τότε ισχύουν τα ανωτέρω για τις προκύπτουσες, μετά τον
πολλαπλασιασμό, δεσμευτικές σχέσεις οι οποίες είναι ολικά διαφορικά. Με αυτή την έννοια μπορούμε να
πούμε ότι με κατάλληλη διαδικασία, η λαγκρανζιανή μπορεί να τροποποιηθεί με τον κανόνα του
πολλαπλασιασμού αν οι ανωτέρω δεσμοί είναι (κρυμμένοι) ολόνομοι δεσμοί.
Στη συνέχεια θα δούμε ότι οι δυνατές μετατοπίσεις, Εξ. (2.92), που τώρα γράφονται όπως στην Εξ. (2.96),
δεν παραβιάζουν τους δεσμούς, δηλαδή τις Εξ. (2.91).
Έχουμε
gl (q δq, q δq, t ) gl (q, q, t ) δgl (q, q, t ) . (2.104)
Ισχύουν οι σχέσεις
n
gl n
g
δgl = δq j (t ) l δq j (t )
j =1 q j j 1 q j
δq j (t ) d δq j (t ) / dt (2.105)
d n gl n
δgl =
dt j =1 q j
δq j (t )
j 1
Glj δq j (t ).
Για τους ανωτέρω δεσμούς έχουμε την Εξ. (2.101), δηλαδή Glj 0 , επίσης οι δυνατές μετατοπίσεις
οδηγούν στις σχέσεις της Εξ. (2.96), επομένως δgl =0 . Άρα από την Εξ. (2.105), εφόσον η αρχική κατάσταση
είναι πιθανή και ισχύει η Εξ. (2.91), συμπεραίνουμε ότι και η μετατοπισμένη είναι πιθανή αφού ισχύει
gl (q δq, q δq, t ) gl (q, q, t ) δgl (q, q, t ) =0+0=0.
Επομένως, οι δυνατές αυτές μετατοπίσεις οδηγούν από πιθανή σε πιθανή κατάσταση.
Αξίζει να τονίσουμε τα παρακάτω. Όταν έχουμε ολόνομες σχέσεις οι σωστές, για τη μηχανική δυνατές
μετατοπίσεις, οδηγούν από πιθανή σε πιθανή κατάσταση, δηλαδή οι δεσμευτικές σχέσεις ισχύουν και στις
μετατοπισμένες θέσεις. Αυτό είναι προφανές για την περίπτωση της τροποποιημένης λαγκρανζιανής με τον
κανόνα του πολλαπλασιασμού, διότι όπως είδαμε η προστιθέμενη ποσότητα είναι μηδέν και για τις γειτονικές
θέσεις, τις μετατοπισμένες. Το ίδιο όμως πρέπει να ισχύει και όταν οι δεσμοί ενσωματώνονται. Δε μπορούν να
ενσωματωθούν δεσμοί που δεν οδηγούν από πιθανές σε πιθανές καταστάσεις, δηλαδή μη ολόνομοι δεσμοί.
Ο σωστός τρόπος αντιμετώπισης των μη ολόνομων δεσμών είναι η μέθοδος παράθεσης δεσμών.
Αναφέραμε, χωρίς να αναπτύξουμε το θέμα, ότι μπορεί κάποιος να κάνει, και για ολόνομους και για μη
ολόνομους δεσμούς, ενσωμάτωση των δυνατών μετατοπίσεων, στις σχέσεις της Αρχής d’ Alembert και να
λύσει το πρόβλημα. Συγκεκριμένα, μπορεί να εκφράσει με χρήση των M δεσμευτικών σχέσεων μεταξύ των
δυνατών μετατοπίσεων, M δυνατές μετατοπίσεις συναρτήσει των υπόλοιπων n M . Αντικαθιστά αυτές στις
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 57
εξισώσεις της Αρχής d’ Alembert, οπότε οι εξισώσεις που προκύπτουν αποτελούνται από προσθετέους που ο
κάθε ένας είναι γινόμενο επί μια δυνατή μετατόπιση στην πρώτη δύναμη. Αυτές είναι ανεξάρτητες οπότε ο
κάθε όρος μηδενίζεται. Έτσι βρίσκουμε τις διαφορικές εξισώσεις που λύνουν το πρόβλημα.
2.9 Εξισώσεις Lagrange με γενικούς δεσμούς
Μέχρι τώρα θεωρήσαμε εξισώσεις δεσμών οι οποίες, αν περιλαμβάνουν και ταχύτητες, αυτές είναι στην πρώτη
δύναμη. Τώρα θα εξετάσουμε τη γενική περίπτωση που οι δεσμοί δεν έχουν τον ανωτέρω περιορισμό αλλά
είναι της γενικής μορφής, και μπορεί να είναι ολόνομοι ή μη ολόνομοι:
gl (q, q, t ) 0, l 1, 2,..., M (2.106)
Σε αυτή τη γενική μεθοδολογία μπορεί να υπαχθούν οι μέχρι τώρα περιπτώσεις που εξετάσαμε.
Ουσιαστικά το πρόβλημα που τίθεται είναι, στη γενική αυτή περίπτωση να βρούμε τη σχέση που συνδέει τις
δυνατές μετατοπίσεις. Τονίζουμε ξανά ότι πρέπει κατά τις δυνατές μετατοπίσεις να έχουμε δυνατό έργο των
δυνάμεων του κάθε δεσμού ίσο με μηδέν. Το δυνατό έργο δυνάμεων είναι πάντα της μορφής της Εξ. (1.39),
οπότε για το έργο των δυνάμεων του κάθε δεσμού l , έχουμε
n
δWl Qli δqi 0, l 1, 2,..., M (2.107)
i 1
Όπως ξέρουμε οι δυνάμεις δεσμών δεν είναι πλήρως καθορισμένες πριν λυθεί το συγκεκριμένο
πρόβλημα, δηλαδή από την αρχή. Θα προσπαθήσουμε από τις γενικές σχέσεις των δεσμών (2.106) να βρούμε
σχέσεις οι οποίες να συνδέονται με τις δυνάμεις των δεσμών, δηλαδή τις (2.107). Αυτό έγινε και στα
προηγούμενα με τη χρήση πολλαπλασιαστών (Lagrange) που γενικώς είναι συναρτήσεις του χρόνου. Έτσι, και
σε αυτήν τη γενική περίπτωση, από τις δεδομένες γνωστές σχέσεις των δεσμών, Εξ. (2.106), θα οδηγηθούμε
στις δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων, βοηθητικές σχέσεις, οι οποίες μαζί με τις
εξισώσεις της Αρχής d’ Alembert θα μας οδηγήσουν με τη γνωστή διαδικασία στην εύρεση των εξισώσεων
Lagrange και στη λύση του προβλήματος. Ξέρουμε ότι, γενικώς, οι δυνατές μετατοπίσεις μπορεί να μην
ικανοποιούν τις Εξ. (2.106), τις ικανοποιούν μόνον αν οι δεσμοί είναι ολόνομοι. Ας πάρουμε την ολική
παράγωγο της Εξ. (2.106), οπότε βρίσκουμε
dgl n
g n
g g
l q j l q j l 0, l 1, 2,..., M . (2.108)
dt j 1 q j j 1 q j t
Στη συνέχεια θα κάνουμε μια «ελάχιστη υπόθεση», η οποία λέει ότι οι δυνάμεις των δεσμών επηρεάζουν
τις επιταχύνσεις q j μόνο όπως καθορίζουν οι Εξ. (2.108). Οι εξισώσεις αυτές περιέχουν τις (γενικευμένες)
συνιστώσες της επιτάχυνσης
q (q1 , q2 ,..., qn ) (2.109)
g l
σε όρους που περιέχουν τις αντίστοιχες (γενικευμένες) συνιστώσες του , ενός διανύσματος
q
παραγώγων πολλών διαστάσεων, δηλαδή του
gl gl gl g
, ,..., l , l 1, 2,..., M . (2.110)
q q1 q2 qn
Όπως σε παρόμοιες περιπτώσεις, δεν πρέπει όλες αυτές οι συνιστώσες να είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι
μια γενικευμένη συνιστώσα της επιτάχυνσης επηρεάζεται μόνο από την αντίστοιχη γενικευμένη συνιστώσα
Αναλυτική Δυναμική 58
που ορίζουν οι Εξ. (2.110). Έτσι οδηγούμαστε στο ότι οι γενικευμένες συνιστώσες των δυνάμεων του κάθε
ενός δεσμού είναι ανάλογες των συνιστωσών που ορίζουν οι Εξ. (2.110), με κάποιον πολλαπλασιαστικό
παράγοντα που μπορεί να εξαρτάται από τον χρόνο. Έτσι, καταλήγουμε στο ότι για να ισχύει η αρχή του
μηδενισμού των δυνατών έργων των δυνάμεων των δεσμών, πρέπει για τις δυνατές μετατοπίσεις δq να ισχύουν
οι ακόλουθες πρόσθετες (ή βοηθητικές) σχέσεις:
n
gl (q, q, t )
j 1 q j
δq j 0, l 1, 2,..., M . (2.111)
Αυτές θα χρησιμοποιηθούν με τους πολλαπλασιαστές Lagrange και προφανώς θα καταλήξουμε σε
αντίστοιχες σχέσεις με αυτές των Εξ. (2.74) και Εξ. (2.75), δηλαδή στις
d L L M g (q, q, t )
l (t ) l Qj 0, j =1,2,...,n
dt q j q j l 1 q j (2.112)
gl (q, q, t ) 0, l 1, 2,..., M
Εύκολα φαίνεται ότι οι σχέσεις αυτές πράγματι ισχύουν και για την ειδική περίπτωση που έχουμε
δεσμευτικές σχέσεις γραμμικές ως προς τις ταχύτητες. Στην ουσία τέτοιες ήταν οι περιπτώσεις που εξετάσαμε
στα προηγούμενα.
2.10 Ταλαντώσεις
2.10.1 Ελεύθερες ταλαντώσεις
Θεωρούμε ένα συντηρητικό μηχανικό σύστημα με n γνήσιες γενικευμένες συντεταγμένες, δεν υπάρχουν
δεσμοί και δεν υπάρχει άμεση εξάρτηση από τον χρόνο. Επίσης δεν υπάρχει απόσβεση. Το σύστημα
περιγράφεται ως προς αδρανειακό σύστημα αναφοράς και βρίσκεται σε ισορροπία στο σημείο
0 (01 , 02 ,..., 0 n ) . Σε αυτό το σημείο οι δυνάμεις πάνω στο σύστημα είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι στο
συγκεκριμένο σημείο ισχύει
V ( 0 )
Qi 0.
i
Ορίζουμε τα qi με τις σχέσεις qi i 0i . Με αυτές τις συντεταγμένες το σημείο ισορροπίας είναι στη
θέση q0i (0,0,...,0) , δηλαδή οι n συντεταγμένες θέσης είναι ίσες με μηδέν. Η ανωτέρω σχέση ισορροπίας
γίνεται
V (0)
Qi 0. (2.113)
qi
Η ισορροπία μπορεί να είναι ευσταθής, ασταθής ή αδιάφορη αλλά και κάποιος συνδυασμός αυτών. Το
τελευταίο μπορεί να συμβεί αν ως προς τις διάφορες συντεταγμένες υπάρχει διάφορο είδος ισορροπίας. Δεν θα
καταπιαστούμε με αυτές τις λεπτομέρειες αλλά, για απλούστευση, θα θεωρούμε σιωπηλά ότι η ισορροπία είναι
ευσταθής. Σε αυτή την περίπτωση η δυναμική συνάρτηση (ενέργεια) έχει ελάχιστο στο σημείο ισορροπίας.
Σημειώνουμε ότι στο συντηρητικό σύστημα δεν έχουμε εξάρτηση από τον χρόνο. Σχηματίζουμε το ανάπτυγμα
Taylor για τη δυναμική ενέργεια περί το σημείο ισορροπίας. Έχουμε
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 59
V (0) 1 2V (0)
V (q ) V (0) qi qi q j ...
i qi 2 i , j qi q j
Ο πρώτος, ο σταθερός όρος μπορεί να παραληφθεί και στο σημείο ισορροπίας ο δεύτερος όρος είναι
μηδέν. Για μικρές ποκλίσεις από το σημείο ισορροπίας παραλείπουμε τους ανώτερους όρους και κρατούμε
2V (0)
μόνο τον τρίτο. Θέτουμε Vij V ji . Αυτές είναι σταθερές. Βρίσκουμε, κατά προσέγγιση,
qi q j
1
V (q) Vij qi q j .
2 i, j
Για την κινητική ενέργεια (αφού δεν υπεισέρχεται ο χρόνος) έχουμε
1
T M ij (q)qi q j . (βλέπε Παράρτημα Π3)
2 i, j
Αναπτύσσουμε σε σειρά Taylor τα M ij ( q ) περί το σημείο ισορροπίας και έχουμε
M ij (0)
M ij (q) M ij (0) qk ... .
k qk
Στη δυναμική ενέργεια κρατήσαμε όρους μέχρι τετραγωνικής μορφής ως προς τα qi . Η έκφραση για
την κινητική ενέργεια είναι ήδη τετραγωνικής μορφής χωρίς προσεγγίσεις, επομένως για να έχουμε την ίδια
προσέγγιση στην κινητική ενέργεια, κρατούμε στο ανάπτυγμα Taylor μόνο τον πρώτο, τον σταθερό όρο
M ij (0) . Τελικώς θέτουμε Tij T ji M ij (0) και καταλήγουμε στις σχέσεις:
1 n
T Tij qi q j
2 i , j 1
(2.114)
1 n
V Vij qi q j .
2 i , j 1
Η λαγκρανζιανή του συστήματος, οι εξισώσεις Lagrange και οι τελικές εξισώσεις κίνησης είναι
Tij qi q j Vij qi q j
1 n
L
2 i , j 1
d L L
0 (2.115)
dt qk qk
T q Vkj q j 0 k 1, 2,..., n
n
kj j
j 1
Αναζητούμε για τις τελευταίες εξισώσεις της Εξ. (2.115) n λύσεις της μορφής q j a j cos(t ) . Θα
μπορούσαμε, κατά τα γνωστά, να αναζητήσουμε λύσεις της μορφής Cai e it όπου Cai μιγαδικό, αλλά δεν
θα το κάνουμε. Θέλουμε να προσδιορίσουμε τα a j . Καταλήγουμε στο ακόλουθο σύστημα n συζευγμένων
Αναλυτική Δυναμική 60
γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων,
V 2Tij a j 0, i 1, 2,..., n .
n
ij (2.116)
j 1
Αυτό είναι ένα είδος προβλήματος ιδιοτιμών και μπορεί να γραφτεί με μορφή μητρών ως εξής
Va 2Ta . (2.117)
Είναι ευνόητο ποιες είναι οι συνιστώσες των μητρών V , T και του διανύσματος a (διάνυσμα στήλης).
Επειδή το σύστημα των εξισώσεων είναι ομογενές, έχει μη τετριμμένη λύση για τα a j τότε και μόνον τότε,
όταν η ορίζουσα των συντελεστών του συστήματος είναι μηδέν, δηλαδή πρέπει
det Vij 2Tij 0. (2.118)
Αυτή η εξίσωση είναι η χαρακτηριστική εξίσωση η οποία έχει n λύσεις, τις k , k 1, 2,..., n . Τα
2
k 0 είναι οι (κυκλικές) ιδιοσυχνότητες ή χαρακτηριστικές συχνότητες του συστήματος. Βάζουμε κάθε μια
χωριστά αυτές τις ιδιοσυχνότητες στις Εξ. (2.116), οπότε προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις για τον
προσδιορισμό των a j .
V k2Tij a jk 0, i 1, 2,..., n
n
ij
j 1 (2.119)
V T a 2
k k 0, k 1, 2,..., n.
Για κάθε μια ιδιοσυχνότητα k έχουμε ένα ιδιοδιάνυσμα a k (διάνυσμα στήλης) με n συνιστώσες, τις
a1k , a2k ,..., ank , το οποίο προσδιορίζεται από τη λύση του αντίστοιχου συστήματος γραμμικών εξισώσεων,
δηλαδή για κάθε k έχουμε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα, άρα υπάρχουν n ιδιοδιανύσματα. Σημειώστε ότι τα
συστήματα είναι ομογενή οπότε για κάθε ένα σύστημα η λύση του είναι μονοσήμαντη αλλά με μια αυθαίρετη
πολλαπλασιαστική σταθερά. Μπορεί κάποιος να θεωρήσει κάποια συνιστώσα από τις a jk , για δεδομένο k ,
γνωστή και να υπολογίσει τις άλλες συναρτήσει αυτής. Αυτά σημαίνουν ότι τα ιδιοδιανύσματα έχουν
καθορισμένη διεύθυνση αλλά δεν έχουν καθορισμένο «μήκος». Μπορούμε να επιβάλλουμε στο καθένα κάποιο
«μήκος», να το κανονικοποιήσουμε.
Ας εξετάσουμε την περίπτωση που όλες οι ιδιοτιμές (συχνότητες) είναι διαφορετικές (μη εκφυλισμένες).
Για δυο διαφορετικές συχνότητες έχουμε
V k2Tij a jk 0, i 1, 2,..., n
n
ij
j 1
(2.120)
V T aip 0, j 1, 2,..., n .
n
2
ij p ij
i 1
Πολλαπλασιάζουμε τις πρώτες εξισώσεις επί aip και αθροίζουμε στα i , πολλαπλασιάζουμε τις δεύτερες
επί a jk και αθροίζουμε στα j , στη συνέχεια σχηματίζουμε τη διαφορά τους και βρίσκουμε
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 61
a T a
n
2
p 2
k ip ij jk 0. (2.121)
i , j 1
Ορίζουμε τη μήτρα A με συνιστώσες τα aij . Αφού οι συχνότητες για p k είναι διαφορετικές, για
p k έχουμε
n
a T a
i , j 1
ip ij jk 0
(2.122)
ATTA 0.
Θέτουμε p k και κανονικοποιούμε τα διανύσματα όπως παρακάτω, δηλαδή έτσι ώστε το διπλό
άθροισμα να είναι ίσο με 1. Από τα παραπάνω καταλήγουμε στις σχέσεις
n
a T a
i , j 1
ip ij jk δ pk
(2.123)
A TA Eu .
T
E u είναι η μοναδιαία μήτρα.
Από τις πρώτες σχέσεις της Εξ. (2.120) και την Εξ. (2.123) καταλήγουμε στις σχέσεις
n n
aipVij a jk k2 aipTij a jk k2δ pk
i , j 1 i , j 1 (2.124)
A VA A TAλ Eu λ.
T T
λ είναι η διαγώνια μήτρα με διαγώνια στοιχεία τα 12 , 22 ,..., n2 .
Η τελευταία σχέση δείχνει ότι η μήτρα A διαγωνοποιεί τις μήτρες V , T με στοιχεία Vij , Tij αντιστοίχως.
Η γενική λύση των εξισώσεων κίνησης που φαίνονται στην Εξ. (2.115) είναι επαλληλία των λύσεων με
διαφορετικές ιδιοσυχνότητες. Δηλαδή έχουμε για κάθε γενικευμένη συντεταγμένη
n
qi C j aij cos( j t j ), i 1, 2,..., n. (2.125)
j 1
Τα C j , j προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες, π.χ. από το γεγονός ότι τη στιγμή t 0 τα
qi (0), qi (0) i 1, 2,..., n είναι γνωστά.
Ορίζουμε τις λεγόμενες κανονικές συντεταγμένες και καταλήγουμε στις σχέσεις
Q j C j cos( j t j )
n n
qi aij Q j C j aij cos( j t j ), i 1, 2,..., n (2.126)
j 1 j 1
q AQ, Q A1q ATTq.
Κάναμε χρήση της τελευταίας σχέσης της Εξ. (2.123). Το διάνυσμα στήλης, Q , έχει συνιστώσες τα
Q j , j 1, 2,..., n .
Αναλυτική Δυναμική 62
Μπορούμε να σκεφτούμε και ως εξής, θεωρούμε τον μετασχηματισμό
n
qi aip Qp , i 1, 2,..., n
p 1 (2.127)
q AQ.
Αντικαθιστούμε τα q στις σχέσεις για την κινητική ενέργεια και τη δυναμική ενέργεια, Εξ. (2.114) και
χρησιμοποιούμε τη σχέση για τη λαγκρανζιανή της Εξ. (2.115), οπότε καταλήγουμε στις σχέσεις
1 n 2 1 n
T
2 p 1
Q p , V p2Q p2
2 p 1
(2.128)
1 n
L Q p2 p2Q p2 .
2 p 1
Οι γενικευμένες συντεταγμένες, Q , που προέκυψαν από τον μετασχηματισμό των Εξ. (2.127) οδηγούν
σε αποσύζευξη των εξισώσεων κίνησης.
Πράγματι, με χρήση των εξισώσεων Lagrange, καταλήγουμε στις ακόλουθες εξισώσεις κίνησης για τα
Q και τις λύσεις τους
Qi i2Qi 0
(2.129)
Qi =Ci cos(i t i ), i 1, 2,..., n.
Τα Ci , i εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες. Επαναλαμβάνουμε ότι στη γενική περίπτωση το
σύστημα ταλαντεύεται συγχρόνως με πολλές συχνότητες, η γενική κίνηση είναι γραμμικός συνδυασμός όλων
των κανονικών τρόπων ταλάντωσης.
Είναι ενδιαφέρον να δει κάποιος υπό ποιες αρχικές συνθήκες όλα τα μέρη του συστήματος ταλαντεύονται
με την ίδια συχνότητα που δείχνουν οι σχέσεις (2.129). Αυτοί είναι οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης. Από τις
δεύτερες σχέσεις της Εξ. (2.126) φαίνεται ότι για μια συχνότητα (έναν κανονικό τρόπο ταλάντωσης) όλες οι
γενικευμένες συντεταγμένες qi κινούνται σε φάση ή σε αντίθεση φάσης.
Πράγματι, για μια μόνο συχνότητα, l , θα έχουμε
q1 Cl a1l cos(l t l )
q2 Cl a2l cos(l t l )
.
(2.130)
.
.
qn Cl anl cos(l t l ).
Σημειώστε ότι τα aij μπορεί να είναι θετικά, αρνητικά ή μηδέν.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τις εκφυλισμένες συχνότητες (ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης),
k1 k 2 ... ks , δηλαδή υπάρχει βαθμός εκφυλισμού s . Σε αυτή την περίπτωση τα ιδιοδιανύσματα δεν
μπορούν να προσδιοριστούν μονοσήμαντα όπως γίνεται στην περίπτωση μη εκφυλισμού.
Εφαρμόζουμε τη γνωστή μέθοδο από τη γραμμική άλγεβρα και σχηματίζουμε s το πλήθος
ορθοκανονικά ιδιοδιανύσματα a j . Ξεκινούμε από τις Εξ. (2.119), για τη συχνότητα εκφυλισμού. Από τις
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 63
εξισώσεις που προκύπτουν για τις συνιστώσες διαλέγουμε αυθαίρετα s ανεξάρτητες μεταξύ τους. Στη συνέχεια
κάνουμε χρήση των σχέσεων ορθογωνιότητας των λύσεων, Εξ. (2.122), (2.123).
Τέλος, χρησιμοποιούμε την κανονικοποίηση που αναφέραμε, δηλαδή πάλι την Εξ. (2.123). Οι εξισώσεις
που καταλήγουμε είναι λιγότερες από τις συνιστώσες που χρειάζεται να προσδιορίσουμε. Έτσι διαλέγουμε
αυθαίρετα κάποιες από αυτές και έτσι καταλήγουμε σε ίσο πλήθος ανεξάρτητων εξισώσεων και συνιστωσών
που θα προσδιορίσουμε.
2.10.2 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις
Ας υποθέσουμε ότι ασκούνται στο σύστημα και «εξωτερικές» δυνάμεις, δυνάμεις εξαναγκασμού ή
διεγείρουσες δυνάμεις ή δυνάμεις διέγερσης. Υποθέτουμε ότι ενδιαφερόμαστε για το μόνιμο φαινόμενο, χωρίς
να εξετάζουμε το μεταβατικό φαινόμενο. Το μόνιμο φαινόμενο στα συστήματα με διέγερση εμφανίζεται αφού
μηδενιστεί το μεταβατικό. Αυτό υποθέτει την ύπαρξη «τριβών» που εδώ αγνοούμε και υποθέτουμε ότι έχει
αποκατασταθεί το μόνιμο φαινόμενο. Με άλλα λόγια θεωρούμε πως οι τριβές είναι πολύ μικρές ώστε να μην
επηρεάζουν τα μεγέθη του μόνιμου φαινόμενου.
Για τη γενικευμένη συνιστώσα qk παριστάνουμε την αντίστοιχη γενικευμένη συνιστώσα δύναμης με
gk (t ) , η οποία υποθέτουμε ότι εξαρτάται μόνο από τον χρόνο. Οι εξισώσεις κίνησης χωρίς διεγείρουσες
δυνάμεις, δηλαδή οι Εξ. (2.115), με διεγείρουσες δυνάμεις, gk (t ) , θα πάρουν τη μορφή
Tij qi q j Vij qi q j
1 n
L
2 i , j 1
d L L
gk (2.131)
dt qk qk
T q Vkj q j g k k 1, 2,..., n .
n
kj j
j 1
Θέλουμε να γράψουμε τις εξισώσεις κίνησης για τις κανονικές συντεταγμένες, Qk . Χρειάζεται να
έχουμε τις γενικευμένες συνιστώσες δύναμης, Gk (t ) , για αυτές τις συντεταγμένες, Από όσα ξέρουμε για
qi
G j gi
αλλαγές συντεταγμένων αποδεικνύεται ότι ισχύει η σχέση i Q j Με χρήση της Εξ. (2.127)
.
Gk (t ) alk gl (t )
βρίσκουμε l . Στις κανονικές συντεταγμένες το πρώτο μέλος των τελευταίων εξισώσεων
Qk k2Qk
(κίνησης) στις (2.131), σύμφωνα με τα προηγούμενα είναι , η δύναμη του δευτέρου μέλους είναι η
Gk . Επομένως με διέγερση έχουμε τις εξισώσεις κίνησης
Qk k2Qk Gk (t ), k 1, 2,..., n (2.132)
2.11 Το αντίστροφο πρόβλημα της Μηχανικής - Μη μοναδικότητα της λαγκρανζιανής
Τα συστήματα στα οποία αναφερθήκαμε μέχρι τώρα, είναι συστήματα των οποίων η λαγκρανζιανή είναι η
φυσιολογική λαγκρανζιανή, L T V , L T U ή προκύπτει από την φυσιολογική με προσθήκη μιας
dG ( q , t )
ολικής παραγώγου, ως προς τον χρόνο, κάποιας συνάρτησης της θέσης και του χρόνου, L L .Η
dt
φυσιολογική λαγκρανζιανή υπάρχει στις περιπτώσεις που οι δυνάμεις μπορεί να προκύψουν από δυναμική
Αναλυτική Δυναμική 64
συνάρτηση V , U κατά τα γνωστά. Με χρήση της λαγκρανζιανής και των εξισώσεων Euler-Lagrange βρίσκουμε
τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης του συστήματος. Υπάρχουν δυναμικά συστήματα των οποίων οι
(διαφορικές) εξισώσεις κίνησης είναι γνωστές αλλά δεν μπορεί να προκύψουν από λαγκρανζιανές που
σχηματίζονται με τον ανωτέρω τρόπο. Σημειώνουμε ότι τα περισσότερα συγγράμματα Μηχανικής ασχολούνται
μόνο με την περίπτωση λαγκρανζιανών όπως οι παραπάνω. Σε αυτό το σύγγραμμα ακολουθούμε, γενικώς, αυτή
την πρακτική εκτός από αυτή την παράγραφο.
Το Αντίστροφο Πρόβλημα της Μηχανικής, ή αλλιώς Αντίστροφο Πρόβλημα της Θεωρίας Μεταβολών,
συνίσταται στο εξής: δίνονται οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης και εξετάζεται αν μπορεί να βρεθεί κάποια
λαγκρανζιανή η οποία με χρήση των εξισώσεων Euler-Lagrange να οδηγεί στις εξισώσεις κίνησης. Η ιδέα είναι
παλιά, ο H. Helmholtz έχει ασχοληθεί με το θέμα από το 1887, ο Darboux από το 1894. Αυτό είναι ένα ανοιχτό
αντικείμενο μελέτης μέχρι σήμερα. Θα δούμε ότι υπό ορισμένες προϋποθέσεις μπορεί να βρεθούν
λαγκρανζιανές που οδηγούν στις δεδομένες εξισώσεις κίνησης. Αυτές οι λαγκρανζιανές μπορεί να μην
σχετίζονται με λαγκρανζιανές που προκύπτουν ή ταυτίζονται με φυσιολογικές λαγκρανζιανές, δηλαδή με τη
συνήθη μέθοδο της φυσιολογικής λαγκρανζιανής. Μπορεί το σύστημα να μη μπορεί να αποκτήσει
λαγκρανζιανή με αυτό τον τρόπο. Η ύπαρξη λαγκρανζιανής είναι κάτι σημαντικό διότι μπορεί να
χρησιμοποιείται σε θεωρήματα διατήρησης, επίσης για τον προσδιορισμό της χαμιλτονιανής και των κανονικών
εξισώσεων κίνησης, τη θεμελίωση της θεωρίας Hamilton-Jacobi, τη Στατιστική Μηχανική κ.λπ. Αυτή η
μεθοδολογία οδηγεί σε επιπλέον μη μοναδικότητα της λαγκρανζιανής.
Η λαγκρανζιανής της Κλασικής φυσικής έχει σχέση με την κβάντωση του συγκεκριμένου συστήματος.
Η μη μοναδικότητα της λαγκρανζιανής και της αντίστοιχης χαμιλτονιανής δημιουργεί προβληματισμούς στο
ποια είναι η κατάλληλη λαγκρανζιανή που οδηγεί στο σωστό κβαντικό σύστημα. Η συνήθης πρακτική που
διδασκόμαστε είναι να ξεκινούμε από τη φυσιολογική λαγκρανζιανή.
Στην αρχή θα αναφέρουμε λίγα πράγματα για το Αντίστροφο Πρόβλημα. Έστω ότι έχουμε τις εξισώσεις
κίνησης στην παρακάτω μορφή τους,
n
A ( q, q, t ) q
j 1
ij j Bi (q, q, t ) 0 i 1, 2,..., n . (2.133)
Το αντίστροφο πρόβλημα συνίσταται στο να βρεθεί λαγκρανζιανή, ώστε αυτές οι εξισώσεις να
προσδιοριστούν από εξισώσεις Euler-Lagrange, δηλαδή από τις
d L L
0 k 1, 2,..., n . (2.134)
dt qk qk
Μια πρώτη ιδέα είναι να απαιτήσουμε να ισχύει
d L L n
Aij (q, q, t )q j Bi (q, q, t ) i 1, 2,..., n (2.135)
dt qi qi j 1
Πρέπει να σημειώσουμε ότι αυτό μπορεί να γίνει κατά πολλούς τρόπους, διότι έχουμε n εξισώσεις της
μορφής (2.133) και n εξισώσεις τύπου (2.134) και μπορεί να συνδυαστεί οποιαδήποτε από τις πρώτες με
οποιαδήποτε από τις δεύτερες. Για να ισχύει η (2.135) πρέπει η λαγκρανζιανή να είναι λύση του συστήματος
των μερικών διαφορικών εξισώσεων που ακολουθεί
n
2 L n
2 L 2 L L n
j 1 qi q j
q j
j 1 qi q j
q j Aij (q, q, t )q j Bi (q, q, t ) i 1, 2,..., n .
qi t qi j 1
(2.136)
Στην απλή περίπτωση όπου n 1 (μονοδιάστατο πρόβλημα Δυναμικής), μια εξίσωση και μια άγνωστη
συνάρτηση, υπάρχει πάντοτε λύση, αρκεί να ισχύουν κάποιοι σχετικά απλοί κανόνες κανονικότητας και
συνέχειας. Όμως όταν n 1 έχουμε πολλές εξισώσεις και μια άγνωστη συνάρτηση, οι εξισώσεις μπορεί να μην
είναι συμβατές μεταξύ τους και έτσι το πρόβλημα να μην έχει λύση. Μπορούμε να απαιτήσουμε να ισχύει η
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 65
παρακάτω συνθήκη (2.137) αντί της πρώτης από τις (2.135),
d L L n
0 Aij (q, q, t )q j Bi (q, q, t )=0
dt qi qi j 1 .
(2.137)
i 1, 2,..., n .
Αυτό που εννοούμε είναι ότι οι πρώτες και οι δεύτερες από τις Εξ. (2.137) είναι ισοδύναμες (έχουν ίδιες
λύσεις), χωρίς να ισχύει η ισότητα (2.135). Για όποιον ενδιαφέρεται, υπάρχει σχετική βιβλιογραφία που έχουμε
παραθέσει στο τέλος αυτού του βιβλίου.
Εδώ θα περιοριστούμε στην περίπτωση μονοδιάστατου προβλήματος ( n 1 ), με «κατάλληλη
μαθηματική συμπεριφορά». Τότε μπορεί να δειχτεί ότι η λαγκρανζιανή μπορεί να υπολογιστεί με τη
μεθοδολογία που φαίνεται παρακάτω.
Ξεκινούμε από την εξίσωση κίνησης στη μορφή
q G ( q, q, t ) . (2.138)
Η εξίσωση Lagrange είναι
d L L
0 . (2.139)
dt q q
Αναπτύσσουμε την ολική παράγωγο ως προς τον χρόνο και με χρήση της (2.138) η (2.139) δίνει
L 2 L 2 L G 2 L
q . (2.140)
q qq tq m q 2
Παραγωγίζουμε την (2.140) ως προς q , καταλήγουμε στην
3 L 3 L G 3 L 1 G 2 L
q . (2.141)
q 2q q 2t m q3 m q q 2
Θέτουμε
2 L
(q, q, t ) (2.142)
q 2
οπότε από την (2.141) καταλήγουμε στην
1 G
q q . (2.143)
q q t m q
d
Το πρώτο μέλος της (2.143) είναι η ολική παράγωγος οπότε η (2.143) γράφεται
dt
d(q, q, t ) 1 G
( q, q, t ) . (2.144)
dt m q
Ολοκληρώνουμε την (2.142) δυο φορές ως προς q και έχουμε για τη λαγκρανζιανή την πιο γενική
Αναλυτική Δυναμική 66
έκφραση
q
L (q y )(q, y, t )dy qf (q, t ) g (q, t ) . (2.145)
Το είναι αυθαίρετη σταθερά. Οι συναρτήσεις f , g είναι δυνατό να προσδιοριστούν από τη (2.140)
και τη (2.143). Μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι αυτή είναι η λύση αντικαθιστώντας την (2.145) στην (2.142).
Στη συνέχεια αντικαθιστούμε την (2.145) στην (2.140) και βρίσκουμε
(q, y, t ) (q, y, t ) g (q, t ) f (q, t ) G(q, q, t )
q
y dy ( q, q, t ) . (2.146)
q t q t m
Ισχύει
G ( q, y , t ) G ( q, , t )
q
G
( q, q, t ) (q, y, t ) dy ( q, , t ) . (2.147)
m y m m
Ο συνδυασμός των (2.146), (2.147) και (2.143) δίνει
g (q, t ) f (q, t ) G (q, , t )
( q, , t ) . (2.148)
q t m
h(q, t )
Ορίζουμε τη συνάρτηση h(q, t ) έτσι ώστε f (q, t ) οπότε η (2.148) γίνεται
q
h(q, t ) G( z, , t )
q
dc(t )
g ( q, t ) ( z, , t )dz . (2.149)
t m dt
Η c (t ) αυθαίρετη συνάρτηση του χρόνου και το είναι αυθαίρετη σταθερά.
Αντικαθιστούμε την (2.148) στην (2.145) και βρίσκουμε τη γενική λύση για τη λαγκρανζιανή, την Εξ.
(2.150).
d (q, t )
q q
L (q y )(q, y, t )dy G ( z, , t )( z, , t )dz
dt
(q, t ) h(q, t ) c(t ) (2.150)
d(q, q, t ) 1 G
(q, q, t ).
dt m q
Οι αυθαίρετες σταθερές , επηρεάζουν μόνο τη συνάρτηση (q, t ) . Όμως, επειδή υπεισέρχεται μόνο
το ολικό διαφορικό της ως προς τον χρόνο, η (q, t ) μπορεί να ληφθεί αυθαίρετα. Η λύση της δεύτερης
διαφορικής εξίσωσης στην Εξ. (2.150) είναι σχετικά πολύπλοκη και χρειάζεται τη γενική λύση q q ( , , t )
της δεδομένης εξίσωσης κίνησης q G (q, q, t ) .
Σε ειδικές περιπτώσεις μπορεί να βρεθεί λύση με απλό τρόπο, χωρίς τη χρήση της γενικής λύσης της
q G (q, q, t ) , θα περιοριστούμε σε τέτοια παραδείγματα.
Σε αυτό το σημείο θα κάνουμε μια παρένθεση και θα πούμε δυο λόγια για τη γνωστή περίπτωση των δυο
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 67
ισοδύναμων λαγκρανζιανών που αναφέραμε στα προηγούμενα. Οι λαγκρανζιανές είναι οι παρακάτω, οι
οποίες όπως είπαμε, περιγράφουν δυο ασύζευκτους ίδιους αρμονικούς ταλαντωτές (δυο σωμάτια).
L1 q1q2 q1q2 , L2
2
1 2
q1 q22 q12 q22 . (2.151)
Χρησιμοποιούμε τη λαγκρανζιανή L1 και βρίσκουμε για τη συζυγή ορμή του σωματίου 1 τη σχέση
L1
p1 q2 . (2.152)
q1
Στην Κβαντομηχανική ξέρουμε ότι τα p1 και q1 (ως τελεστές) δεν μετατίθενται, δηλαδή δεν μπορούν
να μετρηθούν ταυτόχρονα, επομένως ούτε τα q2 , q1 μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα, παρόλο που το κάθε
ένα ανήκει σε άλλον από δυο ανεξάρτητους ταλαντωτές. Αν χρησιμοποιήσουμε την λαγκρανζιανή L2 αυτό δεν
ισχύει, πράγμα που δείχνει ότι δυο διαφορετικές λαγκρανζιανές που οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις κίνησης στην
Κλασική Φυσική, δίνουν διαφορετικά αποτελέσματα στην Κβαντομηχανική.
Θα μπορούσε να πει κάποιος ότι ξεκινώντας από την κλασική θεώρηση η επιλογή της κατάλληλης για
το κβαντικό επίπεδο λαγκρανζιανής, είναι θέμα και του πειράματος. Αυτό, κατά κάποιο τρόπο, γίνεται στην
περίπτωση που δεν υπάρχει κλασικό ανάλογο του συστήματος, π.χ. σπιν σωματιδίου κ.λπ.
Αναλυτική Δυναμική 68
Παραδείγματα – Eιδικά Θέματα
1. Δυνάμεις απωλειών
Οι εξισώσεις Lagrange, στην περίπτωση συστήματος με n (γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες, όπου
συνυπάρχουν δυνάμεις που απορρέουν από δυναμική συνάρτηση και δυνάμεις που δεν απορρέουν από
δυναμική συνάρτηση, μπορεί να πάρουν τη μορφή
d L L
Qi i 1, 2,..., n .
dt qi qi
Ισχύει γενικώς L T U . Οι γενικευμένες συνιστώσες δύναμης, Qi , είναι αυτές που δεν απορρέουν
από δυναμική συνάρτηση. Αυτές που απορρέουν είναι «μέσα» στο L . Στην περίπτωση αυτών των δυνάμεων
Qi , ανήκουν κάποιες δυνάμεις απωλειών (δυνάμεις τριβής). Υποθέτουμε ότι έχουμε σύστημα που αποτελείται
από N σωμάτια που μπορεί να υπόκεινται και σε δεσμούς, επομένως n 3N . Θα υποθέσουμε ότι οι
καρτεσιανές συνιστώσες των δυνάμεων τριβής κατά μήκος των τριών καρτεσιανών αξόνων, για κάθε ένα
σωμάτιο, είναι ανάλογες της αντίστοιχης συνιστώσας της ταχύτητας του κάθε σωματίου του και έχουν αντίθετη
προς αυτήν κατεύθυνση. Τότε μπορούμε να γράψουμε για τις τρεις καρτεσιανές συνιστώσες της κάθε μιας
δύναμης τριβής, Fj , j 1, 2,..., N , ότι ισχύουν οι σχέσεις
Fjx k jx ( x j , y j , z j ) x j , F jy k jy ( x j , y j , z j ) y j , F jz k jz ( x j , y j , z j ) z j . Οι συντελεστές k εξαρτώνται
γενικώς από τη θέση του κάθε σωματίου και είναι θετικές ποσότητες. Τέτοιες δυνάμεις τριβής, μπορούν να
βρεθούν με χρήση μιας συνάρτησης που λέγεται συνάρτηση (του) Rayleigh, την
R R ( x, y, z, x, y, z ) k jx x 2j k jy y 2j k jz z 2j . Δηλαδή η συνάρτηση αυτή εξαρτάται από όλες τις
1 N
2 j 1
καρτεσιανές συντεταγμένες των σωματίων και γραμμικά από τα τετράγωνα των συνιστωσών των ταχυτήτων
R R R
τους. Προφανώς έχουμε Fjx , Fjy , Fjz ή Fj r R . Το έργο που παράγει το
x j y j z j j
σύστημα για να υπερνικήσει την τριβή είναι
dW Fj drj Fj rdt k jx x 2j k jy y 2j k jz z 2j dt 2R dt . Δηλαδή για την ισχύ
N N N
dW
που
j 1 j 1 j 1 dt
παράγεται από τις άλλες δυνάμεις, κατά την κίνηση του συστήματος, για να υπερνικηθούν οι δυνάμεις τριβής
dW
ισχύει 2R , γι’ αυτό η R λέγεται και συνάρτηση ισχύος. Από τις σχέσεις μετασχηματισμού
dt
rj rj (q1 , q2 ,..., qn , t ), j 1, 2,..., N , n 3N , οι γενικευμένες συνιστώσες δύναμης τριβής είναι κατά τα
N rj N rj N rj R
γνωστά Qi Fj r j R rj R .
j 1qi j 1 qi j 1 qi qi
R
Άρα Qi . Η R έχει εκφραστεί ως προς q, q και ίσως τον χρόνο. Οι εξισώσεις Lagrange, στη
qi
d L L R
γενική περίπτωση, γίνονται Qi .
dt qi qi qi
Παράδειγμα τέτοιας δύναμης τριβής είναι η δύναμη Stokes, FS που είναι η δύναμη που ασκείται σε
σφαίρα, ακτίνας a που κινείται μέσα σε ρευστό που έχει ιξώδες , με σχετικά μικρή ταχύτητα, η δύναμη
τριβής είναι FS 6π ar . Εύκολα μπορείτε να βρείτε τη συνάρτηση Rayleigh για αυτή την περίπτωση.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 69
Γενικότερα, μπορούμε να γράψουμε για τις δυνάμεις τριβής σε καρτεσιανές συντεταγμένες
i dr
Fi hi (ri ,i ) ,i i , i 1, 2,..., N . Παντού θα ισχύει ότι i 0 , δηλαδή πρόκειται για την απόλυτη
i dt
τιμή της ταχύτητας. Ορίζουμε ως συνάρτηση απωλειών την
N i
R di hi (ri ,i ) .
i 1 0
Ο μετασχηματισμός σε γενικευμένες συντεταγμένες δίνει
N
i ri N
N
Qj hi (ri ,i ) hi (ri ,i ) i i hi (ri ,i ) i
i 1 i q j i 1 i q j i 1 q j
ri i i 1 i i 1 i2
διότι ισχύουν κατά τα γνωστά , i i i .
q j q j q j 2 q j 2 q j q j
N i
N
i R
Επομένως, Qi hi (ri ,i ) d h (r , ) q .
q j q j
i i i i
i 1 i 1 0 j
Εννοείται ότι έχουμε χρησιμοποιήσει τον μετασχηματισμό συντεταγμένων οπότε τελικώς όλα έχουν
εκφραστεί συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων και αντίστοιχων ταχυτήτων i i (q, q) και τα
ri ri (q) .
Οι συνήθεις δυνάμεις τριβής (απωλειών) είναι:
Η κινητική τριβή F N , N η γνωστή κάθετη δύναμη.
Η δύναμη τριβής που ισχύει για σχετικά μικρές ταχύτητες μέσα σε ρευστά (νόμος του Stokes)
F , 0 .
Η δύναμη τριβής για σχετικά μεγάλες ταχύτητες μέσα σε ρευστά, F , 0, 0 .
2
2. Επεξηγήσεις σχετικά με τη δυνατότητα ενσωμάτωσης ή όχι δεσμευτικών σχέσεων
Οι εξισώσεις για τη λύση προβλημάτων με δεσμούς στη μορφή Pfaff είναι οι:
d L L M
l (t ) Alk (q, t ) Qj 0, j 1, 2,..., n
dt q j q j l 1
n
A
k 1
lk (q, t )qk Al (q, t ) 0, l 1, 2,..., M .
Οι δεύτερες M το πλήθος δεσμευτικές σχέσεις μπορεί να αντιπροσωπεύουν ολόνομους ή μη ολόνομους.
Τη σωστή διαδικασία για τη λύση προβλημάτων της παραπάνω μορφής την έχουμε αναλύσει στα
προηγούμενα. Δε μπορούμε να απλοποιήσουμε πρώτα τη λαγκρανζιανή με χρήση των δεσμευτικών διαφορικών
εξισώσεων Pfaff . Θα νόμιζε κάποιος ότι μπορούμε να εκφράσουμε από τις ταχύτητες με χρήση των
παραπάνω δεσμευτικών σχέσεων, συναρτήσει των υπόλοιπων n M και των q, t , να τις αντικαταστήσουμε
στη λαγκρανζιανή ώστε να «απλουστευτεί» και μετά να γράψουμε τις εξισώσεις Lagrange κ.ο.κ. Αν μάλιστα
Αναλυτική Δυναμική 70
οι μεταβλητές q j που αντιστοιχούν σε αυτές τις ταχύτητες δεν υπάρχουν στη λαγκρανζιανή, νομίζει κάποιος
ότι έτσι καταφέρνει να μειώσει τη διάσταση του θεσικού χώρου, δηλαδή να κάνει ενσωμάτωση δεσμών. Αυτά
οδηγούν σε λάθος λύση ή σε κάτι που είναι άτοπο. Οι δεσμοί μπορεί να ενσωματωθούν με τη γνωστή διαδικασία
μόνο αν είναι στη γεωμετρική τους μορφή, πράγμα που σημαίνει ότι είναι ολόνομοι. Σημειώνουμε ξανά ότι η
μείωση της διάστασης του θεσικού χώρου είναι ανεξάρτητη από τη συγκεκριμένη λαγκρανζιανή, εξαρτάται
μόνο από τις δεσμευτικές σχέσεις.
Για να γίνει περισσότερο κατανοητό το θέμα και να αποφεύγονται λάθη θα εξετάσουμε τα παρακάτω
παραδείγματα.
Α) Έστω υλικό σημείο που κινείται σε επίπεδο χωρίς να ασκούνται πάνω του ενεργητικές δυνάμεις.
Υπάρχει όμως η δεσμευτική σχέση y tx 0 . Θεωρήστε ότι η κινητική ενέργεια δίνεται από τη σχέση
T
1 2
2
x y 2 . Να βρεθούν οι εξισώσεις κίνησης με τη γνωστή σωστή διαδικασία. Η λαγκρανζιανή
είναι η κινητική ενέργεια.
Λύση
α) Μπορεί να επιβεβαιωθεί ότι ο δεσμός δεν είναι ολόνομος, άρα δε μπορεί να γίνει μείωση της διάστασης του
θεσικού χώρου, δε μπορεί να γίνει ενσωμάτωση της εξίσωσης του δεσμού στη λαγκρανζιανή. Η σωστή
διαδικασία είναι η εξής:
Η δεσμευτική σχέση, που είναι γραμμική ως προς τις ταχύτητες, οδηγεί στη δεσμευτική σχέση μεταξύ
των δυνατών μετατοπίσεων, 1δy tδx 0 , βοηθητική σχέση. A11 1, A12 t . Επομένως οι εξισώσεις
d T T d T T
Λαγκρανζ είναι (t ) A11 , (t ) A12 . Οπότε έχουμε να λύσουμε το σύστημα
dt y y dt x x
διαφορικών εξισώσεων
y , x t , y tx 0.
Απαλείφουμε το (t ) και βρίσκουμε ότι οι τελικές εξισώσεις κίνησης του σωματίου είναι
x(1 t 2 ) xt 0, y tx 0 .
β) Στη συνέχεια ας αγνοήσουμε την παραπάνω σωστή διαδικασία και ας προχωρήσουμε με το (λάθος)
τρόπο που αναφέραμε προηγουμένως. Στην κινητική ενέργεια δεν υπάρχουν οι συντεταγμένες αλλά μόνο οι
ταχύτητες. Χρησιμοποιούμε τη δεδομένη δεσμευτική σχέση στη μορφή y tx για να απαλείψουμε το y από
τη σχέση για την κινητική ενέργεια, το y δεν υπάρχει οπότε νομίζουμε ότι έτσι μειώνουμε τη διάσταση του
θεσικού χώρου κατά ένα. Βρίσκουμε για τη «νέα» κινητική ενέργεια T , T *
*
2
x t x x 2 1 t 2 .
1 2 2 2 1
2
Έχουμε την εξίσωση Lagrange
d T *
0
dt x
άρα καταλήγουμε στη σχέση x(1 t ) x 2t 0 . Αυτή με την δεδομένη δεσμευτική σχέση y tx 0 ,
2
υποτίθεται ότι λύνουν το πρόβλημα. Βλέπουμε ότι η παραβίαση της θεωρίας οδηγεί σε λάθος σύστημα
εξισώσεων. Οι σωστές εξισώσεις είναι οι προηγούμενες οι οποίες βρέθηκαν με τη σωστή διαδικασία. Δε μπορεί
να γίνει μείωση της διάστασης του θεσικού χώρου επειδή έτυχε η λαγκτρανζιαή να έχει κάποια ειδική μορφή.
Β) Θεωρούμε και πάλι το παραπάνω σωμάτιο με δεσμευτική σχέση την y kx 0 όπου k είναι μια
σταθερά.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 71
Λύση
α) Ο δεσμός είναι ολόνομος. Ακολουθούμε στην αρχή την ίδια διαδικασία που ακολουθήσαμε και
προηγουμένως στο Αα).
Έχουμε 1δy kδx 0 . Οι εξισώσεις Lagrange είναι
d T T d T T
k (t ), (t ) .
dt x x dt y y
Επομένως x k , y . Αυτές μαζί με τη δεσμευτική σχέση y kx 0 λύνουν το πρόβλημα.
Απαλείφουμε το και τελικώς βρίσκουμε τις (σωστές) εξισώσεις κίνησης x 0, y 0 .β). Κατόπιν,
ακολουθούμε την αντίστοιχη διαδικασία που ακολουθήσαμε στο β) στην προηγούμενη περίπτωση.
Με χρήση της δεσμευτικής σχέσης αντικαθιστούμε το y με το ίσο του kx στην έκφραση της κινητικής
1 2
ενέργειας. Έτσι έχουμε την τροποποιημένη έκφραση T (k 1) x 2 . Η εξίσωση Lagrange δίνει x 0 .
2
Αυτή σε συνδυασμό με τη δεσμευτική σχέση λύνουν το πρόβλημα. Είναι ευνόητο ότι ισχύει και πάλι η δεύτερη
εξίσωση κίνησης y 0 .
Βλέπουμε σε αυτή την περίπτωση του ολόνομου δεσμού οι δυο μέθοδοι δίνουν το ίδιο, σωστό,
αποτέλεσμα. Αυτό αναμένεται διότι για τον ολόνομο δεσμό υπάρχει η ολοκληρωμένη (γεωμετρική) σχέση
y kx c σταθ. Έτσι, σε αυτή την περίπτωση μπορεί να μειωθεί η διάσταση του θεσικού χώρου αφού τα
x, y δεν είναι ανεξάρτητα και αυτό δεν σχετίζεται με την ειδική μορφή κινητικής ενέργειας (λαγκρανζιανής).
Δηλαδή, το y και το υπολογιζόμενο y από τη γεωμετρική σχέση μπορούν να αντικατασταθούν στην κινητική
ενέργεια με τα ίσα τους, αντίστοιχα τα kx c και kx . Στην περίπτωσή μας δεν υπάρχει εξάρτηση από το y
αλλά μόνο από το y και γι’ αυτό αντικαθίσταται μόνο το y , καθόλα σωστό.
3. Συζευγμένα εκκρεμή
Στο Σχήμα 2,2, θεωρούμε τρία ίδια εκκρεμή μέσα σε κατακόρυφο πεδίο βαρύτητας, g , συζευγμένα μεταξύ
τους. Εξετάζουμε μικρού πλάτους αιωρήσεις οπότε οι γωνίες εκτροπής 1 , 2 ,3 είναι αρκούντως μικρές. Είναι
δεδομένο ότι (για τις σημειακές μάζες) ισχύουν m1 m2 m3 m και επίσης δίνεται ότι l1 l2 l3 l . Οι
μάζες των ράβδων των εκκρεμών είναι αμελητέες. Υποθέτουμε ότι υπάρχει σύζευξη μεταξύ όλων των
εκκρεμών και όχι μόνο μεταξύ των γειτονικών. Αυτό το δηλώνουμε με το γραμμοσκιασμένο
παραλληλόγραμμο, χωρίς να εξετάζουμε πως μπορεί να επιτευχθεί κάτι τέτοιο. Θεωρήστε ότι, για μικρού
πλάτους αιωρήσεις, ο όρος στη δυναμική συνάρτηση που χαρακτηρίζει τη σύζευξη μεταξύ των εκκρεμών i
και j είναι mgl i j mgl i j , όπου 1. Θα μελετήσουμε την κίνηση αυτού του συστήματος το
οποίο έχει τρεις γενικευμένες συντεταγμένες.
Σχήμα 2.2 Τρία συζευγμένα εκκρεμή.
Αναλυτική Δυναμική 72
Λύση
Η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι T
1 2 2
2
ml 1 22 32 . Η δυναμική ενέργεια για μικρού
mgl 12 22 32 21 2 21 3 2 2 3 .
1
πλάτους ταλαντώσεις είναι V
2
Η μήτρα της κινητικής ενέργειας, T , είναι διαγώνια με στοιχεία τα T11 T22 T33 ml , όλα τα άλλα
2
στοιχεία είναι μηδέν. Η μήτρα της δυναμικής ενέργειας, V , είναι συμμετρική με τα εξής στοιχεία,
V11 V22 V33 mgl , V12 V13 V21 V23 V31 V32 mgl .
Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι V T 0 . Αυτή οδηγεί στη σχέση
2
g l 2 g g
g g l 2 g 0.
g g g l 2
2
l l
Μετά από πράξεις καταλήγουμε στη σχέση 2 1 2 1 2 0. Οι τρεις ρίζες για το
g g
2 οδηγούν στις τρεις (θετικές) ρίζες για το εκ των οποίων οι δυο είναι ίδιες (εκφυλισμός). Έχουμε για τις
g g
ρίζες, 1 2 1 , 3 1 2 .
l l
Στην αρχή θα προσδιορίσουμε το ιδιοδιάνυσμα a3 για την ιδιοσυχνότητα 3 . Από την Εξ. (2.119)
έχουμε
1 1 0 0 a13
1
(1 2 ) 0 1 0 a23 0
1 0 0 1 a33
2 a13
άρα 2 a23 0.
2 a33
Εφόσον το σύστημα έχει τρεις εξισώσεις και είναι ομογενές μόνο οι δυο από αυτές είναι ανεξάρτητες,
οπότε έχουμε
2 a13 a23 a33 0
a13 2 a23 a33 0.
Έχουμε τρεις άγνωστες ποσότητες να προσδιορίσουμε οπότε θα κάνουμε χρήση και της τρίτης εξίσωσης
που προκύπτει από την κανονικοποίηση του διανύσματος σύμφωνα με την Εξ. (2.123), η οποία δίνει
ml 2 a132 a23
2
a33
2
1.
Το αποτέλεσμα είναι
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 73
1
a13 a23 a33 .
3ml
g
Επομένως για τη συχνότητα 3 1 2 η κίνηση καθορίζεται από τις σχέσεις
l
1
1 2 3 cos(3t 3 ).
3ml
Δηλαδή και τα τρία εκκρεμή κινούνται σε φάση και με τα ίδια πλάτη.
g
Ας εξετάσουμε την εκφυλισμένη κατάσταση των συχνοτήτων 1 2 12 1 .
l
Εφαρμόζουμε την Εξ. (2.119) για την διπλά εκφυλισμένη συχνότητα οπότε έχουμε
V T a
2
12 1 0, V T a
2
12 2 0. Από το πλήθος των 6 εξισώσεων, 3+3, διαλέγουμε μια από τις
3 πρώτες και μια
(διαφορετική) από τις δεύτερες, τελικώς καταλήγουμε στις
a11 a21 a31 0, a12 a22 a32 0 . Δηλαδή έχουμε τα δυο ιδιοδιανύσματα a1 και a2 που πρέπει να είναι
ορθοκανονικοποιημένα, Εξ. (2.123). Αυτό μας οδηγεί στη σχέση ορθογωνιότητας a11a12 a21a22 a31a32 0
1 1
και στις σχέσεις κανονικοποίησης a11 a21 a31 , a122 a22 a32 2 . Δηλαδή έχουμε το παρακάτω
2 2 2 2 2
2
ml ml
σύστημα με 5 εξισώσεις και 6 αγνώστους.
a11 a21 a31 0
a12 a22 a32 0
a11a12 a21a22 a31a32 0
1
a112 a21
2
a31
2
ml 2
1
a122 a22
2
a32
2
2.
ml
Για να βρούμε τις συνιστώσες των δυο ορθοκανονικών ιδιοδιανυσμάτων a1 , a2 διαλέγουμε μια από τις
συνιστώσες αυθαίρετα και έτσι προσδιορίζουμε τις άλλες 5. Ένεκα του εκφυλισμού υπάρχουν άπειρες επιλογές.
Έστω a31 0 , οπότε έχουμε
a31 0
a11 a21 0
a12 a22 a32 0
a11a12 a21a22 0
1
a112 a21
2
ml 2
1
a122 a22
2
a32
2
.
ml 2
Αναλυτική Δυναμική 74
1 1
Το ιδιοδιάνυσμα a1 έχει συνιστώσες, a11 , a21 , a31 0 .
2ml 2ml
1 1 2
Το a2 έχει συνιστώσες, a12 , a22 , a32 .
6ml 6ml 6ml
Για την περίπτωση του
a1 η κίνηση των τριών εκκρεμών είναι
1
1 cos 12t 1
2ml
1
2 cos 12t 1
2ml
3 0.
Τα δυο πρώτα κινούνται με το ίδιο πλάτος και αντίθετες φάσεις ενώ το τρίτο είναι ακίνητο. Είναι ευνόητο
ότι η αυθαιρεσία στην επιλογή λύσεων μπορεί να μας οδηγήσει στην περίπτωση που το πρώτο είναι ακίνητο
και τα άλλα δυο κινούνται με αντίθετες φάσεις, ακόμη μπορεί το δεύτερο να είναι ακίνητο και τα δυο άλλα να
έχουν αντίθετες φάσεις. Αυτά είναι αποτέλεσμα του εκφυλισμού.
Για την περίπτωση του a2 έχουμε την κίνηση
1
1 cos 12t 2
6ml
1
2 cos 12t 2
6ml
2
3 cos 12t 2 .
6ml
Τα δυο πρώτα εκκρεμή κινούνται σε φάση με ίδια πλάτη, το τρίτο με διπλάσιο πλάτος και αντίθετη φάση.
Είναι ευνόητο ότι και εδώ ισχύουν τα ανάλογα με την περίπτωση του a1 .
Σύμφωνα με όσα έχουμε πει, οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης είναι, σύμφωνα με την πρώτη από τις Εξ.
(2.126), οι
Q1 C1 cos 12t 1
Q2 C2 cos 12t 2
Q3 C3 cos 3t 3 .
Δίνουμε τις σχέσεις για τον υπολογισμό των Q από τις γενικές λύσεις q όπου μπορεί να συνυπάρχουν
πολλές συχνότητες. Αυτό γίνεται με χρήση των τελευταίων εξισώσεων στην Εξ. (2.126). Έχουμε τελικώς
m
Q1 l (1 2 )
2
m
Q2 l (1 2 23 )
6
m
Q3 l (1 2 3 ).
3
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 75
4. Εφαρμογή της λαγκρανζιανής μεθόδου στην ηλεκτροτεχνία
Αυτή είναι μια ενδιαφέρουσα χρήση της λαγκρανζιανής μεθόδου που δεν αφορά στη Μηχανική αλλά στην
Ηλεκτροτεχνία. Συγκεκριμένα μπορεί κάποιος να αντιστοιχίσει στις γενικευμένες θέσεις μηχανικού
συστήματος, τα ηλεκτρικά φορτία που ρέουν στους διάφορους βρόχους κυκλώματος ή που υπάρχουν σε
πυκνωτές του κυκλώματος, δηλαδή q(συντεταγμένη) eq (ηλεκτρικό φορτίο) . Επίσης στη θέση των
αντίστοιχων ταχυτήτων τις παραγώγους ως προς τον χρόνο των παραπάνω φορτίων, δηλαδή τα ρεύματα που
κυκλοφορούν στο κύκλωμα, q (ταχύτητα) eq i(ηλεκτρικό ρεύμα) . Οι όροι της κινητικής ενέργειας,
στην περίπτωση κυκλώματος είναι οι όροι που αντιστοιχούν στην ενέργεια αυτεπαγωγών και αμοιβαίων
1 1 1 1 1 1
επαγωγών, mq 2 Leq2 Li 2 και mkl qk ql M kl eqk2 eql2 M kl ik2il2 . Οι όροι της δυναμικής
2 2 2 2 2 2
2
1 1 eq
ενέργειας αντιστοιχούν στις ενέργειες πυκνωτών, V kq 2 . Οι ενεργειακοί όροι που αντιστοιχούν
2 2C
1 2
στις δυνάμεις απωλειών αντιστοιχούν στις απώλειες ένεκα ωμικών αντιστάσεων, R Ri . Αυτό
2
R R
δικαιολογείται επειδή Ri οπότε η ισχύς που καταναλίσκεται στον αντιστάτη R , ισούται
q i
2
πράγματι με i R = 2R , που είναι το ανάλογο της Μηχανικής που είδαμε στα προηγούμενα. Τέλος, αν υπάρχει
πηγή τάσης (t ) που τροφοδοτεί το κύκλωμα, αυτή είναι το αντίστοιχο της γενικευμένης συνιστώσας
δύναμης της Μηχανικής, διότι το γινόμενο, deq (τάση επί φορτίο δια μέσου της πηγής), είναι το
ηλεκτρικό έργο που παρέχει η πηγή το οποίο είναι το αντίστοιχο του γινόμενου Qdq που είναι το έργο της
γενικευμένης δύναμης.
Να βρεθεί η (διαφορική) εξίσωση για κύκλωμα με L, C , R σε σειρά που τροφοδοτείται από πηγή,
(t ) . Με αυτές τις αντιστοιχίες μπορεί κάποιος να προχωρήσει και να γράψει την εξίσωση του Lagrange
και στη συνέχεια να βρει τη διαφορική εξίσωση για το κύκλωμα.
Λύση
Προφανώς το κύκλωμα χαρακτηρίζεται από μια μεταβλητή, το φορτίο του πυκνωτή, eq , και την παράγωγό του
ως προς το χρόνο, eq i . Θα χρησιμοποιήσουμε την «φυσιολογική» λαγκρανζιανή. Σύμφωνα με τις παραπάνω
αντιστοιχίες έχουμε
2
1 1e 1
Leq2 , V q , R = Req2 , Q .
2 2C 2
1 2 1 q2
Επομένως, η λαγκρανζιανή του ηλεκτρικού κυκλώματος είναι η L T V Lq
2 2C
1 2 1 eq
2
d L L R
L T V Leq . Η εξίσωση Lagrange είναι . Από αυτή βρίσκουμε
2 2C dt eq eq eq
eq
Leq Req . Υποθέτουμε ότι οι φορές είναι τέτοιες ώστε να ισχύει i eq , τότε βρίσκουμε
C
di e
L q Ri , παραγωγίζουμε αυτή τη σχέση ως προς τον χρόνο και τελικώς καταλήγουμε στη,
dt C
d 2i 1 di d
L 2 iR . Αυτή είναι η γνωστή εξίσωση της ηλεκτροτεχνίας για το παραπάνω κύκλωμα με τα
dt C dt dt
διάφορα στοιχεία σε σειρά.
Αναλυτική Δυναμική 76
5. Μηχανική ομοιότητα
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μηχανικό σύστημα με κινητική ενέργεια της μορφής
n n
1
T M ij qi q j ,M ij σταθερές ,
i 1 j 1 2
δηλαδή η κινητική ενέργεια είναι ομογενής συνάρτηση ως προς τις ταχύτητες, βαθμού ομογένειας 2, και
με δυναμική ενέργεια της μορφής V V (q ) , η φυσιολογική λαγκρανζιανή του συστήματος είναι, L T V
. Έστω ότι ως προς τις συντεταγμένες θέσης, η δυναμική ενέργεια είναι ομογενής συνάρτηση βαθμού
(ομογένειας) k . Αυτό σημαίνει ότι αν κάνουμε τον μετασχηματισμό κλίμακας (βαθμίδας) q q θα βρούμε
V V (q) V ( q1 , q2 ,..., qn ) kV (q) .
Υποθέτουμε ότι και ο χρόνος μετασχηματίζεται σύμφωνα με τη σχέση t
1 k /2
t . Είναι ευνόητο ότι αν
εφαρμόσουμε και τους δυο αυτούς μετασχηματισμούς κλίμακας συγχρόνως για τις ταχύτητες θα έχουμε
dqi dq
qi 1 k /2 i k /2 qi .
dt dt
Λέμε ότι τα δυο συστήματα είναι μηχανικά όμοια. Το ένα προήλθε από το άλλο με χρήση του παραπάνω
μετασχηματισμού κλίμακας (βαθμίδας).
Η κινητική ενέργεια θα γίνει
n n n n
1 1
T T (q) T (q) M ij k /2 qi k /2 q j k M ij qi q j kT (q) .
i 1 j 1 2 i 1 j 1 2
Επομένως, η νέα (φυσιολογική) λαγκρανζιανή συνδέεται με την αρχική σύμφωνα με τη σχέση
L(q, q, t ) T V kT kV k L(q, q, t ) .
Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι οι εξισώσεις κίνησης είναι οι ίδιες και για τις δυο περιπτώσεις
συντεταγμένων αφού η μια λαγκρανζιανή διαφέρει από την άλλη στη μορφή κατά μια πολλαπλασιαστική
σταθερά. Αυτό συνεπάγεται ότι οι λύσεις, q q(t ) και q q (t ) , και για τις δυο περιπτώσεις έχουν την ίδια
συναρτησιακή μορφή, f f ( w) .
Το συμπέρασμα είναι ότι οι τροχιές του συστήματος στους χώρους q και q έχουν ακριβώς την ίδια
μορφή (είναι γεωμετρικά όμοιες), που σημαίνει ότι απλώς αλλάζουν γεωμετρικές διαστάσεις. Μπορούμε να
γράψουμε ότι οποιαδήποτε «μήκη» (εφόσον μπορούν να οριστούν «μήκη») l , l στους χώρους των θέσεων,
qi
l qi
q , q των τροχιών ικανοποιούν τη σχέση όπως ισχύει για τις συντεταγμένες, δηλαδή .
l
Αυτός είναι ο γεωμετρικός λόγος.
Για τους χρόνους των αντίστοιχων σημείων των τροχιών στους δυο χώρους ισχύει
1 k /2
t q
1 k /2 i
t qi
Αυτή η σχέση ισχύει και για οποιαδήποτε χρονικά διαστήματα των αντίστοιχων σημείων για τις κινήσεις
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 77
q q (t ) και q q(t ) . Δηλαδή
1 k /2
t l
1 k /2 .
t l
Γενικώς, οι λόγοι διαφόρων αντίστοιχων φυσικών μεγεθών, μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει του
γεωμετρικού λόγου. Παραδείγματα μερικών φυσικών μεγεθών είναι τα εξής,
l T l V l E l
k /2 k k k
qi / qi , , , .
l T l V l E l
6. Μονοδιάστατη κίνηση σωματίου μέσα σε δυναμικό V ( q )
1 dV (q)
Ισχύει η σχέση (εξίσωση κίνησης), q G (q) . Εφόσον G G (q ) , από τη θεωρία καταλήγουμε
m dq
d
στη σχέση, 0 , δηλαδή η είναι αυθαίρετη σταθερά, που εδώ απλώς πολλαπλασιάζει τη λαγκρανζιανή,
dt
επομένως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι 1 . Τα αυθαίρετα , μπορούμε να τα θεωρήσουμε μηδέν,
0, 0 .
Έχουμε για την περίπτωσή μας
d (q, t )
q q
1 dV ( z )
L q y dy dz .
0
m 0 dz dt
Παραλείπουμε τον τελευταίο όρο αφού είναι ολικό διαφορικό συνάρτησης θέσης και χρόνου, οπότε
1 2 1
βρίσκουμε την L q V (q ) V (0) . Παραλείπουμε τον σταθερό όρο και αφού πολλαπλασιάσουμε επί
2 m
1
τη σταθερά m , καταλήγουμε στη γνωστή μας για την περίπτωση λαγκρανζιανή, L mq 2 V (q ) . Πράγματι,
2
με χρήση της εξίσωσης Lagrange, αυτή οδηγεί στη δεδομένη εξίσωση κίνησης από την οποία ξεκινήσαμε.
7. Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση
Δίνεται η διαφορική εξίσωση κίνησής του
b k
q q q.
m m
d b
Σύμφωνα με τη θεωρία πρέπει να βρούμε λύση της διαφορικής εξίσωσης .
dt m
Παίρνουμε την λύση 0 exp[(b / m)t ], 0 σταθ. Χρησιμοποιούμε τη σχέση υπολογισμού της
λαγκρανζιανής από τη θεωρία, όπου θέτουμε 0, 0 , (q, t ) 0 .
b q k q2
2
Τελικώς βρίσκουμε L exp t . Εύκολα μπορεί να δειχτεί ότι αυτή πράγματι, με
m 2 m 2
χρήση της εξίσωσης Λαγκρανζ οδηγεί στη δεδομένη, αρχική, εξίσωση κίνησης.
Αναλυτική Δυναμική 78
Προβλήματα
1. Δείξτε ότι ισχύουν οι εξισώσεις Lagrange για την περίπτωση μηχανικού συστήματος σωματίων, όταν δεν
υπάρχουν δεσμοί. Ξεκινήστε από τον δεύτερο νόμο κίνησης του Νεύτωνα σε καρτεσιανές συντεταγμένες και
για κάθε σωμάτιο χρησιμοποιήστε τις σημειακές εξισώσεις μετασχηματισμού από καρτεσιανές σε γενικευμένες
συντεταγμένες, όπου υπεισέρχεται και ο χρόνος. Να μη γίνει χρήση της Αρχής Alembert.
2. Βρείτε μια λαγκρανζιανή για το απλό εκκρεμές και στη συνέχεια με χρήση της βρείτε την (διαφορική)
εξίσωση κίνησης για το απλό εκκρεμές. Θεωρήστε ως γνήσια γενικευμένη συντεταγμένη τη γωνία με την
κατακόρυφο, δηλαδή την γωνία εκτροπής από την κατακόρυφο. Η φορά της κατακόρυφου να θεωρηθεί θετική
προς τα κάτω. Για μικρές γωνίες εκτροπής, βρείτε την περίοδο του εκκρεμούς.
3. Θεωρήστε ότι η κινητική ενέργεια συστήματος είναι ομογενής τετραγωνική μορφή ως προς τις ταχύτητες,
1 n
δηλαδή T alk ql qk , alk akl , και δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο. Στο σύστημα δρουν οι
2 l ,k 1
ενεργητικές (ασκούμενες) γενικευμένες δυνάμεις Qi Qi (q, q, t ), i 1, 2,..., n . Δείξτε ότι οι εξισώσεις
κίνησης γίνονται
n n
1 alr amr alm
ari qi
i 1
l , m 1
lm
r
ql qm Qr , lm
r
2 qm ql
, r 1, 2,..., n
qr
όπου r Γr ,lm είναι τα σύμβολα του Cristoffel πρώτου είδους.
lm
4. Έστω μηχανικό σύστημα που αποτελείται από σωμάτιο-χάνδρα η οποία μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή σε
στερεά ευθύγραμμη λεπτή ράβδο. Η ράβδος περιστρέφεται σε επίπεδο περί το ένα άκρο της με σταθερή
γωνιακή ταχύτητα, . Το σύστημα είναι εκτός πεδίου βαρύτητας. Θεωρήστε πολικές συντεταγμένες, r , .
Υποθέστε ότι οι αρχικές συνθήκες είναι t 0, r (0) r0 , r (0) 0, (0) 0 . Θεωρήστε ως γνήσια
συντεταγμένη τη συντεταγμένη r , αυτό σημαίνει ότι έχετε εμφυτέψει την εξίσωση του δεσμού. Γράψτε τη
(διαφορική) εξίσωση κίνησης που η λύση της προσδιορίζει την κίνηση της χάνδρας και βρείτε τη λύση με τις
παραπάνω αρχικές συνθήκες.
5. Έστω μηχανικό σύστημα που αποτελείται από σωμάτιο-χάνδρα η οποία μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή σε
στερεά ευθύγραμμη λεπτή ράβδο. Η ράβδος περιστρέφεται σε επίπεδο περί το ένα άκρο της με σταθερή
γωνιακή ταχύτητα. Το σύστημα είναι εκτός πεδίου βαρύτητας. Υποθέστε ότι οι αρχικές συνθήκες είναι
t 0, r (0) r0 , r (0) 0, (0) 0 . Θεωρήστε ως γνήσιες συντεταγμένες τις πολικές συντεταγμένες r , ,
δηλαδή μην εμφυτέψετε την εξίσωση του δεσμού. Προσδιορίστε την εξίσωση του δεσμού σε διαφορική μορφή.
Βρείτε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης που η λύση τους προσδιορίζει την κίνηση της χάνδρας και βρείτε τη
λύση με τις παραπάνω αρχικές συνθήκες. Προφανώς τα r = r (t ), = (t ) πρέπει να είναι τα ίδια με αυτά που
ισχύουν για το ίδιο πρόβλημα όταν έχει εμφυτευτεί η εξίσωση του δεσμού. Βρείτε τη δύναμη που ασκεί η
περιστρεφόμενη ράβδος στο σωμάτιο, πρόκειται για δύναμη δεσμού.
6. Με Αναλυτική Μηχανική βρείτε τις εξισώσεις κίνησης για ελεύθερο σωμάτιο, L T (q, q ) , σε σφαιρικές
συντεταγμένες. Στο σωμάτιο ασκείται μια καρτεσιανή δύναμη, F , με δεδομένες φυσικές συνιστώσες κατά
μήκος των μοναδιαίων διανυσμάτων, er , e , e .
7. Δίσκος ακτίνας a και μάζας m , ομοιόμορφα κατανεμημένης, είναι δέσμιος να κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε
οριζόντιο επίπεδο. Το επίπεδο του δίσκου να θεωρηθεί κατακόρυφο. Στο κέντρο του δίσκου ασκείται γνωστή
δύναμη F , που βρίσκεται στο επίπεδο του δίσκου. Βρείτε τις εξισώσεις κίνησης του δίσκου. Δεν υπάρχει πεδίο
βαρύτητας, L T .
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 79
8. Θεωρήστε απλό εκκρεμές του οποίου το σημείο στήριξης κινείται στο επίπεδο του εκκρεμούς κατά γνωστό
τρόπο, x0 f (t ), y0 g (t ) .
Γράψτε την εξίσωση κίνησης της αναλυτικής δυναμικής με μόνη γενικευμένη (γνήσια) συντεταγμένη τη
γωνία απόκλισης του εκκρεμούς από την κατακόρυφο.
9. Θεωρήστε σωμάτιο δεμένο στο άκρο άμαζης στερεάς ράβδου η οποία μπορεί να περιστρέφεται περί το άλλο
άκρο της σε κατακόρυφο επίπεδο μέσα στο πεδίο βαρύτητας. Αυτό το άλλο άκρο της εκτελεί γνωστή
κατακόρυφη κίνηση. Γράψτε την εξίσωση κίνησης της αναλυτικής δυναμικής. Δείξτε ότι η κίνηση θα ήταν ίδια
αν το άκρο της ράβδου ήταν ακίνητο και το πεδίο βαρύτητας μεταβάλλονταν με τον χρόνο.
10. Σωμάτιο τοποθετείται (ακίνητο) στο ανώτατο σημείο ακίνητου κατακόρυφου κυκλικού βρόχου και από εκεί
με μικρή διαταραχή ξεκινά να κινείται. Υποθέστε ότι το σωμάτιο είναι χάνδρα που ο βρόχος διαπερνά και ότι
το σύστημα είναι μέσα στο πεδίο βαρύτητας. Γράψτε την εξίσωση κίνησης της αναλυτικής δυναμικής,
υπολογίστε τη δύναμη του δεσμού ως συνάρτηση της ταχύτητας και της θέσης του κινητού πάνω στον βρόχο
(όχι συναρτήσει του χρόνου. Αν υποθέσετε ότι το σωμάτιο τοποθετείται στο εξωτερικό του βρόχου, βρείτε πότε
θα ξεφύγει από τον βρόχο.
11. Θεωρήστε σύστημα πλαγιογώνιων συντεταγμένων xOy , που η γωνία μεταξύ των αξόνων x, y είναι
(σταθερή). Πάνω σε σωμάτιο ασκείται σταθερή δύναμη F η οποία αναλύεται με τον κανόνα του
παραλληλόγραμμου σε συνιστώσες Fx , Fy κατά μήκος των ανωτέρω δυο αξόνων για τους οποίους τα
μοναδιαία διανύσματα είναι ex , e y . Θεωρήστε ως γενικευμένες συντεταγμένες του σωματίου τις πλαγιογώνιες
συντεταγμένες x, y . Προσδιορίστε τις γενικευμένες συνιστώσες δύναμης Qx , Qy . Υπενθυμίζεται ότι
dW ( Fx ex Fy ey ) (dxex dyey ) και δW ( Fx ex Fy ey ) (δxex δyey ) . Βρείτε τις διαφορικές εξισώσεις
κίνησης.
12. α) Υποθέστε ότι οι γενικευμένες συνιστώσες δύναμης δεν εξαρτώνται από τις επιταχύνσεις και δείξτε ότι
οι δυναμικές συναρτήσεις που μπορεί να εξαρτώνται από τις ταχύτητες είναι της γενικής μορφής
n
U (q, q, t ) a j (q, t )q j a0 (q, t ) .
j 1
β) Βρείτε τη δύναμη Lorentz που ασκείται σε σωματίδιο μάζας m που κινείται μέσα σε γνωστό (εξωτερικό)
ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Δίνεται ότι η γενικευμένη δυναμική συνάρτηση είναι U eq eq A .
A
γ) Βρείτε την εξίσωση κίνησης για το σωματίδιο. Θυμίζουμε ότι ισχύουν E B A .
t
δ) Ως προς περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς με γωνιακή ταχύτητα (t ) , η δυναμική συνάρτηση
σωματίου είναι
1
U m r m( r ) 2 V (r )
2
Να προσδιοριστούν οι «δυνάμεις» που ασκούνται στο σωμάτιο. Να γραφτούν οι (διαφορικές) εξισώσεις
κίνησης.
13. Θεωρήστε στερεό κατακόρυφο δίσκο ο οποίος μπορεί να κινείται στο επίπεδο. Ο δίσκος χωρίζεται από μια
διάμετρό του σε δυο τμήματα. Το ένα έχει ομοιόμορφη μη μηδενική πυκνότητα και το άλλο έχει πυκνότητα
μηδέν. Ο δίσκος είναι δυνατό να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο και βρίσκεται μέσα στο
πεδίο βαρύτητας. α) Με τις μεθόδους της Αναλυτικής Δυναμικής βρείτε την εξίσωση κίνησης, με γενικευμένη
Αναλυτική Δυναμική 80
συντεταγμένη κατάλληλη γωνία με την κατακόρυφο η οποία όταν ο δίσκος βρίσκεται σε ευσταθή ισορροπία
είναι μηδέν. Βρείτε την εξίσωση κίνησης για μικρές τιμές της ανωτέρω γωνίας και τη λύση της. β) Με χρήση
της νευτώνειας θεώρησης βρείτε την εξίσωση κίνησης.
14. Θεωρήστε σωμάτιο μάζας m που κινείται σε κυκλική τροχιά περί σταθερό σημείο που είναι η αρχή των
συντεταγμένων. Η ελκτική δύναμη που ασκείται στο σωμάτιο με κατεύθυνση προς το σταθερό σημείο είναι της
dV (r )
μορφής F F (r ) mg (r ) .
dr
Βρείτε τη συνθήκη για να είναι η κυκλική τροχιά ευσταθής. Να θεωρήσετε ότι για μικρές μεταβολές του
r από την τιμή που έχει στην κυκλική τροχιά πρέπει οι μικρές μεταβολές να μεταβάλλονται αρμονικά με τον
χρόνο (ένα είδος αρμονικής ταλάντωσης).
Αυτό σημαίνει πως οι τιμές του r δεν απομακρύνονται πολύ από την τιμή της κυκλικής τροχιάς.
K
Υποθέστε ότι F (r ) . Για ποιες τιμές του είναι η κυκλική τροχιά ευσταθής;
r
Τι συμπεραίνετε για τις κυκλικές τροχιές στην περίπτωση που ισχύει ο νόμος της παγκόσμιας έλξης;
Εργαστείτε με αναλυτική δυναμική.
15. Εφαρμόστε τις εξισώσεις Euler-Lagrange για την περίπτωση που κάποιες από τις ασκούμενες (ενεργητικές)
δυνάμεις του δυναμικού συστήματος είναι κρουστικές, δηλαδή ασκούνται επί πολύ μικρό χρονικό διάστημα
αλλά είναι πολύ μεγάλες ώστε στον πολύ μικρό χρόνο που ασκούνται το ολοκλήρωμά τους ως προς τον χρόνο,
δηλαδή η γενικευμένη ώθησή τους, να είναι πεπερασμένη. Θα βρείτε μια σχέση με μεγέθη λίγο πριν το
κρουστικό φαινόμενο και λίγο μετά.
16. Έστω ότι έχετε τη λαγκρανζιανή L1 Aq 2Cqq Dqt Dq E Bq . Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης
2 2
και προσδιορίστε τη λύση q q (t ) . Θεωρήστε ότι q(0) 0, q(0) q0 .
Έστω, στη συνέχεια, η λαγκρανζιανή L2 Aq Bq . Για τις ίδιες αρχικές συνθήκες η λύση είναι η
2 2
ίδια. Γιατί;
Υποθέστε ότι τα A, B, C , D, E είναι θετικές σταθερές.
17. Υποθέστε ότι έχετε σύστημα δυο σωματίων με μάζες m1 , m2 που μπορούν να κινούνται στο επίπεδο μέσα
σε κατακόρυφο, προς τα κάτω ομογενές σταθερό πεδίο βαρύτητας g . Τα σωμάτια δεν αλληλεπιδρούν το ένα
με το άλλο. Ως γενικευμένες συντεταγμένες να ληφθούν οι καρτεσιανές συντεταγμένες, x1 , y1 , x2 , y2 των δυο
σωματίων αντιστοίχως, ως προς άξονες που ο x είναι οριζόντιος και ο y κατακόρυφος προς τα κάτω.
Ακολουθήστε τη μέθοδο των εξισώσεων του Lagrange και βρείτε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης.
Σχηματίστε την ολική μηχανική ενέργεια του κάθε ενός σωματίου και με χρήση των ανωτέρω (διαφορικών)
εξισώσεων κίνησης δείξτε ότι η κάθε μια διατηρείται ανεξάρτητα από την άλλη.
18. Δυο υλικά σημεία με μάζες m1 , m2 είναι μεταξύ τους δεμένα στα άκρα άμαζου ελατηρίου. Η μάζα (1)
είναι στερεωμένη στο ταβάνι, η (2) κρέμεται (κατακόρυφα) δεμένη στην άλλη άκρη του ελατηρίου και το
σύστημα είναι ακίνητο μέσα στο πεδίο βαρύτητας. Κάποια στιγμή η μάζα (1) απαγκιστρώνεται από το ταβάνι
και το όλο σύστημα κινείται σε κατακόρυφη ευθεία. α) Βρείτε τις εξισώσεις Lagrange με συντεταγμένες τις
κατακόρυφες καρτεσιανές συντεταγμένες ως προς το σημείο στερέωσης της μάζας (1). β) Λύστε τις εξισώσεις
κίνησης και προσδιορίστε τις κινήσεις των δυο μαζών. Στη συνέχεια, με χρήση των κινήσεων των δυο μαζών,
βρείτε την επιμήκυνση του ελατηρίου συναρτήσει του χρόνου και την κίνηση του κέντρου μάζας.
19. Υποθέτουμε ότι έχουμε άμαζη στερεά ράβδο η οποία μπορεί να κινείται σε επίπεδο και της οποίας τα άκρα
είναι δέσμια να κινούνται ενώ βρίσκονται συνεχώς πάνω σε δυο δεδομένες σταθερές γνωστές καμπύλες του
επιπέδου. Στα άκρα της ράβδου υπάρχουν σωμάτια με δεδομένες μάζες. Κάποια χρονική στιγμή ασκείται σε
ένα σημείο της κινούμενης υπό την επίδραση ασκούμενων δυνάμεων ράβδου, κάθετα σε αυτήν, πρόσθετη
κρουστική δύναμη γνωστής γενικευμένης ώθησης. Βρείτε τις μεταβολές των ταχυτήτων των δυο σωματίων
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 81
μεταξύ των χρονικών στιγμών λίγο μετά και λίγο πριν το κρουστικό φαινόμενο. Η κρουστική δύναμη ασκείται
επί πολύ μικρό χρονικό διάστημα αλλά είναι τόσο μεγάλη που η ώθησή της είναι πεπερασμένη.
20. α) Αν η λαγκρανζιανή για σύστημα με n βαθμούς ελευθερίας περιέχει τις δυο πρώτες συντεταγμένες μόνο
ως συνδυασμό της μορφής aq1 bq2 , όπου a , b σταθερές, δείξτε ότι υπάρχει μια σταθερά κίνησης και βρείτε
την.
β) Σωμάτιο κινείται στο επίπεδο υπό την επίδραση κεντρικής δύναμης με τιμή
1 r 2 2rr
F 1 .
r2 c2
Βρείτε μια γενικευμένη δυναμική συνάρτηση που οδηγεί σε αυτή τη δύναμη. Αυτή είναι η δύναμη μεταξύ
δυο κινούμενων φορτισμένων σωματίων στην ηλεκτροδυναμική του Weber.
21. Οποιοδήποτε σύστημα γενικευμένων συντεταγμένων είναι εξίσου καλό με οποιοδήποτε άλλο για την
περιγραφή της κίνησης ενός μηχανικού συστήματος. Η μετάβαση από ένα σύστημα σε άλλο γίνεται με
μετασχηματισμό σημείου, δηλαδή, qi qi(q, t ), i 1, 2,..., n . Η αρχική λαγκρανζιανή του συστήματος
εξαρτάται από τις αρχικές συντεταγμένες, L L(q, q, t ) . Η νέα λαγκρανζιανή υπολογίζεται στις νέες
συντεταγμένες, με απλή αντικατάσταση των εξισώσεων μετασχηματισμού, δηλαδή
d
L(q, q, t ) L(q, q, t ) L q (q, t ), q (q , t , t . Αυτό συμβαίνει διότι οι συντεταγμένες q, q
dt
περιγράφουν το ίδιο «φυσικό» σημείο στον χώρο των θέσεων, οπότε η λαγκρανζιανή, στο ίδιο σημείο, έχει την
ίδια τιμή και για τα δυο είδη συντεταγμένων. Η μορφή της είναι, γενικώς, διαφορετική. Είναι ευνόητο ότι
dqk n
q q
qk k qj k . Δείξτε ότι αν η L(q, t ) ικανοποιεί τις εξισώσεις Euler-Lagrange για τις λύσεις
dt j 1 qj t
qi qi (t ) , τότε και η L(q, q, t ) ικανοποιεί τις εξισώσεις Euler-Lagrange για τις λύσεις q q(t ) . Οι
τελευταίες είναι ισοδύναμες με τις προηγούμενες με την έννοια ότι είναι οι προηγούμενες μετασχηματισμένες
με τον σημειακό μετασχηματισμό, δηλαδή είναι εκφρασμένες ως προς τις νέες συντεταγμένες.
22. Θεωρήστε τη γνωστή περίπτωση του δίσκου που κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο και το
επίπεδό του είναι κατακόρυφο. Κάντε χρήση των δεσμών αυτής της περίπτωσης σε μορφή διαφορικών
εξισώσεων του Pfaff και βρείτε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης Προσδιορίστε τη λύση, δηλαδή τα
x x(t ), y y (t ), (t ), (t ) υποθέτοντας ότι η αρχικές τους τιμές είναι
x 0, y 0, 0, 0, , Ω. Προσδιορίστε τις γενικευμένες συνιστώσες δύναμης των δεσμών. Στη
συνέχεια προσδιορίστε τις καρτεσιανές (φυσικές) δυνάμεις δεσμών.
23. Θεωρήστε τη γνωστή περίπτωση του δίσκου που κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επίπεδο και το
επίπεδό του είναι κατακόρυφο. Κάντε χρήση των δεσμών αυτής της περίπτωσης σε μη γραμμική μορφή και
βρείτε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης Προσδιορίστε τη λύση, δηλαδή τα
x x(t ), y y (t ), (t ), (t ) , υποθέτοντας ότι η αρχικές τους τιμές είναι
x 0, y 0, 0, 0, , Ω.
24. Υποθέστε ότι σωμάτιο μάζας m εκτελεί μονοδιάστατη κίνηση. Η θέση του προσδιορίζεται από τη
συντεταγμένη q . Το σωμάτιο κινείται προς τα κάτω μέσα σε ομογενές πεδίο βαρύτητας και ασκείται πάνω του
b 2 b
δύναμη τριβής, q . Η εξίσωση κίνησης είναι η γνωστή, q g q 2 , όπου ο άξονας της συντεταγμένης
m m
Αναλυτική Δυναμική 82
q, είναι θετικός προς τα πάνω. Να δειχθεί ότι λαγκρανζιανή του συστήματος είναι η
2b q mg
2
L exp q .
m 2 2b
25. Για πύραυλο που κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω μέσα σε ομογενές πεδίο βαρύτητας ενώ δέχεται
δύναμη τριβής της μορφής bq , η εξίσωση κίνησης είναι
(m0 t )q (m0 t ) g bq r (t ) .
Ο άξονας για το q είναι θετικός προς τα πάνω. Έστω m m(t ) είναι η μάζα του πυραύλου τη στιγμή t
, και m0 είναι η αρχική μάζα του πυραύλου. m 0 είναι ο σταθερός ρυθμός μεταβολής αυτής της μάζας,
r (t ) είναι η ταχύτητα εκροής των αερίων της καύσης σχετικά με τον πύραυλο. Να δειχτεί ότι λαγκρανζιανή
του συστήματος είναι η
q 2 [(m0 t ) g r (t )]q
L (m0 t )b / .
2 m 0 t
26. Βρείτε τη λαγκρανζιανή για σωμάτιο που κινείται ευθύγραμμα υπό την επίδραση μιας μοναδικής δύναμης
που είναι η δύναμη τριβής, q , η οποία είναι αντίθετη της κίνησης. Η εξίσωση κίνησης είναι η q q 0 .
27. Μελετήστε τις ταλαντώσεις που εκτελούν οι σημειακές μάζες m1 m2 m , του Σχήματος Πρ. 2.27 . Η
κίνηση γίνεται πάνω στην ευθεία των ελατηρίων οι κατευθύνουσες δυνάμεις (σταθερές) των ελατηρίων είναι
k1 k , k12 , k2 k . Το μεσαίο ελατήριο είναι η αιτία που υπάρχει σύζευξη. Το πρόβλημα αυτό είναι το
πρόβλημα δυο συζευγμένων αρμονικών ταλαντωτών. Οι γενικευμένες συντεταγμένες x1 , x2 , είναι οι
μετατοπίσεις των μαζών 1,2 από τη θέση ισορροπίας του συστήματος. Προσδιορίστε την κίνηση
x1 x1 (t ), x2 x2 (t ) , όταν x1 (0) x10 , x2 (0) x20 , x1 (0) x2 (0) 0 . Προσδιορίστε τις κανονικές
συντεταγμένες. Δεν υπάρχει βαρύτητα.
Σχήμα Πρ. 2.27.
28. Μελετήστε το γνωστό διπλό εκκρεμές όπου τα δυο μήκη είναι ίσα, l , και οι δυο σημειακές μάζες είναι ίσες,
m . Η μελέτη να γίνει για μικρού πλάτους αιωρήσεις. Βρείτε τις ιδιοσυχνότητες ταλάντωσης και τις κανονικές
συντεταγμένες συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων.
29. Το πάνω άκρο ενός άμαζου ελατηρίου με σταθερά k είναι ακλόνητα στερεωμένο. Στο κάτω άκρο του είναι
δεμένη σημειακή μάζα m και επίσης ένα άλλο ίδιο ελατήριο που στο άλλο άκρο του είναι δεμένη σημειακή
μάζα 2m . Αρχικά τα ελατήρια ισορροπούν στην κατακόρυφη θέση μέσα στο πεδίο βαρύτητας, g . Βρείτε τις
κανονικές συχνότητες και τις κανονικές συντεταγμένες συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων. Το
σύστημα εκτελεί κίνηση στην κατακόρυφη διεύθυνση.
30. Μελετήστε την κίνηση του συστήματος που φαίνεται στο Σχήμα Πρ. 2.30. Αυτό είναι μοντέλο για κλασική
περιγραφή τριατομικού συμμετρικού μορίου. Υποθέστε ότι το σύστημα μπορεί να κινείται μόνο κατά μήκος
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 83
της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι σημειακές μάζες. Προσδιορίστε τις ιδιοσυχνότητες και βρείτε τις
κανονικές συντεταγμένες συναρτήσει των γενικευμένων συντεταγμένων. Θεωρήστε ως γενικευμένες
συντεταγμένες τις μετατοπίσεις των μαζών από τη θέση ισορροπίας του συστήματος. Τα δυο ελατήρια είναι
ίδια.
Σχήμα Πρ. 2.30.
31. Το Πρόβλημα 30, το οποίο αντιπροσωπεύει μοντέλο κλασικής φυσικής για τριατομικό μόριο, μπορεί να
μετατραπεί σε πρόβλημα με δυο γενικευμένες συντεταγμένες, αν υποθέσουμε ότι κατά την κίνηση του
συστήματος το κέντρο μάζας του είναι ακίνητο. Θεωρήστε ως συντεταγμένες τις y1 , y2 όπου το
y1 2 1 , y2 3 2 . 1 , 2 , 3 είναι οι συντεταγμένες των μαζών 1,2,3 αντιστοίχως. Με χρήση της
ακινησίας του κέντρου μάζας κάντε απαλοιφή του 2 .
32. Για το πρόβλημα του απλού εκκρεμούς προσδιορίστε την (διαφορική) εξίσωση κίνησης για τη γωνία
απόκλισης από την κατακόρυφο, όταν υπάρχει δύναμη τριβής που ασκείται στο σωμάτιο του εκκρεμούς η οποία
είναι της μορφής (νόμος του Stokes) F kr , k 0, k σταθερά . Να λυθεί με τη μεθοδολογία περί
δυνάμεων απωλειών. Βρείτε τη φυσιολογική λαγκρανζιανή και τη συνάρτηση Rayleigh και στη συνέχεια κάντε
χρήση της εξίσωσης Euler-Lagrange για τον προσδιορισμό της (διαφορικής) εξίσωσης κίνησης.
33. Υποθέστε ότι έχετε δυο (άμαζα) ελατήρια με σταθερές k1 , k2 και φυσικά μήκη l1 , l2 αντιστοίχως. Το
ελατήριο 1 έχει το ένα άκρο του ακλόνητα δεμένο σε ένα σημείο. Στο άλλο άκρο του είναι δεμένο υλικό σημείο
μάζας m1 . Σε αυτό το άκρο είναι δεμένο το ελατήριο 2 και στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου 2 είναι δεμένο
υλικό σημείο μάζας m2 . Το σύστημα είναι εκτός πεδίου βαρύτητας και μπορεί να κινείται πάνω σε ευθεία στην
οποία βρίσκονται και τα δυο ελατήρια. Υποθέστε ότι στο κάθε ελατήριο ασκείται δύναμη τριβής της μορφής
C1 x1 , C2 x2 (Stokes), C1 0, C2 0, C1 ,C2 σταθερές και x1 , x2 οι αντίστοιχες ταχύτητες των σωματίων.
Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία με δυνάμεις απωλειών, βρείτε τη φυσιολογική λαγκρανζιανή του συστήματος
και τη συνάρτηση απωλειών Rayleigh και στη συνέχεια από τις εξισώσεις Lagrange βρείτε τις εξισώσεις
κίνησης. Στο τέλος μετασχηματίστε σε μεταβλητές q1 , q2 οι οποίες είναι οι απομακρύνσεις των δυο μαζών
αντιστοίχως από τις θέσεις ισορροπίας τους.
34. Δείξτε ότι για την περίπτωση του μονοδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή, αν το σύστημα υποστεί
μετασχηματισμό κλίμακας όπου και ο χρόνος μετασχηματίζεται κατάλληλα κατά τα γνωστά, τότε η περίοδος
του συστήματος μένει η ίδια, χωρίς να λύσετε τις εξισώσεις κίνησης αλλά με χρήση της θεωρίας περί μηχανικής
ομοιότητας.
35. Με τη μέθοδο της μηχανικής ομοιότητας δείξτε ότι στην περίπτωση κεντρικής κίνησης τύπου Kepler, ισχύει
ο σχετικός νόμος για τις περιόδους των τροχιών και αντίστοιχων διαστάσεων των τροχιών των πλανητών.
Υπενθυμίζουμε ότι
2 3
T1 R1
.
T2 R2
Αναλυτική Δυναμική 84
36. Με τη μέθοδο της θεωρίας της μηχανικής ομοιότητας δείξτε ότι για την ελεύθερη πτώση υλικού σημείου
μέσα σε σταθερό και ομοιόμορφο πεδίο βαρύτητας ο χρόνος πτώσης είναι ανάλογος της τετραγωνικής ρίζας
του αρχικού ύψους. Υποτίθεται ότι η αρχική ταχύτητα είναι μηδέν.
37. Με τη μέθοδο της θεωρίας της μηχανικής ομοιότητας δείξτε ότι ο λόγος των χρονικών διαστημάτων, για
την ίδια διαδρομή, για σωμάτια που έχουν διαφορετικές μάζες αλλά την ίδια δυναμική ενέργεια, είναι
t m
.
t m
38. Με τη μέθοδο της θεωρίας της μηχανικής ομοιότητας δείξτε ότι ο λόγος των χρονικών διαστημάτων για
την ίδια διαδρομή σωματιδίων που έχουν την ίδια μάζα αλλά δυναμικές ενέργειες που διαφέρουν κατά σταθερό
t V
συντελεστή, είναι .
t V
39. Θεωρήστε σωμάτιο που κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο μέσα σε πεδίο βαρύτητας, οπότε έχει δυναμική
ενέργεια V gy . Η κινητική του ενέργεια είναι T
2
x y2 .
1 2
Υπάρχει η δεσμευτική σχέση y tx 0 . Να βρεθούν οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης.
40. Υποθέστε ότι έχουμε ένα κυκλικό δακτυλίδι που το επίπεδό του είναι κατακόρυφο μέσα στο πεδίο
βαρύτητας. Μια μικρή χάνδρα ορισμένης μάζας είναι δέσμια να κινείται χωρίς τριβή κατά μήκος του
δακτυλιδιού. Το δακτυλίδι περιστρέφεται περί την κατακόρυφη διάμετρό του με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.
Θεωρήστε ως (μοναδική, γνήσια) συντεταγμένη τη γωνία που σχηματίζει η ευθεία που ενώνει το κέντρο του
κύκλου με τη χάνδρα με την κατακόρυφο. Αυτή η γωνία είναι μηδέν όταν η χάνδρα είναι στο κατώτερο σημείο
του δακτυλιδιού και παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές. Προσδιορίστε τη λαγκρανζιανή για το σύστημα και
βρείτε τη (διαφορική) εξίσωση κίνησης.
41. Δείξτε ότι ο μετασχηματισμός βαθμίδας (gauge transformation)
A(r , t ) A(r , t ) (r , t )
(r , t )
(r , t ) (r , t )
t
δεν επηρεάζει τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης σωματιδίου που κινείται μέσα σε εξωτερικό
ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, αυτές μένουν αναλλοίωτες. Η βαθμωτή αυθαίρετη συνάρτηση ( r , t ) μερικές φορές
λέγεται συνάρτηση βαθμίδας.
Σημείωση: Δε χρειάζεται να βρείτε τις εξισώσεις κίνησης.
42. Το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργεί ακίνητο φορτισμένο σωμάτιο τοποθετημένο στην αρχή των
συντεταγμένων είναι τον γνωστό του νόμου του Coulomb. Το μαγνητικό του πεδίο είναι μηδέν. Βεβαιωθείτε
ότι αυτά μπορούν να υπολογιστούν αν υποθέσουμε ότι το διανυσματικό δυναμικό και το βαθμωτό δυναμικό
του φορτίου είναι αντιστοίχως
1 eq t
er , V 0 .
4π 0 r 2
Χρησιμοποιήστε τον γνωστό μετασχηματισμό βαθμίδας με βαθμωτή συνάρτηση (βαθμίδας) την
eq t
. Πρέπει να βρείτε τα πιο συνήθη για την περίπτωση διανυσματικό και βαθμωτό δυναμικό.
4π 0 r
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 85
eq
Δηλαδή τα 0, V .
4π 0 r
43. Να λυθεί το Πρόβλημα 42 με τη μέθοδο ενσωμάτωσης των δυνατών μετατοπίσεων των δεσμών. Υπόδειξη:
Βρείτε τη σχέση της Αρχής d’ Alembert και τη δεσμευτική σχέση μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων. Από τις
τελευταίες να εκφράσετε τη μια συναρτήσει της άλλης και να αντικαταστήσετε στην εξίσωση d’ Alembert.
Συνεχίστε από εκεί και πέρα.
44. Δίνεται η διάταξη του Σχήματος Πρ. 2.44. Πρόκειται για σωλήνα μικρής διατομής S ο οποίος περιέχει
ασυμπίεστο υγρό πυκνότητας «μήκους» l και το επίπεδό του είναι κατακόρυφο.
Στο πάνω άκρο του υγρού στο σκέλος 1 του σωλήνα τοποθετείται σώμα μάζας M το οποίο να θεωρηθεί
ως έμβολο το οποίο συνεχώς θα είναι σε επαφή με το υγρό στην επιφάνεια του υγρού ακόμη και όταν το υγρό
κινείται, υπάρχει στεγανότητα. Η κατακόρυφη διάσταση του εμβόλου (το ύψος του) είναι a . Η βαρύτητα είναι
g , δεν υπάρχουν κανενός είδους τριβές. Θεωρήστε ότι η (γενικευμένη) συντεταγμένη για την περιγραφή της
κίνησης είναι η συντεταγμένη της επιφάνειας του υγρού στο σκέλος 2 του σωλήνα, z . Βρείτε τη λαγκρανζιανή
του συστήματος υγρού - μάζας M . Θεωρήστε ως στάθμη μηδενικής δυναμικής ενέργειας τη στάθμη με z 0
και τον άξονα z θετικό προς τα πάνω (βλέπε σχήμα). Αν το σύστημα υγρού-σώματος μάζας M απομακρυνθεί
από την ισορροπία και στη συνέχεια αφεθεί ελεύθερο θα κινείται. Από την εξίσωση Lagrange βρείτε την
(διαφορική) εξίσωση κίνησης και τη λύση της. Θεωρήστε ότι η απομάκρυνση το z z0 τη στιγμή t 0 και
ότι αυτή τη στιγμή η ταχύτητα, z του συστήματος είναι μηδέν. Βρείτε την πίεση που ασκείται στο σώμα M
από το υγρό κατά την ταλάντωση του συστήματος. Γιατί δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για αυτόν τον
υπολογισμό την Αρχή του Πασκάλ;
Σχήμα Πρ. 2.44.
45. Θεωρήστε απλό εκκρεμές το οποίο κινείται σε δεδομένο κατακόρυφο επίπεδο. Η μάζα του σωματίου που
κρέμεται, στο ελεύθερο άκρο του είναι m2 . Στο άλλο άκρο του υπάρχει σωμάτιο με μάζα m1 . Το άνω άκρο
είναι δέσμιο έτσι που μπορεί να κινείται οριζόντια, κατά μήκος του άξονα y , χωρίς τριβή. Ο κατακόρυφος
άξονας είναι ο z , θετικός προς τα κάτω. Το μήκος του εκκρεμούς είναι l και η βαρύτητα g . Θεωρήστε ως
γνήσιες γενικευμένες συντεταγμένες, τη συντεταγμένη y του άνω άκρου και τη γνωστή απόκλιση του
εκκρεμούς από την κατακόρυφο, . Προσδιορίστε τη λαγκρανζιανή του συστήματος.
46. Μελετήστε την περίπτωση ομογενούς δίσκου (κυλίνδρου) ακτίνας R που κυλίεται σε κεκλιμένο επίπεδο
χωρίς να ολισθαίνει. Η μάζα του είναι m και η ένταση της βαρύτητας g . Το κεκλιμένο επίπεδο σχηματίζει
γωνία με το οριζόντιο επίπεδο. Θεωρήστε ως συντεταγμένες τη θέση, x , πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο και
τη γωνία, , περιστροφής του δίσκου περί άξονα κάθετο στο επίπεδό του. α) Λύστε το πρόβλημα αφού
ενσωματώσετε τον δεσμό που δεν επιτρέπει την ολίσθηση. β) Στη συνέχεια βρείτε τη λύση με τη μέθοδο της
τροποποίησης της λαγκρανζιανής αφού ο δεσμός είναι ολόνομος, γνωστός στην ολοκληρωμένη μορφή του. γ)
Αναλυτική Δυναμική 86
Εκφράστε τον δεσμό σε μορφή γραμμική ως προς τις πρώτες παραγώγους (ταχύτητες) και εφαρμόστε και πάλι
τη μέθοδο μετατροπής της λαγκρανζιανής με τη μέθοδο του πολλαπλασιασμού. Πότε μπορείτε και το κάνετε
αυτό; Στη συνέχεια, με χρήση των λύσεων (είναι ίδιες για όλες τις περιπτώσεις), βρείτε τις δυνάμεις των
δεσμών. Δεν είναι ανάγκη να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο με πολλαπλασιαστές Lagrange.
47. Με τη μέθοδο της Αναλυτικής Μηχανικής βρείτε τη δύναμη (δεσμού) που ασκείται σε άμαζο ελατήριο στο
ακλόνητο άκρο του. Στο άλλο άκρο του είναι στερεωμένη σημειακή μάζα m . Η σταθερά του ελατηρίου είναι
k και το φυσικό του μήκος l . Το ελατήριο εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση στη διεύθυνση του. Δεν υπάρχουν
άλλες δυνάμεις. Υπολογίστε την ίδια δύναμη με τη μέθοδο της νευτώνειας θεώρησης.
48. Δείξτε ότι οι λαγκρανζιανές L1 x 2 y 2 z 2 2 xx 2 yy 2 zz και
L2 x y z xy xy xz xz yz yz οδηγούν στις ίδιες (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης.
2 2 2
Δικαιολογήστε γιατί ισχύει αυτό.
49. Θεωρήστε τη διάταξη του Σχήματος Πρ. 2.49. Δεν υπάρχουν τριβές, το νήμα είναι άμαζο και εύκαμπτο και
διέρχεται μέσα από πολύ μικρή τροχαλία στο σημείο Ο του οριζόντιου επιπέδου. Το μήκος του είναι l . Στα
άκρα του νήματος είναι δεμένα δυο υλικά σημεία ίδιας μάζας m . Το ένα υλικό σημείο μπορεί να κινείται πάνω
στο οριζόντιο επίπεδο, το άλλο πάνω στην κατακόρυφο. Το ένα υλικό σημείο έχει συντεταγμένες τις (r , ) και
το άλλο την z . Επειδή ο άξονας z είναι θετικός προς τα πάνω, το z 0 . Για τον προσδιορισμό της θέσης
του συστήματος είναι αρκετές δυο (γνήσιες) συντεταγμένες, διαλέξτε ως τέτοιες τις r , . Από αυτές μπορείτε
να βρείτε κάθε στιγμή την z . Πως θα την βρείτε; Βρείτε την κινητική ενέργεια και την δυναμική ενέργεια του
συστήματος. Να βρεθούν οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης του συστήματος με χρήση της μεθόδου Lagrange.
Δείξτε ότι η στροφορμή περί το Ο διατηρείται. Βρείτε την κυκλική συχνότητα 1 όταν το σωμάτιο στο επίπεδο
εκτελεί κυκλική κίνηση περί το Ο.
Σχήμα Πρ. 2.49.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 87
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 2
[1] H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, Addison-Wesley, 2001.
[2] Π. Ιωάννου και Θ. Αποστολάτος, Στοιχεία Θεωρητικής Μηχανικής, Β’ Έκδοση, Πανεπιστήμιο
Αθηνών, 2007.
[3] Γ. Κατσιάρης, Μαθήματα Αναλυτικής Μηχανικής, ΟΑΔΒ, 1988.
[4] E. A. Desloge, Classical Mechanics, Vol. 1, 2, John Wiley, 1982.
[5] Α. Μαυραγάνης, Αναλυτική Μηχανική, ΕΜΠ, 1998.
[6] J. V. Jose and Eu. J. Saletan, Classical Dynamics, Cambridge Univ. Press, 1998.
[7] R. M. Rosenberg, Analytical Dynamics of Discrete Systems, Plenum Press, 1977.
[8] M. R. Flannery, The Enigma of Nonholonomic Constraints, American Journal of Physics, Vol. 73,
pp. 265, 2005.
[9] Y. H. Chen, Pars’s Acceleration Paradox, J. Franklin Inst., Vol. 335B, No. 5., pp. 871- 875, 1998.
[10] L. A. Pars, A treatise on Analytical Dynamics, Heinemann,1968.
[11] C.C. Yan, Construction of Lagrangians and Hamiltonians from the equation of motion, American
Journal of Physics, Vol. 46, pp. 671, 1978.
[12] C. Leubnert and P. Krumm, Lagrangians for simple systems with variable mass, Eur. J. Phys., Vol.
11, pp. 31, 1990.
[13] A. Mizel, Nonuniqueness of the Lagrangian Function, report Univ. of Cal. Berkeley, May 20, 1995.
[14] R. G. Santilli, Foundations of Theoretical Mechanics I: The Inverse Problem in Newtonian
Mechanics, Springer-Verlag, 1978.
[15] A. P. Balachandran, T. R. Govindarajan and B. Vijayalakshmi, Particles of half-integral or integral
helicity by quantization of a nonrelativistic free particle, and relevant topics, Phys. Rev. D. 18 (1950),
1978.
[16] S. Hojman and H. Harleston, Equivalent Lagrangians: Multidimensional Case, J. Math. Phys., Vol.
22, pp. 1414-1419, 1981.
[17] E. J. Saletan and A. H. Cromer, Theoretical Mechanics, John Willey, 1971.
[18] G. Marmo, E.J. Saletan, Ambiguities in the Lagrangian and Hamiltonian Formalism: Transformation
Properties, Nuovo Cimento, D. 40B, pp. 67, 1977.
[19] J. F. Carinena, A. Ibort, G. Marmo, G. Morandi, Geometry from Dynamics, Classical and Quantum,
Springer, 2015.
[20] H. von Helmholtz, Über die Physikalische Bedeutung des Princips der Kleinsten Wirkung, Z. Reine
Angew. Math., Vol. 100, pp. 137, 1887.
[21] G. Darboux, Lecons sur la theorie generale des surfaces et des applications geometriques du calcul
infinitesimal, IIIeme partie, Paris, Gauthiers-Villars, 1894.
[22] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley and Sons Inc., 1998.
[23] W.K.H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, Addison-Wesley, 1962.
[24] A.O. Barut, Electrodynamics of Classical Theory of Fields and Particles, Macmillan, 1964.
Αναλυτική Δυναμική 88
Κεφάλαιο 3: Αρχή του Hamilton. Στοιχεία θεωρίας μεταβολών
Η θεωρία μεταβολών είναι μια μαθηματική θεωρία που λέγεται και Λογισμός των Μεταβολών ή σωστότερα,
Λογισμός Παραλλαγών ( Calculus of Variations). Σχετίζεται με τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων.
Προβλήματα που μπορούν να λυθούν με θεωρία μεταβολών υπάρχουν στις εργασίες των Αρχαίων Ελλήνων,
π.χ. η Αρχή του Ήρωνος για το φως, το πρόβλημα της Διδώς (Διδούς) κ.α. Η θεωρία μεταβολών, στη μορφή
που χρησιμοποιείται στη Μηχανική, σχετίζεται με την εύρεση της πραγματικής διαδρομής η οποία
χαρακτηρίζεται από το ότι κατά μήκος της, κάποιο ολοκλήρωμα έχει στάσιμη τιμή. Η σύγκριση γίνεται με πολύ
γειτονικές διαδρομές ως προς την ζητούμενη, δηλαδή την πραγματική. Οι μεταβολές του ολοκληρώματος είναι
μηδέν σε προσέγγιση διαφορικών πρώτης τάξης. Σημειώνουμε ότι για να λύνεται το πρόβλημα πρέπει να
υπάρχει οικογένεια αποδεκτών τροχιών που να διαφέρουν λίγο μεταξύ τους και σε αυτές να περιλαμβάνεται η
ζητούμενη πραγματική τροχιά. Οι αποδεκτές τροχιές συνήθως χαρακτηρίζονται από συνέχεια, από κατά
διαστήματα παραγωγισιμότητα και συνεχείς παραγώγους μέχρι την τάξη που χρειάζεται το συγκεκριμένο
πρόβλημα. Θα θεωρούμε, χωρίς να το αναφέρουμε κάθε φορά, ότι ισχύουν οι απαραίτητες μαθηματικές
προϋποθέσεις. Αυτό συνήθως καλύπτεται με την έκφραση: Οι συναρτήσεις είναι «καλά» συμπεριφερόμενες.
Μπορεί να υπάρχουν και δεσμευτικές σχέσεις που πρέπει να ληφθούν υπόψη. Η συνθήκη της στασιμότητας
του ολοκληρώματος δεν μας λέει αν το ολοκλήρωμα θα έχει μέγιστη τιμή ή ελάχιστη ή πρόκειται για σημείο
καμπής. Η στασιμότητα είναι το ανάλογο που συμβαίνει στη συνήθη θεωρία με συναρτήσεις, απλώς εδώ το
πρόβλημα είναι πιο πολύπλοκο. Δεν θα ασχοληθούμε συστηματικά με το θέμα του είδους της στασιμότητας.
Αυτό μπορεί να μελετηθεί λαμβάνοντας τη δεύτερη μεταβολή (second variation), που είναι κάτι ανάλογο με
τον αντίστοιχο έλεγχο στη συνήθη θεωρία με συναρτήσεις, όπου λαμβάνονται υπόψη οι δεύτερες παράγωγοι.
Όπως θα δούμε, μπορούμε να αναφερόμαστε και σε προβλήματα Μηχανικής που σχετίζονται με
ολοκληρώματα, χωρίς να εμπίπτουν στην θεωρία μεταβολών. Η χρησιμοποίηση στην Κλασική Δυναμική
αρχών που σχετίζονται με ολοκληρω(μα)τικές σχέσεις, συνήθως οδηγούν στις (διαφορικές) εξισώσεις Euler-
Lagrange. Η λύση όμως τέτοιων προβλημάτων μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, χωρίς κατ’ ανάγκη τη
χρήση των εξισώσεων Euler-Langrange. Υπάρχουν διάφοροι τέτοιοι τρόποι που αναφέρονται ως απευθείας
(direct) μέθοδοι. Δηλαδή, μπορεί να γίνει χρήση ακόμη και αριθμητικών μεθόδων για να βρεθούν οι λύσεις
(«τροχιές») που δίνουν την πραγματική χρονική εξέλιξη του συστήματος, για τις οποίες λύσεις, τα
ολοκληρώματα γίνονται στάσιμα. Γενικώς, στη θεωρία μεταβολών, αν δεν ισχύουν παντού κατάλληλες
συνθήκες συνέχειας, παραγωγισιμότητας κ.λπ., δεν είναι δυνατόν να βρεθούν για όλο το διάστημα ορισμού του
προβλήματος εξισώσεις Euler-Lagrange, μπορεί όμως τέτοιες εξισώσεις να ισχύουν κατά διαστήματα. Σε
διάφορα προβλήματα όπως τα παραπάνω με ολοκληρώματα, μπορεί να υπάρχουν και διάφορες παράμετροι που
δεν «φεύγουν» με την ολοκλήρωση ή ακόμη μπορεί να υπάρχουν όροι που προστίθενται στο ολοκλήρωμα, γι’
αυτό όταν σχηματίζουμε την παραλλαγή (μεταβολή) πρέπει να ληφθούν όλα αυτά υπόψη. Γενικώς, πολλά
προβλήματα της Φυσικής όπως της δυναμικής διακριτών συστημάτων, της Θεωρίας Πεδίων, της Γενικής
Θεωρίας της Σχετικότητας, της Υδροδυναμικής, του Ηλεκτρομαγνητισμού κ.λπ., μπορούν να αντιμετωπιστούν
με παρόμοιες μεθόδους όπου εισέρχονται ολοκληρώματα. Τέτοια προβλήματα αφορούν σε συστήματα που
εξελίσσονται στον χρόνο, δηλαδή είναι δυναμικά συστήματα.
3.1 Αρχή του Hamilton
Θα ξεκινήσουμε τη μελέτη μας με την Αρχή (του) Hamilton και αργότερα θα δούμε πότε αυτή είναι αρχή
μεταβολών. Ας ξεκινήσουμε από τις Εξ. (2.11). Καταλαβαίνουμε ότι η αρχή του d’ Alembert αναφέρεται σε
κάποια απειροστή ποσότητα η οποία είναι το ολικό δυνατό έργο των αδρανειακών και ασκούμενων δυνάμεων
για κάποιο μηχανικό σύστημα. Αυτή η αρχή λέει ότι αυτή η ποσότητα είναι μηδέν.
Στη συνέχεια θα βρούμε την αρχή του Hamilton ξεκινώντας από την αρχή του d’ Alembert. Ξεκινούμε
από την έκφρασή της με την κινητική ενέργεια, όπως φαίνεται στην Εξ. (2.49), δηλαδή από τη σχέση
n
d T T
δq Q =0 .
(3.1)
1
dt q
q
Ολοκληρώνουμε την Εξ. (3.1) μεταξύ δυο δεδομένων χρονικών στιγμών t1 , t2 οι οποίες είναι αυθαίρετες,
οπότε βρίσκουμε
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 89
t2 n
d T T
dt q q
Q δq dt =0 .
(3.2)
t1 1
Στη συνέχεια απαιτούμε οι θέσεις q (t1 ), q (t2 ) να είναι καθορισμένες, ίδιες για όλες τις μεταξύ τους
τροχιές. Αυτό θα πει ότι οι παρακάτω δυνατές μετατοπίσεις είναι μηδέν, δηλαδή
δq (t1 )=δq (t2 )=0, 1, 2,..., n . (3.3)
Ολοκληρώνουμε παραγοντικά τον πρώτο όρο της Εξ. (3.2) οπότε εφόσον ισχύουν για τα άκρα της
d
ολοκλήρωσης οι Εξ. (3.3) και επίσης αφού δq δq , βρίσκουμε
dt
t2
d T T d T
t2 2 t
t dt q δ
q dt
t1
q dt
(δq )dt
q
δq
t1
1
(3.4)
T
t2
δq dt .
t1
q
Αντικαθιστώντας την Εξ. (3.4) στην Εξ. (3.2) βρίσκουμε
t2 n
T T
q δq j
q j
δq j Q j δq j dt =0 .
(3.5)
t1 j 1 j
Όμως ισχύουν
n
δW Q j δq j
j 1
(3.6)
T n
T
δT δq j δq j
j 1 q j q j
Επομένως από τις Εξ. (3.5) και (3.6) καταλήγουμε στις παρακάτω σχέσεις
t2
δT δW dt 0
t1
. (3.7)
Η αρχή που εκφράζεται με τις Εξ. (3.7) προέκυψε από την αρχή του d’ Alembert, επομένως οι δυνατές
μετατοπίσεις πρέπει να είναι τέτοιες που το ολικό δυνατό έργο των δυνάμεων του κάθε ενός δεσμού να είναι
μηδέν. Σημειώνουμε επίσης ότι το δW δεν είναι πάντα δυνατή μεταβολή κάποιας συνάρτησης αλλά το
στοιχειώδες έργο των ασκούμενων δυνάμεων κατά τη στοιχειώδη δυνατή μετατόπιση από την πραγματική
τροχιά. Θα μπορούσε να δηλώνεται ως δW . Το Σχ. 3.1 αναφέρεται στην περίπτωση με μια γενικευμένη
συντεταγμένη. Είναι ευνόητο ότι το δT είναι πάντα δυνατή μεταβολή της συνάρτησης της κινητικής ενέργειας
T του συστήματος. Η πραγματική τροχιά είναι η c και μια απειροστά γειτονική της είναι η c .
Αναλυτική Δυναμική 90
Σχήμα 3.1 Η γενική Αρχή του Χάμιλτον σε μια διάσταση.
Το ολοκλήρωμα ως προς t είναι το όριο του αθροίσματος (δTi δWi )Δti κατά μήκος της πραγματικής
τροχιάς όπου οι μεταβολές τύπου δ- είναι μεταξύ σημείων με ίδιο t που βρίσκονται σε οποιαδήποτε απειροστά
γειτονική τροχιά σε σχέση με την πραγματική. Κάθε τροχιά περνά από τις δυο ακραίες δεδομένες θέσεις
q(t1 ), q(t2 ) κατά τις δυο δεδομένες χρονικές στιγμές t1 , t2 . Το ολοκλήρωμα είναι μηδέν όπως δηλώνει η Εξ.
(3.7). Όπως θα δούμε παρακάτω, εδώ δεν έχουμε ένα πρόβλημα θεωρίας μεταβολών, απλώς καταλήξαμε σε
μια ολοκληρω(μα)τική αρχή της Μηχανικής. Η Εξ. (3.7) είναι μια γενική έκφραση που αναφέρεται ως Αρχή
του Hamilton. Αν όλες οι δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα είναι μονογενείς (δηλαδή προκύπτουν από
δυναμική συνάρτηση) τότε υπάρχει λαγκρανζιανή που μπορεί να το περιγράψει. Γενικώς σε αυτή την
περίπτωση έχουμε,
U U ( q, q, t )
n
n
d U U (3.8)
δW Q j δq j δq j
j 1 dt q j
j 1
q j
Επομένως ισχύουν οι σχέσεις
d U d U U
δqi δqi δqi
dt qi dt qi qi
t2 t2 n
d U U
t δWd t t
d t q
q j
δq j dt
1 1
j 1 j
t2 (3.9)
n U t2 n
U U
δq j δq j δq j dt
j 1 q j
t1 t1 j 1 q j q j
t2
0 δUdt .
t1
Με χρήση και της Εξ. (3.7) βρίσκουμε
t2 t2
δT δW dt δ T U dt 0
t1 t1
t2 t2
(3.10)
δLdt δ Ldt 0
t1 t1
.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 91
Το δ μπορεί να βγει έξω από το ολοκλήρωμα διότι η έκφραση δL δ T U είναι δυνατή μεταβολή
κάποιας συνάρτησης, δηλαδή είναι διαφορικό της L με t =σταθερό. Επομένως υπάρχει συνάρτηση που μπορεί
να ολοκληρωθεί κατά μήκος τροχιάς που περνά από τα δυο ακραία δεδομένα σημεία. Έτσι έχουμε την αρχή
του Hamilton στη μορφή
t2
δ L(q, q, t )dt 0. (3.11)
t1
Αυτή η μορφή της αρχής του Hamilton λέει ότι η κίνηση ενός συστήματος με λαγκρανζιανή L , από μια
αυθαίρετη δεδομένη στιγμή t1 μέχρι μια αυθαίρετη δεδομένη στιγμή t 2 , είναι τέτοια που για το επικαμπύλιο
ολοκλήρωμα I (που λέγεται δράση ή ολοκλήρωμα δράσης) ισχύουν
t2
L(q, q, t )dt
t1
(3.12)
δI 0 .
Το Σχ.3.2 απεικονίζει την κατάσταση. Η c είναι η πραγματική τροχιά και η c είναι η απειροστά
γειτονική της.
Σχήμα 3.2 Η Αρχή του Χάμιλτον ως αρχή μεταβολών σε μια διάσταση.
Η αρχή Hamilton στην ειδική μορφή των σχέσεων (3.12), η οποία ισχύει στην περίπτωση μονογενών
δυνάμεων (το αντίστοιχο σύστημα λέγεται μονογενικό), είναι αρχή μεταβολών.
Καταλήξαμε στην αρχή του Hamilton ξεκινώντας από την αρχή d’ Alembert, όμως η αρχή του Hamilton
μπορεί να θεωρηθεί και ως βασική Αρχή της δυναμικής και μπορεί κάποιος να ξεκινήσει από αυτήν για τη
θεμελίωση της Δυναμικής. Αν μερικές από τις δυνάμεις δεν προκύπτουν από δυναμική συνάρτηση τότε θα
έχουμε αντί της σχέσης
t2
δLdt 0
t1
την Εξ. (3.13)
t2 n
t
δL
k 1
Qk δqk dt 0
. (3.13)
1
Αναλυτική Δυναμική 92
Αυτή είναι η πιο γενική μορφή της Αρχής Hamilton που δεν είναι αρχή μεταβολών. Εξυπακούεται ότι σε
όλες τις περιπτώσεις μπορεί να υπάρχουν και δεσμευτικές σχέσεις.
3.2 Πιθανές τροχιές
Οι τροχιές οι οποίες αποτελούνται από σημεία που αντιστοιχούν σε πιθανές καταστάσεις λέγονται πιθανές
τροχιές. Επομένως συμπεραίνουμε ότι, όταν διαγράφεται η πιθανή τροχιά πληρούνται, αν υπάρχουν, οι
αντίστοιχες σχέσεις δεσμών. Είναι ευνόητο ότι η πραγματική τροχιά είναι και πιθανή τροχιά. Επίσης, κάθε
πιθανή τροχιά μπορεί να γίνει πραγματική τροχιά με την εφαρμογή κατάλληλων ασκούμενων δυνάμεων. Στην
περίπτωση που δεν έχουμε δεσμούς (αν υπάρχουν ολόνομοι δεσμοί, έχουν εμφυτευτεί με την εισαγωγή των
γενικευμένων συντεταγμένων) κάθε τροχιά είναι πιθανή τροχιά. Μια σημαντική απαίτηση που βάλαμε στα
προηγούμενα είναι ότι όλες οι τροχιές, η πραγματική και οι γειτονικές, πρέπει να περνούν από τα ίδια σημεία
σε δυο δεδομένες χρονικές στιγμές. Αν οι δεσμοί είναι ολόνομοι οι δυνατές μετατοπίσεις από πιθανή κατάσταση
πάντοτε οδηγούν σε πιθανή κατάσταση, αν δεν είναι ολόνομοι αυτό δεν ισχύει.
Οι δυνατές μετατοπίσεις στην αναλυτική δυναμική είναι τέτοιες που το δυνατό έργο των δυνάμεων των
δεσμών να είναι μηδέν.
3.3 Εξισώσεις Lagrange από την Αρχή Hamilton για διακριτά συστήματα
Στα προηγούμενα βρήκαμε την αρχή του Hamilton ξεκινώντας από την Αρχή του d’ Alembert. Tώρα θα
θεωρήσουμε ως βάση την αρχή του Hamilton και θα καταλήξουμε στις εξισώσεις Lagrange.
Στο Παράρτημα Π6 αναπτύσσεται η περίπτωση θεωρίας μεταβολών για χώρο με πολλές διαστάσεις,
όπου οι εξαρτημένες, προς προσδιορισμό μεταβλητές, εξαρτώνται από πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές. Στο
Παράρτημα αυτό δεν μελετούμε τι γίνεται αν υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις. Η θεώρηση του Παραρτήματος
Π6 είναι χρήσιμη στην Κλασική Θεωρία Πεδίων. Η περίπτωση των διακριτών συστημάτων της Δυναμικής,
αναφέρεται σε μια διάσταση, δηλαδή υπάρχει μια ανεξάρτητη μεταβλητή που είναι ο χρόνος και οι εξαρτημένες
από τον χρόνο μεταβλητές που θέλουμε να προσδιορίσουμε (για τον καθορισμό της κίνησης του συστήματος)
είναι οι γενικευμένες συντεταγμένες. Θα εξετάσουμε την περίπτωση των διακριτών συστημάτων αυτοτελώς,
διότι θέλουμε να μελετήσουμε και την περίπτωση που υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις. Θα αναφερθούμε στην
περίπτωση που οι πραγματικές (δηλαδή οι ασκούμενες) δυνάμεις είναι όλες μονογενείς και έχουν ενσωματωθεί
οπότε περιγράφονται με μια λαγκρανζιανή. Σε αυτή την περίπτωση η Αρχή του Hamilton είναι αρχή
μεταβολών. Αν αυτό δεν ισχύει, τότε πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την Αρχή Hamilton στη μορφή (3.13) ή
(3.7). Σε αυτή την περίπτωση μπορούμε να κάνουμε ανάλογη διαδικασία με αυτήν που ακολουθεί και πάλι θα
καταλήξουμε σε εξισώσεις Lagrange. Σύμφωνα με την Αρχή Hamilton, η τιμή της δράσης (η οποία λέγεται και
ολοκλήρωμα δράσης) πρέπει να είναι στάσιμη. Αυτό σημαίνει ότι ισχύει
t2 t2
δ L(q, q, t )dt δL(q, q, t )dt 0 . (3.14)
t1 t1
Θεωρούμε επίσης, ότι στο σύνορο της ολοκλήρωσης ισχύουν οι σχέσεις δqi (t1 ) δqi (t2 ) 0 .
Για τη δυνατή μεταβολή (variation) της λαγκρανζιανής έχουμε
n
L n
L
δL(q, q, t ) δqi δqi . (3.15)
i 1 qi i 1 qi
Από τα προηγούμενα έχουμε
d(δqi )
δqi . (3.16)
dt
Κάνουμε παραγοντική ολοκλήρωση. Ισχύουν οι σχέσεις
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 93
d L d L L d(δqi ) d L L
δqi δqi δqi δqi
dt qi d dLt qi qdi dtL L dd(δ t qi qi
qi ) d L L
άρα δqi δqi δqi δqi
dt qi dt qi qi dt dt qi qi
άρα L d L d L
δqi άρα δqi -δqi .
qi dt qi
d L i
d t q
L d L
δqi δqi -δqi . (3.17)
qi dt qi dt qi
Από τις (3.14), (3.15), (3.17) βρίσκουμε
t2
n d L d L L
t i1 dt qi dt qi qi dt 0 .
δqi -δqi δqi (3.18)
1
Το ολοκλήρωμα του πρώτου αθροίσματος περιλαμβάνει ολικό διαφορικό ως προς τον χρόνο οπότε
γίνεται.
t2
L
n
n L n L
t
d
i 1 qi
δqi
i 1 qi
δqi 2
(t )
i 1 qi
δqi (t1 ) .
(3.19)
1
Αυτοί οι συνοριακοί όροι είναι μηδέν διότι έχουμε τις συνοριακές συνθήκες
δqi (t1 ) δqi (t2 ) 0 .
Έτσι καταλήγουμε στη σχέση
t2
n d L L
t i1 dt qi qi dt 0 .
δqi (3.20)
1
Όπως φαίνεται από τις σχέσεις για τους συνοριακούς όρους, αυτοί σχετίζονται με την άμεση εξάρτηση
της λαγκρανζιανής από τις ταχύτητες. Αν δεν υπάρχει τέτοια εξάρτηση, τότε δεν εμφανίζονται τέτοιοι όροι. Αν
λείπουν μερικές ταχύτητες τότε δεν εμφανίζονται οι αντίστοιχοι συνοριακοί όροι.
Αυτά σημαίνουν ότι για μη υπάρχουσες ταχύτητες δε χρειάζεται να γραφτούν σχέσεις μηδενισμού των
αντίστοιχων δυνατών μετατοπίσεων στα άκρα. Αν δεν υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις τότε τα δqi (t ) είναι
ανεξάρτητα μεταξύ τους, έτσι μπορούμε να ακολουθήσουμε την καθιερωμένη διαδικασία, δηλαδή να
θεωρήσουμε ότι μόνο ένα είναι μη μηδενικό και όλα τα άλλα είναι μηδέν. Με αυτό τον τρόπο καταλήγουμε
στο ότι ο κάθε όρος του αθροίσματος είναι μηδέν, δηλαδή
t2
d L L
t δqi dt qi qi dt 0 . (3.21)
1
Επειδή το κάθε δqi (t ) είναι αυθαίρετη συνάρτηση του χρόνου, εκτός από τα σημεία t1 , t2 όπου είναι
μηδέν, μπορεί να επιλεγεί έτσι που να είναι παντού μηδέν εκτός από μια αρκούντως μικρή περιοχή γύρω από
τη χρονική στιγμή t όπου για λόγους συνέχειας δεν αλλάζει το πρόσημο της παράστασης μέσα στην παρένθεση
που πολλαπλασιάζει το δqi (t ) . Το δqi (t ) διαλέγεται να είναι μηδέν έξω από αυτή την περιοχή ενώ μέσα στην
περιοχή το δqi (t ) 0 και διαλέγεται έτσι που να έχει το ίδιο πρόσημο με την ανωτέρω παρένθεση. Αυτό
σημαίνει ότι η υπό ολοκλήρωση παράσταση είναι θετική ενώ το ολοκλήρωμά της είναι μηδέν, αυτό είναι άτοπο,
Αναλυτική Δυναμική 94
επομένως η παράσταση της παρένθεσης είναι μηδέν. Αυτό λέγεται θεμελιώδες λήμμα του λογισμού μεταβολών
το οποίο ισχύει για συνεχείς υπό ολοκλήρωση εκφράσεις. Έτσι τελικώς βρίσκουμε τις εξισώσεις Euler-
Lagrange,
d L L
0 i 1, 2,..., n . (3.22)
dt qi qi
Αξίζει να τονίσουμε το παρακάτω που συνήθως δεν αναφέρεται αλλά εννοείται σιωπηλά. Κατά τα
μεθοδολογία της αρχής Hamilton, η αρχική και η τελική θέση του συστήματος είναι δεδομένες (γνωστές).
Λύνουμε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης του συγκεκριμένου συστήματος, οι οποίες προκύπτουν από τις
εξισώσεις Lagrange. Οι λύσεις εξαρτώνται από 2n σταθερές. Κανονικά πρέπει να τις προσδιορίσουμε από τις
δεδομένες τιμές των συντεταγμένων κατά την αρχική και τελική στιγμή. Όμως στην πράξη αγνοούμε αυτή τη
διαδικασία και προσδιορίζουμε τις σταθερές, για παράδειγμα, από την αρχική θέση στον θεσικό χώρο και από
τις αρχικές ταχύτητες. Είναι εύκολο να κατανοήσει κάποιος γιατί μπορούμε και ακολουθούμε αυτή την μη
ορθόδοξη διαδικασία. Πράγματι, έχοντας τη γενική λύση με τις σταθερές, μπορούμε να τις προσδιορίσουμε
από την αρχική και την τελική θέση, που είναι και το τυπικά σωστό. Προφανώς από τη λύση αυτή μπορούμε
να προσδιορίσουμε και τις αρχικές ταχύτητες. Μπορούμε στη συνέχεια να πάμε αντίστροφα, δηλαδή να
θεωρήσουμε και πάλι τη λύση της διαφορικής εξίσωσης που προκύπτει από τις εξισώσεις Lagrange, με τις 2n
σταθερές της, και να προσδιορίσουμε τις σταθερές με δεδομένα την αρχική θέση και τις υπολογισμένες
προηγουμένως αρχικές ταχύτητες. Θα βρούμε την ίδια λύση με πριν και η τελική θέση θα είναι ίδια με πριν.
Ακόμη αξίζει να σημειώσουμε ότι πολλές φορές είναι δυνατόν το πρόβλημα και η λύση να μην
περιορίζονται στο χρονικό διάστημα (t1 , t2 ) , αλλά να ισχύουν και έξω από αυτό. Αυτό δεν είναι περίεργο αφού
οι ανωτέρω χρονικές στιγμές είναι αυθαίρετες.
Έστω ότι έχουμε δεσμούς στη μορφή διαφορικών εξισώσεων γραμμικών ως προς τις ταχύτητες ή σε
μορφή Pfaff. Aυτό σημαίνει ότι οι δεσμοί είναι της μορφής των Εξ. (3.23)
n
A
k 1
lk (q, t )qk Al (q, t ) 0, l 1, 2,..., M
n (3.23)
ή Alk (q, t )dqk Al (q, t )dt 0,
k 1
l 1, 2,..., M .
Τώρα τα δqi δεν είναι ανεξάρτητα. Θα χρησιμοποιήσουμε ξανά τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών του
Lagrange όπως κάναμε στα προηγούμενα, με τη διαφορά ότι εδώ έχουμε και ολοκληρώματα. Οι δυνατές
μετατοπίσεις, που σχετίζονται με το γεγονός ότι το δυνατό έργο των δυνάμεων των δεσμών είναι μηδέν,
προκύπτουν από τις ανωτέρω διαφορικές εξισώσεις των δεσμών. Συγκεκριμένα, από τις δεύτερες των Εξ.
(3.23), μορφή Pfaff, θέτοντας dt 0 καταλήγουμε στις (3.24).
n
A
k 1
lk (q, t )δqk 0, l 1, 2,..., M . (3.24)
Αυτές είναι οι πρόσθετες (δεσμευτικές) σχέσεις μεταξύ των δq . Πολλαπλασιάζουμε την κάθε μια από
αυτές επί μια άγνωστη συνάρτηση του χρόνου l (t ) , στη συνέχεια τις αθροίζουμε και ολοκληρώνουμε ως
προς τον χρόνο μεταξύ t1 , t2 και καταλήγουμε στις
t2 M n
(t ) A
t1 l 1 k 1
l lk (q, t )δqk dt 0 . (3.25)
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 95
t2
Στη συνέχεια προσθέτουμε κατά μέλη τη σχέση δLdt 0 (από τις Εξ. (3.10)) και τις Εξ. (3.25) οπότε
t1
βρίσκουμε
t2
n M
t
δL
j 1 l 1
l (t ) Alj (q, t )δq j dt 0.
(3.26)
1
Αντικαθιστούμε το δL κατά τα γνωστά οπότε,
t2
n L n
L d n M
t
j 1 q j
δq j
j 1 q j dt
(δq j ) l (t ) Alj (q, t )δq j dt 0.
(3.27)
1
j 1 l 1
Ολοκληρώνουμε παραγοντικά τον δεύτερο όρο και κάνοντας χρήση των σχέσεων για τις δυνατές
μετατοπίσεις στα άκρα του ολοκληρώματος, δq j (t1 ) δq j (t2 ) 0 , καταλήγουμε στη σχέση
t2 n d L L M
dt q l (t ) Alj (q, t ) δq j dt 0.
(3.28)
t1 j 1
j q j l 1
Κατόπιν, κάνουμε τον εξής συλλογισμό, τα δq j δεν είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα, αφού υπάρχουν
μεταξύ τους M δεσμευτικές σχέσεις. Επομένως δεν μπορούμε να διαλέξουμε διαδοχικά ένα από αυτά μη
μηδενικό στο άθροισμα των ολοκληρωμάτων πάνω στα j 1, 2,..., n και όλα τα άλλα μηδέν. Αυτό σημαίνει
ότι δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι κάθε ένα από αυτά τα ολοκληρώματα του αθροίσματος είναι μηδέν.
Υπάρχουν μόνο m n M από αυτές τις δυνατές μετατοπίσεις που είναι ανεξάρτητες, οι άλλες M το πλήθος
εξαρτώνται από αυτές. Μπορούμε να διαλέξουμε τις πρώτες m ως ανεξάρτητες (δεν είναι απαραίτητο να
διαλέξουμε τις πρώτες, όμως η διάταξή τους είναι αυθαίρετη). Επειδή οι συναρτήσεις (πολλαπλασιαστές
Lagrange) l (t ) είναι αυθαίρετες μπορούμε να τις διαλέξουμε έτσι ώστε για τις τελευταίες να ισχύουν οι
σχέσεις .
d L L M
l (t ) Alj (q, t ) 0 j m 1, m 2,..., n (3.29)
dt q j q j l 1
Έτσι η Εξ. (3.28) γίνεται
t2 m
d L L M
dt q l (t ) Alj (q, t ) δq j dt 0.
(3.30)
t1 j 1
j q j l 1
Τώρα όμως τα δq j είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα επομένως ο κάθε όρος του αθροίσματος είναι μηδέν,
δηλαδή
t2
d L L M
t dt q j l (t ) Alj (q, t ) δq j dt 0, j 1, 2,..., m . (3.31)
1 q j l 1
Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε το θεμελιώδες λήμμα του λογισμού των μεταβολών και καταλήγουμε στις
Αναλυτική Δυναμική 96
d L L M
l (t ) Alj (q, t ), j 1, 2,..., m (3.32)
dt q j q j l 1
Προφανώς από τις Εξ. (3.23), (3.29) και (3.32) καταλήγουμε στις εξισώσεις
d L L M
l (t ) Alj (q, t ) 0, j 1, 2,..., n
dt q j q j l 1 (3.33)
n
A
k 1
lk (q, t )qk Al (q, t ) 0, l 1, 2,..., M
Δηλαδή καταλήξαμε σε παράθεση δεσμών.
Σημειώνουμε ξανά, ότι οι ανωτέρω δυνατές μετατοπίσεις δεν είναι κατ’ ανάγκη συμβατές με τις
εξισώσεις των δεσμών, όπως αυτές φαίνονται στην Εξ. (3.33). Από όσα είπαμε στα προηγούμενα, μόνον όταν
οι δεσμοί είναι ολόνομοι ισχύει η συμβατότητα αυτή. Τότε οι δυνατές μετατοπίσεις οδηγούν από πιθανή τροχιά
σε πιθανή τροχιά. Τονίζουμε ξανά ότι, στη Μηχανική το μόνο που μπορούμε να πούμε είναι ότι, στη γενική
περίπτωση, οι δυνατές μετατοπίσεις είναι τέτοιες που το δυνητικό (δυνατό) έργο των δυνάμεων δεσμών είναι
μηδέν για κάθε έναν δεσμό. Στην περίπτωση που οι δεσμοί είναι ολόνομοι σε ολοκληρωμένη μορφή, τότε
έχουμε τις δεσμευτικές σχέσεις
f l (q, t ) 0, l 1, 2,..., M
n
fl n
i 1 qi
δqi
i 1
Ali δqi 0 l 1, 2,..., M
(3.34)
f l
Ali .
qi
Ας σχηματίσουμε τη λαγκρανζιανή
M
L L l (t ) f l (q, t ) . (3.35)
l 1
Αυτός είναι ο κανόνας του πολλαπλασιασμού. Η θεωρία μεταβολών δίνει
d L L
0, j 1, 2,..., m . (3.36)
dt q j q j
Ισχύουν
L L L L M f (q, t )
, l (t ) l
q j q j q j q j l 1 q j
Άρα βρίσκουμε τις σωστές εξισώσεις που λύνουν το πρόβλημα, βλέπε Εξ. (3.33),
d L L M f
l (t ) l 0, fl 0, j 1, 2,..., n l 1, 2,..., M (3.37)
dt q j q j l 1 q j
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 97
3.4 Διευκρινίσεις για τις δεσμευτικές σχέσεις
Θα αναφερθούμε στο Μαθηματικό πρόβλημα της Θεωρίας Μεταβολών σε χώρο μιας ανεξάρτητης μεταβλητής,
δηλαδή σε μονοδιάστατο χώρο, όπως είναι τα προβλήματα των διακριτών συστημάτων της Μηχανικής, όπου
η μοναδική ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος. Θα θεωρήσουμε ότι υπάρχουν πολλές εξαρτημένες
μεταβλητές. Έστω ότι έχουμε το παρακάτω ολοκλήρωμα Z , το οποίο είναι ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης
F ( y, y, x) , το Z είναι συναρτησοειδές της F (συνάρτηση συνάρτησης).
x2
Z Z ( y ( x)) F ( y, y , x)dx
x1
(3.38)
dy ( x) dy ( x) dy ( x)
y y ( x) y1 ( x), y2 ( x),..., yn ( x), , y ( x) 1 , 2 ,..., n .
dx dx dx
Η συνάρτηση F είναι το ανάλογο της λαγκρανζιανής, το x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή. Το μαθηματικό
πρόβλημα της θεωρίας μεταβολών είναι να προσδιοριστούν οι n το πλήθος συναρτήσεις y ( x) , που
καθορίζουν μια πραγματική τροχιά στον χώρο των n διαστάσεων. Αυτό θα προέλθει από την εξής απαίτηση:
Η δυνατή μεταβολή του συναρτησοειδούς Z που προκύπτει από τη διαφορά των τιμών του πάνω στην
πραγματική τροχιά και σε κάθε αυθαίρετη απείρως γειτονική της, να είναι μηδέν. Αναφερόμαστε πάντοτε σε
μεταβολές με προσέγγιση διαφορικών πρώτης τάξεως. Θυμίζουμε ότι οι δυνατές μεταβολές είναι μεταβολές
όπου το x μένει σταθερό. Είναι ευνόητο ότι οι δυνατές μεταβολές των y είναι αυθαίρετες συναρτήσεις του
x , δyi δyi ( x) . Θα υποθέσουμε ότι όλες οι τροχιές περνούν από τα δυο άκρα της ολοκλήρωσης, έτσι στα
άκρα έχουμε τις συνοριακές συνθήκες δyi ( x1 ) δyi ( x2 ) 0, i 1, 2,..., n . Η αρχή μεταβολών μας λέει ότι
x2 x2
δZ δ F ( y, y, x)dx δF ( y, y, x)dx 0
x1 x1
(3.39)
F F
x2 n
δZ δyi δyi dx 0.
x1 i 1
yi yi
Ακολουθούμε τη διαδικασία στην οποία αναφερθήκαμε στα προηγούμενα, στη Μηχανική, και
καταλήγουμε σε δυο ολοκληρώματα, το ένα είναι ολοκλήρωμα ολικού διαφορικού ως προς x , οπότε με την
ολοκλήρωση οδηγεί σε δυο όρους έναν στο κάθε άκρο της ολοκλήρωσης (σύνορο). Αυτοί οι όροι είναι μηδέν
εφόσον έχουμε τις παραπάνω συνοριακές συνθήκες. Έτσι, καταλήγουμε στις
x2
n d F F
x i1 i dx yi yi dx 0 .
δy (3.40)
1
Είναι ευνόητο ότι αν δεν υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις θα οδηγηθούμε στις εξισώσεις Euler-Lagrange,
δηλαδή στις
d F F
0. (3.41)
dx y y
Θα θεωρήσουμε δεσμευτικές σχέσεις της γενικής μορφής,
gl ( y, y, x) 0 l 1, 2,..., M . (3.42)
Αναλυτική Δυναμική 98
Για αυτές τις συναρτήσεις οι δυνατές μεταβολές δίνουν
n
gl n
gl
i 1 yi
δyi
i 1 yi
δyi 0, l 1, 2,..., M . (3.43)
Αυτές είναι οι βοηθητικές ή πρόσθετες σχέσεις (side conditions, auxiliary conditions) της μαθηματικής
θεωρίας μεταβολών. Γενικώς, δεν έχουν τη μορφή που έχουν οι βοηθητικές σχέσεις στη Μηχανική οι οποίες
είναι της μορφής Gi δqi 0. Οι τελευταίες, όπως έχουμε πει, συνδέονται με έναν συντελεστή αναλογίας
i
(συνάρτηση του χρόνου) με τις σχέσεις των δυνατών έργων των δεσμών. Αυτές δεν περιέχουν επίσης τα δq ,
αλλά μόνο τις δυνατές μετατοπίσεις δq . Αυτή είναι η ουσιώδης διαφορά μεταξύ της μαθηματικής θεωρίας
μεταβολών και της αντίστοιχης θεωρίας στη Μηχανική. Εφόσον υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις, τα δy στην
Εξ. (3.40) δεν είναι ανεξάρτητα άρα δεν μπορούμε να καταλήξουμε στις εξισώσεις Euler-Lagrange. Για να
λύσουμε το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε τις Εξ. (3.43) και εφαρμόζουμε τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών του
Lagrange. Πολλαπλασιάζουμε την κάθε μια από τις σχέσεις (3.43) επί μια συνάρτηση λl ( x) l 1, 2,..., M ,
αθροίζουμε πάνω στα l , ολοκληρώνουμε ως προς x και βρίσκουμε
n x2
M λl gl M
λl gl
i 1 x1 l 1 yi
δyi yi
δyi dx 0. (3.44)
l 1
Κάνουμε παραγοντική ολοκλήρωση στο δεύτερο ολοκλήρωμα και τις κατάλληλες πράξεις. Έχουμε,
dyi dδyi
δyi=δ
dx dx
(3.45)
d ( λgl ) d ( λgl ) ( λgl )
δyi δyi δyi.
dx yi d x yi
yi
Επομένως το δεύτερο ολοκλήρωμα γίνεται
x2
λl gl
M x2
M d λl gl M d λl gl
x d x
y
δyi
dx
dx
y
δyi δyi
dx
y
(3.46)
1
l 1 i x1 l 1 i l 1 i
Το πρώτο ολοκλήρωμα του δευτέρου μέλους αυτής της σχέσης είναι μηδέν αφού τα δy( x1 ) δy( x2 ) .
Επομένως από τις Εξ. (3.44), (3.46) βρίσκουμε
n x2 M λl gl M d λl gl
i
δy dx 0.
yi
(3.47)
i 1 x1 l 1 yi l 1 dx
Αφαιρούμε από τις Εξ. (3.40) τις (3.47) οπότε καταλήγουμε στις σχέσεις
d F F M λl gl M d λl gl
x2 n
x δyi
dx y
y
l 1 y dx
y
dx 0 .
(3.48)
1
i 1 i i i l 1 i
Εύκολα συμπεραίνουμε ότι μπορούμε να εισαγάγουμε την παρακάτω νέα συνάρτηση, (κανόνας του
πολλαπλασιασμού),
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 99
M
h( x, y, y) F ( x, y, y ) λl ( x) gl ( x, y, y) . (3.49)
l 1
Έτσι καταλήγουμε στη σχέση
x2 n d h h
δy dx y dx 0 . (3.50)
i yi
i
x1 i 1
Τα δy δεν είναι ανεξάρτητα αφού υπάρχουν μεταξύ τους M δεσμευτικές σχέσεις. Ακολουθούμε τη
γνωστή διαδικασία για την περίπτωση και καταλήγουμε στις παρακάτω εξισώσεις Euler-Lagrange που μαζί με
τις δεσμευτικές σχέσεις λύνουν το πρόβλημα,
d h h
0 i 1, 2,..., n
dx yi yi (3.51)
gl ( x, y, y) 0 l 1, 2,..., M .
Μπορούμε να πάμε αντίστροφα, να ξεκινήσουμε με τη συνάρτηση της Εξ. (3.49), να σχηματίσουμε το
αντίστοιχο συναρτησιακό και εφαρμόζοντας θεωρία μεταβολών να καταλήξουμε στις εξισώσεις Euler-
Lagrange. Εδώ οι δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ των δυνατών μετατοπίσεων των συντεταγμένων y δεν
σχετίζονται με το έργο των δυνάμεων των δεσμών της Μηχανικής, το οποίο πρέπει να είναι μηδέν για κάθε
έναν δεσμό. Οι βοηθητικές σχέσεις προκύπτουν από τις δεδομένες δεσμευτικές σχέσεις σχηματίζοντας τις
δυνατές μεταβολές τους τις οποίες θέτουμε ίσες με μηδέν.
Είδαμε στα προηγούμενα ότι, στη Μηχανική μπορούμε να τροποποιήσουμε τη λαγκρανζιανή (μέθοδος
του πολλαπλασιασμού) και να καταλήξουμε σε πρόβλημα (χωρίς δεσμούς) μόνο όταν οι δεσμοί της μορφής
g (q, q, t ) 0 , είναι από την αρχή ολικά διαφορικά ή μπορεί να γίνουν τέτοια με κατάλληλους
ολοκληρωτικούς παράγοντες οπότε χρησιμοποιούνται τα προκύπτοντα ολικά διαφορικά τους. Σε αυτή την
περίπτωση η εξάρτηση από τις ταχύτητες είναι γραμμική. Η εύκολη περίπτωση με ολοκληρωμένους ολόνομους
δεσμούς της μορφής f ( q, t ) 0 , εξετάστηκε χωριστά.
Το συμπέρασμα είναι ότι, γενικώς, η θεωρία μεταβολών με δεσμούς στη Μηχανική δεν είναι ίδια με την
αντίστοιχη στα Μαθηματικά. Στα Μαθηματικά πάντοτε μπορεί να γίνει τροποποίηση της λαγκρανζιανής με
χρήση της μεθόδου του πολλαπλασιασμού. Αυτό στην περίπτωση της Μηχανικής μπορεί να οδηγήσει σε λάθος
αποτελέσματα.
3.5 Εφαρμογές στη Γενική Σχετικότητα
Υποθέτουμε ότι έχουμε έναν χώρο n διαστάσεων, γενικώς, μη ευκλείδειο. Στην πραγματικότητα έχουμε αυτό
που στα μαθηματικά λέγεται πολλαπλότητα, αλλά δεν θα ασχοληθούμε με αυτό το θέμα. Μπορεί να δει κάποιος
λεπτομέρειες σε βιβλία Γενικής Σχετικότητας ή βιβλία Μαθηματικών.
Ο χώρος είναι χώρος με μετρική, είναι χώρος Riemann. Τα σημεία του χώρου έχουν συντεταγμένες
x ( x1 , x 2 ,..., x n ) , το x είναι το διάνυσμα θέσης του σημείου και τα x είναι οι ανταλλοίωτες (contravariant)
i
συνιστώσες του. Οι λεγόμενες συναλλοίωτες (covariant) , xi , συνιστώσες συνδέονται με τις ανταλλοίωτες με
n
σχέσεις της μορφής. xi g x
j 1
ij
j
. Ο χώρος είναι μετρικός, δηλαδή ορίζεται απόσταση μεταξύ δυο σημείων
του χώρου. Για την απόσταση ή διάστημα ή μήκος (interval), ds , μεταξύ δυο πολύ γειτονικών σημείων του
χώρου, ισχύει η σχέση
Αναλυτική Δυναμική 100
n n
ds 2 gij dxi dx j dxi dxi , gij g ji (3.52)
i , j 1 i 1
i
Τα dx είναι οι απειροστές διαφορές των συντεταγμένων μεταξύ γειτονικών σημείων. Τα g ij είναι οι
συναλλοίωτες συνιστώσες του μετρικού τανυστή του χώρου. Μερικές φορές, για να μην υπάρχει σύγχυση,
χρησιμοποιείται ο όρος χωρική απόσταση (distance), για την απόσταση (μήκος) στον γνωστό μας τρισδιάστατο
ευκλείδειο χώρο. Γενικώς οι τιμές των συνιστωσών του μετρικού τανυστή εξαρτώνται από τις συντεταγμένες
θέσης του σημείου. Πολλές φορές χρησιμοποιείται η σύμβαση άθροισης των άνω και κάτω δεικτών (βωβοί
δείκτες), χωρίς να δηλώνεται το , δηλαδή το σύμβολο της άθροισης. Στην περίπτωση του γνωστού μας
ευκλείδειου χώρου των τριών διαστάσεων, όταν χρησιμοποιούνται καρτεσιανές συντεταγμένες, ο μετρικός
τανυστής είναι διαγώνιος και όλα τα στοιχεία του είναι ίσα με τη μονάδα. Σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει
διαφορά μεταξύ ανταλλοίωτων και συναλλοίωτων συνιστωσών. Για τον ίδιο χώρο, όταν οι συντεταγμένες είναι
(ορθογώνιες) σφαιρικές, κυλινδρικές κ.λπ., ο μετρικός τανυστής είναι διαγώνιος αλλά τα στοιχεία του είναι
γενικώς διαφορετικά μεταξύ τους, επίσης υπάρχει διαφορά μεταξύ ανταλλοίωτων και συναλλοίωτων
συνιστωσών. Η γεωδαισιακή που διέρχεται από δυο σημεία ενός χώρου είναι μια καμπύλη που το μήκος της
είναι στάσιμο. Η σύγκριση του μήκους της γεωδαισιακής γίνεται με τα μήκη πολύ γειτονικών καμπυλών που
διέρχονται από τα δυο ίδια ακραία σημεία. Για την κίνηση δοκιμαστικών υλικών σημείων, δοκιμαστικών
σωματίων, μέσα σε πεδίο βαρύτητας ισχύει ότι αυτά ακολουθούν της γεωδαισιακές του τετραχώρου, ο οποίος
έχει μια συνιστώσα χρόνου και τρεις συνιστώσες συνήθους τρισδιάστατου χώρου. Αν δεν υπάρχει βαρύτητα
ούτε άλλες δυνάμεις, τότε έχουμε την απλή περίπτωση της Ειδικής Σχετικότητας χωρίς δυνάμεις.
Αναφερόμαστε σε δοκιμαστικά σωμάτια, δηλαδή σωμάτια τα οποία έχουν πολύ μικρή μάζα και μικρή έκταση,
επίσης δεν έχουν σπιν, αυτά δεν επηρεάζουν το βαρυτικό πεδίο μέσα στο οποίο κινούνται. Αν δεν υπάρχουν
άλλες δυνάμεις εκτός από την επίδραση της βαρύτητας, λέμε ότι τα σωμάτια εκτελούν ελεύθερη πτώση. Το
πρόβλημα είναι να προσδιορίσει κάποιος τον μετρικό τανυστή g του (εξωτερικού) πεδίου βαρύτητας μέσα
στο οποίο κινείται το δοκιμαστικό σωμάτιο. Αυτό γίνεται λύνοντας της εξισώσεις της βαρύτητας του Einstein,
αλλά αυτό δεν είναι αντικείμενο αυτού του βιβλίου. Θα αναφερθούμε γενικά σε κάθε καμπύλο χώρο πολλών
διαστάσεων, n . Εισάγουμε ένα αναλλοίωτο (βαθμωτό, scalar) μέγεθος, ως μια παράμετρο η οποία
περιγράφει μια καμπύλη στον χώρο των n διαστάσεων, δηλαδή ισχύουν xi xi ( ) . Μεταξύ δυο σημείων Α,
Β για τις τιμές της παραμέτρου έχουμε A B και στα σημεία Α, Β ισχύουν x (A ), x (B ) . Με
i i
αφετηρία την (3.52), θεωρούμε τη λαγκρανζιανή που δίνεται από τη σχέση
n
L ( x, x ) g
i , j 1
ij ( x) x i x j
(3.53)
dx i
x i
.
d
Σχηματίζουμε το ολοκλήρωμα δράσης και κάνουμε κατά τα γνωστά δυνατή μεταβολή με σταθερό.
B
I L( x, x)d
A (3.54)
δI 0, δx (A ) δx (B ) 0.
i i
Αυτό μας οδηγεί στις εξισώσεις Lagrange,
d L L
0, i 1, 2,..., n . (3.55)
d xi xi
Η L είναι ομογενής 2ου βαθμού ως προς τις παραγώγους, επομένως σύμφωνα με το θεώρημα του Euler
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 101
ισχύει
.
n
L
x
i 1
i
x i
2L (3.56)
Χρησιμοποιούμε τις (3.55) και την (3.56) οπότε κατά μήκος των λύσεων βρίσκουμε
dL n
L L d L L dx i
i xi i xi i xi i
d i 1 x x i d x x d
(3.57)
d L i dL
i x 2 .
d i x d
Από αυτήν βρίσκουμε ότι κατά μήκος των καμπυλών που είναι λύσεις του προβλήματος, δηλαδή για την
πραγματική κίνηση, ισχύουν
dL
0, L( x, x) 2 σταθ.
d (3.58)
Οι καμπύλες (λύσεις) που προκύπτουν από την αρχή μεταβολών της Εξ. (3.54), όπως θα δούμε
παρακάτω, είναι γεωδαισιακές. Σύμφωνα με τα προηγούμενα έχουμε
n
dxi dx j
L( x, x) gij ( x) . (3.59)
i , j 1 d d
Έτσι, οι εξισώσεις Euler γίνονται όπως φαίνεται στη δεύτερη σειρά της Εξ. (3.60). Κατά μήκος των
λύσεων ισχύει η πρώτη σειρά της Εξ. (3.60).
2
n
dx i dx j ds
L( x, x) gij ( x)
2
i , j 1 d d d
(3.60)
d dx k 1 g kl dx k dx l
ik
g , i 1, 2,..., n .
d d 2 x d d
i
Στις σχέσεις αυτές έχουμε χρησιμοποιήσει την άθροιση άνω και κάτω δεικτών, βωβοί δείκτες.
Είδαμε ότι (μόνον) κατά μήκος της λύσης (δηλαδή κατά την πραγματική κίνηση), έχουμε τη δεύτερη από
την Εξ. (3.60). Όταν 0 , τότε η παράμετρος σχετίζεται με γραμμικό τρόπο με το διάστημα (μήκος) κατά
μήκος της γεωδαισιακής. Πράγματι, από τη δεύτερη σχέση της Εξ. (3.60), έχουμε s .
Τονίζουμε ότι τα ds, d είναι αναλλοίωτες (βαθμωτές) ποσότητες. Σε αυτή την περίπτωση, συνήθως,
διαλέγουμε ως παράμετρο το μήκος της καμπύλης της γεωδαισιακής, δηλαδή s οπότε L 1. Έτσι οι
σχέσεις (3.60) γίνονται,
dxi dx j
gij ( x) 1
ds ds
(3.61)
d dx k 1 g kl dx k dxl
gik , i 1, 2,..., n .
ds ds 2 x i ds ds
Αναλυτική Δυναμική 102
Στη συνέχεια, ας θεωρήσουμε ως λαγκρανζιανή την L L . Έχουμε
1
dx i d x j 2
L L gij ( x)
d d
1
(3.62)
dx dx
i j 2
ds gij ( x) d Ld Ld
d d
οπότε καταλήγουμε στις εξισώσεις Lagrange
d 1 L 1 L
0, i 1, 2,..., n .
dλ L xi
(3.63)
L x
i
Αφού η L σταθερά 0 κατά την πραγματική κίνηση οι (3.63) ταυτίζονται με τις (3.55).
Είναι ευνόητο ότι κάθε που πληροί τη σχέση s οδηγεί σε L σταθερό 0 κατά την
πραγματική κίνηση.
Η παράμετρος αυτού του είδους λέγεται συναφής παράμετρος (affine parameter). Τα προηγούμενα
σημαίνουν ότι και η σχέση μεταβολών
1
dxi dx j 2
. δ gij ( x) d =δ ds 0 (3.64)
d d
οδηγεί στις ίδιες λύσεις, είναι το ίδιο πρόβλημα με το προηγούμενο.
Οι σχέσεις (3.64) αποτελούν τον ορισμό των γεωδαισιακών, επομένως πράγματι η επιλογή (3.53) για τη
λαγκρανζιανή οδηγεί στις γεωδαισιακές. Συνήθως, ως εξισώσεις των γεωδαισιακών λαμβάνονται οι (3.61),
όπου η παράμετρος είναι το μήκος κατά μήκος της γεωδαισιακής. Θα δούμε ότι στη Σχετικότητα, πολλές φορές
η επιλογή της παραμέτρου είναι τέτοια που η τιμή της λαγκρανζιανής κατά μήκος της γεωδαισιακής να μην
είναι 1 αλλά να ισχύει L c , όπου c το μέτρο της ταχύτητας του φωτός στο κενό. Στην περίπτωση της
2 2
Ειδικής και της Γενικής Σχετικότητας ο χώρος είναι ο γνωστός τετραδιάστατος χώρος. Στην ειδική σχετικότητα
έχουμε την απλούστερη μετρική του χώρου Minkowski. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για το πως ορίζονται οι
συνιστώσες και η μετρική του τετραδιάστατου χώρου. Εδώ ακολουθούμε τη σύμβαση κατά την οποία ο δείκτης
0
που καθορίζει τις συνιστώσες του τετραχώρου παίρνει τις τιμές 0,1,2,3. Η συνιστώσα x είναι η συνιστώσα
που ισούται ή σχετίζεται με τον χρόνο και οι άλλες, οι ( x1 , x 2 , x3 ) είναι οι συνιστώσες του γνωστού μας
τρισδιάστατου χώρου. Το τετραδιάνυσμα είναι το x ( x0 , r ) ( x 0 , x1 , x 2 , x3 ) , όπου οι χωρικές συνιστώσες
μπορεί να μην είναι οι συνήθεις καρτεσιανές. Οι χωρικές συνιστώσες μπορεί να είναι μήκη, γωνίες, και γενικώς
ότι είναι βολικό κατά περίπτωση. Συνήθως χρησιμοποιούνται ελληνικά γράμματα όπως τα , για να
δηλωθούν δείκτες του τετραχώρου, δηλαδή 0,1,2,3 και λατινικά γράμματα όπως τα i, j για τους δείκτες του
συνήθους τρισδιάστατου χώρου, δηλαδή 1,2,3. Στη Σχετικότητας έχουμε πάντα ότι για κίνηση σωματίων με μη
μηδενική μάζα, κατά μήκος της γεωδαισιακής, το ds 0, L 0 . Το μήκος αυτό λέγεται χρονοειδές μήκος.
Έχουμε φωτοειδές μήκος, αν ds 0, L 0 κατά μήκος της γεωδαισιακής, πράγμα που ισχύει για κίνηση
σωματίων με μηδενική μάζα, όπως είναι η περίπτωση των φωτονίων.
Η περίπτωση ds 0, L 0 χαρακτηρίζει το χωροειδές μήκος που δεν σχετίζεται με πραγματικά
σωματίδια.
Σημειώνουμε ότι ο ιδιόχρονος d σχετίζεται με το αντίστοιχο τετραμήκος με τη σχέση ds cd .
Πολλές φορές ως παράμετρος λαμβάνεται ο ιδιόχρονος αντί του τετραμήκους, και οι εξισώσεις τροποποιούνται
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 103
κατά προφανή τρόπο. Οι σχέσεις (3.61) γίνονται
dx dx
g ( x) c2
d d
(3.65)
d dx 1 g dx dx
g , 0,1, 2,3
d d 2 x d d
Σε αυτή την περίπτωση κατά την πραγματική κίνηση έχουμε L c .
2 2
Στα προηγούμενα αναφερθήκαμε στην περίπτωση που μπορεί να καλύψει σωματίδια με μη μηδενική
μάζα. Η περίπτωση σωματιδίων με μηδενική μάζα χρειάζεται ελαφρά τροποποίηση στη μεθοδολογία. Οι
γεωδαισιακές του τετραδιάστατου χώρου για σωματίδια με μηδενική μάζα έχουν μήκος ίσο με μηδέν, η
λαγκρανζιανή κατά μήκος των γεωδαισιακών είναι μηδέν, επίσης δε μπορεί να οριστεί ιδιόχρονος διότι ο
ιδιόχρονος αναφέρεται σε σύστημα που κινείται με το σωματίδιο και υπάρχει όταν το σωματίδιο κινείται με
ταχύτητα μικρότερη του c . Θα ξεκινήσουμε με την υπόθεση ότι η μάζα είναι μη μηδενική οπότε κατά μήκος
της γεωδαισιακής ds 0, L 0 και στη συνέχεια θα πάμε στο όριο όπου ds 0, L 0 , δηλαδή στην
περίπτωση σωματιδίων με μηδενική μάζα. Οι Εξ. (3.60) είναι οι σωστές εξισώσεις κίνησης που δείξαμε ότι
ισχύουν για μη μηδενική μάζα. Στη συνέχεια θα βρούμε τη μορφή τους όταν η μάζα τείνει στο μηδέν.
Οι δεύτερες από αυτές τις εξισώσεις δεν μεταβάλλονται. Όμως αφού η σταθερά τείνει στο μηδέν, οι
δεύτερες εξισώσεις αλλάζουν, οπότε καταλήγουμε στις παρακάτω εξισώσεις για σωματίδια με μηδενική μάζα,
dx dx ds
2
g ( x) 0
d d d
(3.66)
d dx 1 g dx dx
g , 0,1, 2,3 .
d d 2 x d d
Η περιγραφή της κίνησης γίνεται ως προς αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων όπου η τροχιά
(γεωδαισιακή) είναι της μορφής x x ( ) . Το δεν μπορεί να μετασχηματιστεί σε τετραμήκος ή σε
ιδιόχρονο. Εκτός από τη διατήρηση του L κατά την κίνηση, θα δούμε παρακάτω ότι αν υπάρχουν κάποιες
συμμετρίες, μπορεί να βρεθούν και άλλες ποσότητες που διατηρούνται και έτσι να λυθούν προβλήματα με
σχετικά εύκολο τρόπο. Για παράδειγμα, αν η λαγκρανζιανή δεν εξαρτάται από κάποια συνιστώσα του
L
τετραδιάστατου χώρου τότε η αντίστοιχη ποσότητα διατηρείται (πρόκειται για τη λεγόμενη συζυγή
x
γενικευμένη ορμή που σχετίζεται με τη συντεταγμένη θέσης x ).
Ας ξεκινήσουμε από τις εξισώσεις κίνησης (3.60), παίρνουμε την ολική παράγωγο ως προς και
καταλήγουμε στις
d 2 x k gik 1 gkl dx k dxl
gik 0. (3.67)
d 2 xl 2 xi d d
Πολλαπλασιάζουμε επί g mi και λαμβάνουμε υπόψη ότι gil g gli g δi , οπότε βρίσκουμε
kl lk k
d2 xm mi 1 gik gil gkl d x k dxl
g 0. (3.68)
d 2 2 xl x k xi d d
Αναλυτική Δυναμική 104
Από αυτές καταλήγουμε στις
d 2 xi k
i d x dx
l
Γ 0
d 2 d d
kl
(3.69)
1 g g g
όπου Γ g Γ m,kl και Γi ,kl
i im
ikl ilk kli gir Γ kl .
r
2 x x x
kl
Τα σύμβολα i , kl είναι τα σύμβολα (του) Christoffel πρώτου είδους. Τα σύμβολα kl είναι τα σύμβολα
i
του Christoffel δευτέρου είδους.
3.6 Θεωρία Μεταβολών με πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές
Μέχρι τώρα εξετάσαμε την περίπτωση που υπάρχουν γενικώς πολλές άγνωστες, εξαρτημένες, μεταβλητές
(συναρτήσεις που πρέπει να προσδιοριστούν) ενώ η ανεξάρτητη μεταβλητή ήταν μία. Αυτό είναι χρήσιμο για
τη μελέτη διακριτών μηχανικών συστημάτων όπου η μόνη ανεξάρτητη μεταβλητή είναι μια, ο συνήθης χρόνος
ή ο ιδιόχρονος στη Σχετικότητα, αν μπορεί να γίνει αυτή η επιλογή, ή κάποια άλλη κατάλληλη παράμετρος.
Υπάρχουν όμως και άλλες περιπτώσεις όπου οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι πολλές. Αυτό αναφέρεται ως
θεωρία συνεχών συστημάτων ή Θεωρία Πεδίων. Σε αυτή την περίπτωση οι προς προσδιορισμό συναρτήσεις
(εξαρτημένες μεταβλητές) εξαρτώνται από πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές, οι οποίες στην κλασική Φυσική,
είναι ο χρόνος και μια ή δυο ή και οι τρεις συντεταγμένες θέσης. Θα μελετήσουμε τα συνεχή συστήματα
αργότερα. Στο Παράρτημα Π6 γίνεται η ανάλυση που αναφέρεται σε n το πλήθος εξαρτημένες μεταβλητές σε
πολυδιάστατο χώρο. Για διδακτικούς λόγους, εδώ θα εξετάσουμε αυτοτελώς μερικές περιπτώσεις ειδικού
ενδιαφέροντος, χωρίς τη χρήση του παραπάνω παραρτήματος.
Ξεκινούμε με την περίπτωση που υπάρχει μόνο μια συνάρτηση, η f , της οποίας σχηματίζουμε το
συναρτησοειδές. Αυτή θα εξαρτάται από δυο ανεξάρτητες μεταβλητές x, y , μια εξαρτημένη u ( x, y ) , και τις
πρώτες παραγώγους της ως προς x και y . Σε αυτή την περίπτωση υπάγεται η περίπτωση ταλαντευόμενης
χορδής που η ταλάντωσή της γίνεται σε σταθερό επίπεδο κατά μήκος της. Τότε η μια ανεξάρτητη μεταβλητή
είναι ο χρόνος και η άλλη η θέση κατά μήκος της χορδής. Η εξαρτημένη μεταβλητή είναι η απομάκρυνση κάθε
ενός υλικού σημείου της χορδής από τη θέση ισορροπίας.
Χρειάζεται να βρούμε για ποιες συναρτήσεις u ( x, y ) γίνεται στάσιμο το διπλό ολοκλήρωμα
(συναρτησοειδές)
Z f ( x, y, u, u x , u y )dxdy . (3.70)
S
u u
S είναι το δισδιάστατο χωρίο S ( x, y ) όπου γίνεται η ολοκλήρωση, και ux , uy .
x y
Υποθέτουμε ότι κατά τη δυνατή μεταβολή δZ 0 η συνάρτηση u ( x, y ) δεν μεταβάλλεται στο σύνορο,
c , του χωρίου S , δηλαδή δu( x, y) c 0 . Κατά τη δυνατή μεταβολή, τα x, y είναι σταθερά και το χωρίο
ολοκλήρωσης δεν μεταβάλλεται. Από την (3.70) βρίσκουμε,
δZ δf ( x, y, u, u x , u y )dxdy 0
S
(3.71)
f f f
δf δu δu x δu y .
u u x u y
Έχουμε τις σχέσεις
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 105
du u
dx x
d f d f f d(δu )
δu δu
dx u x dx u x u x dx
(3.72)
d f f du d f f
δu δ δu δu x
dx u x u x dx dx u x u x
f d f d f
δu x δu δu .
u x dx u x dx u x
Ισχύουν και οι σχέσεις που προκύπτουν θέτοντας όπου x το y . Από τις (3.71), (3.72) βρίσκουμε
f d f d f
δZ δu dxdy
S u dx u x dy u y
(3.73)
d f d f
δu δu dxdy 0.
S dx u x dy u y
Σύμφωνα με το θεώρημα της απόκλισης (θεώρημα του Gauss), το τελευταίο ολοκλήρωμα μετατρέπεται
σε επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στην κλειστή καμπύλη που είναι το σύνορο, c , του δισδιάστατου χωρίου S =(
x, y ). Έχουμε επομένως για αυτό το ολοκλήρωμα συνόρου, δZ b ,
f f
δZ b δu dy dx . (3.74)
u u y
c x
Αυτό είναι μηδέν, αφού στο σύνορο, δu c =0. Επομένως από τις (3.73) προκύπτει ότι και το πρώτο
ολοκλήρωμα είναι μηδέν. Τα δu ( x, y ) σε κάθε σημείο ( x, y ) είναι αυθαίρετα, επομένως σύμφωνα με το
θεμελιώδες λήμμα της θεωρίας μεταβολών ο μύστακας μέσα στο ολοκλήρωμα είναι μηδέν, οπότε
d f d f f
0. (3.75)
dx u x dy u y u
Αυτή είναι η εξίσωση Euler-Lagrange για δυο ανεξάρτητες μεταβλητές και μια εξαρτημένη.
Αναλυτική Δυναμική 106
Παραδείγματα – Eιδικά θέματα
1. Συνοριακές συνθήκες
Μέχρι τώρα υποθέταμε ότι οι συναρτήσεις - λύσεις των προβλημάτων της θεωρίας μεταβολών παίρνουν
καθορισμένες τιμές στο σύνορο της περιοχής ολοκλήρωσης. Όμως σε πολλά προβλήματα μπορεί να μην
υπάρχουν τέτοιες συνθήκες εκ των προτέρων στο σύνορο ή μπορεί οι συνθήκες στο σύνορο να είναι πιο γενικές.
Είναι γνωστό πως αν έχουμε να λύσουμε μια συνήθη διαφορική εξίσωση τάξεως n , χρειαζόμαστε n το πλήθος
συνοριακές συνθήκες για να έχουμε μοναδικότητα στη λύση. Στα προηγούμενα αυτές οι συνθήκες
υπαγορεύονταν εξ αρχής, από το δεδομένο πρόβλημα. Αν δεν υπάρχουν εκ των προτέρων συνοριακές συνθήκες
στο σύνορο, τότε μιλούμε για ελεύθερες (αδέσμευτες) συνοριακές τιμές. Γενικώς μπορεί οι δυνατές μεταβολές
των άγνωστων συναρτήσεων και παραγώγων τους να μην είναι κατ’ ανάγκη μηδέν στο σύνορο.
2. Φυσιολογικές συνοριακές συνθήκες για ελεύθερα σύνορα
Ας θεωρήσουμε το πρόβλημα μεταβολών με συναρτησιακό το
x2
dy
Z f ( x, y, y )dx
x1
x yx
dx
(3.76)
με μια άγνωστη συνάρτηση y ( x) μιας μεταβλητής x , χωρίς δεδομένες εκ των προτέρων συνοριακές
συνθήκες στα άκρα x1 , x2 . Απαιτούμε το συναρτησιακό Z να είναι στάσιμο. Για να είναι στάσιμο το
συναρτησιακό πρέπει η δυνατή μεταβολή δZ να μηδενίζεται. Σύμφωνα με τα προηγούμενα έχουμε
x2
x2
f d f f
δZ δy dx δy (3.77)
x1 y dx yx yx x1
Υποθέτουμε ότι το Z είναι στάσιμο, για οποιεσδήποτε δυνατές μεταβολές δy στο σύνορο. Αφού ισχύει
αυτό, αρχικά κάνουμε την επιλογή να ισχύουν δy( x1 ) δy( x2 ) 0 . Αυτό όμως οδηγεί στο ότι για τη λύση του
προβλήματος, δηλαδή για την y y ( x ) , το ολοκλήρωμα στην (3.77) είναι μηδέν και, κατά τα γνωστά, ισχύουν
οι εξισώσεις Euler-Lagrange. Αυτό σημαίνει ότι εξασφαλίσαμε ότι και σε αυτή την πιο γενική περίπτωση
ισχύουν οι εξισώσεις Euler-Lagrange και ότι πρέπει (προφανώς) ο δεύτερος όρος, ο όρος συνόρου, στην (3.77)
να είναι μηδέν ανεξάρτητα από τις τιμές των δy στα άκρα. Αν αυτές δεν είναι μηδέν τότε πρέπει να ισχύει
f
0 για x x1 και x x2 . Αυτές είναι οι φυσιολογικές συνοριακές συνθήκες (natural boundary
y x
conditions) του προβλήματος. Αν έχουμε πολλές άγνωστες μεταβλητές έτσι που το συναρτησιακό να έχει τη
μορφή,
x2
dyl
Z f ( x, y , y ,..., y , y , y ,..., y )dx
x1
1 2 n 1 2 n yl
dx
(3.78)
τότε ισχύουν οι κατάλληλες εξισώσεις Euler-Lagrange και οι φυσιολογικές συνοριακές συνθήκες είναι
f
0, l 1, 2,..., n στο σύνορο x x1 , x x2 . (3.79)
yl
Δίνουμε παρακάτω τις φυσιολογικές συνοριακές συνθήκες για δυο περιπτώσεις σε δισδιάστατα
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 107
προβλήματα. Θεωρούμε ότι ο συμβολισμός είναι αυτονόητος.
Αυτά τα παραδείγματα είναι:
Η περίπτωση με μια ανεξάρτητη μεταβλητή. Τότε έχουμε,
Z f ( x, y , u , u x , u y )dxdy
S
f dy f dx
στο σύνορο δuds 0
u ds u ds (3.80)
c x y
f dy f dx
0.
u x ds u y ds
Η τελευταία σχέση είναι η φυσιολογική συνθήκη συνόρου και προκύπτει υποθέτοντας ότι το δu c (στο
σύνορο) είναι αυθαίρετο, οπότε ισχύει το γνωστό θεμελιώδες λήμμα της θεωρίας μεταβολών.
Για πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές έχουμε,
Z f ( x, y, u, u x , u y , , x , y ,...)dxdy
S
f dy f dx f dy f dx
στο σύνορο δu δ ...ds 0, (3.81)
u x ds u y ds
c
ds ds
x y
f dy f dx f dy f dx
0, 0,...
u x ds u y ds x ds y ds
Οι τελευταίες είναι οι φυσιολογικές συνοριακές συνθήκες.
Σε αυτές τις περιπτώσεις οι εκφράσεις (3.80), (3.81) για τις φυσιολογικές συνοριακές συνθήκες, ισχύουν
στο σύνορο, το οποίο είναι η κλειστή καμπύλη, c , η οποία περικλείει το δισδιάστατο χωρίο ολοκλήρωσης, S
. Το στοιχειώδες μήκος κατά μήκος της κλειστής καμπύλης, c , του συνόρου παριστάνεται με ds .
Η έννοια των φυσιολογικών συνοριακών συνθηκών μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε γενικεύσεις της
θεωρίας μεταβολών, συμπεριλαμβανομένων αυτών που οι συνοριακές συνθήκες δίνονται εκ των προτέρων. Ως
παράδειγμα δίνουμε την περίπτωση που το συναρτησοειδές δεν αποτελείται μόνο από ένα ολοκλήρωμα, αλλά
είναι της πιο γενικής μορφής:
x1
Z F ( x, y, y)dx ( y0 ) ( y1 ), y0 y ( x0 ), y1 y ( x1 ). (3.82)
x0
Οι συναρτήσεις , επιλέγονται ανάλογα με το πρόβλημα που θέλουμε να λύσουμε. Τα y0 , y1 δεν
είναι προκαθορισμένα.
Από την (3.82) βρίσκουμε,
F d F
x1
d F d F
δZ δydx δy δy 0 . (3.83)
x0
y dx y dy y x1 dy y x0
Έτσι καταλήγουμε στην εξίσωση Euler-Lagrange και σε δυο φυσιολογικές συνθήκες συνόρου:
Αναλυτική Δυναμική 108
F d F d F d F
0, 0, 0. (3.84)
y dx y dy y x dy y x
1 0
Μπορούμε να δούμε στη συνέχεια πως από αυτές τις φυσιολογικές συνθήκες καταλήγουμε στις γνωστές
προκαθορισμένες συνθήκες. Υποθέτουμε ότι,
( y) l ( y a)2 , ( y) ( y b) 2 (3.85)
οπότε οι συνοριακές συνθήκες γίνονται
1 F 1 F
y0 a 0, y1 b 0. (3.86)
2l y x0 2l y x1
Πηγαίνουμε στο όριο όταν l και καταλήγουμε στην περίπτωση όπου οι τιμές στο σύνορο είναι
καθορισμένες, δηλαδή y0 a, y1 b .
3. Ισοπεριμετρικά προβλήματα
Το όνομα, ισοπεριμετρικό, προέρχεται από τον αρχαίο μύθο της πριγκίπισσας Διδώς (ή Διδούς). Ο μύθος
σχετίζεται με το εξής πρόβλημα, να βρεθεί επιφάνεια που να έχει μέγιστο εμβαδόν αν η περίμετρός της έχει
δεδομένο μήκος. Αυτό είναι πρόβλημα που όπως θα δούμε μπορεί να αντιμετωπιστεί με τη θεωρία μεταβολών.
Έστω ότι έχουμε ισοπεριμετρικό πρόβλημα μιας ανεξάρτητης μεταβλητής x και μιας εξαρτημένης y ( x) . Η
συνάρτηση είναι η f f ( x, y, y) . Ζητούμε το παρακάτω, συναρτησιακό να είναι στάσιμο, χωρίς να
εξετάζουμε αν είναι μέγιστο,
x2
dy
Z f ( x, y, y)dx,
x1
y
dx
. (3.87)
Έχουμε προκαθορισμένες συνοριακές τιμές,
y( x1 )=y1 , y( x2 )=y2 άρα δy ( x1 ) δy( x2 ) 0 . (3.88)
Στα ισοπεριμετρικά προβλήματα υπάρχει ο περιορισμός ότι η y y ( x ) πληροί ολοκληρωτικές σχέσεις
της μορφής
x2
Ki gi ( x, y, y)dx ai σταθ. i 1, 2,..., n . (3.89)
x1
Μπορούμε να γενικεύσουμε το πρόβλημα θεωρώντας πολυδιάστατους χώρους για τις ανεξάρτητες
μεταβλητές και πολλές άγνωστες συναρτήσεις.
Επειδή κατά τις δυνατές μεταβολές πρέπει να ληφθούν υπόψη οι δεσμευτικές σχέσεις (3.89), κάνουμε
χρήση της μεθόδου των πολλαπλασιαστών Lagrange. Χρησιμοποιούμε τις (3.87), (3.89). Αφού πάρουμε τις
δυνατές μεταβολές των (3.87), (3.89) έχουμε,
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 109
x2
δZ δf ( x, y, y)dx 0
x1
x2 (3.90)
δKi δgi ( x, y, y)dx 0, i 1, 2,..., n.
x1
Οι δεσμευτικές σχέσεις-ολοκληρώματα ισχύουν και για τις παραλλαγμένες διαδρομές. Στη συνέχεια
ακολουθούμε τη μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange, πολλαπλασιάζουμε τις δεύτερες σχέσεις επί n άγνωστες
σταθερές i , i 1, 2,..., n αντιστοίχως και προσθέτουμε στην πρώτη σχέση. Αφού το Z είναι στάσιμο και
εφόσον ισχύουν οι (3.90), θα είναι στάσιμο και το συναρτησιακό
𝑥
𝑍𝑀 = ∫𝑥 2 𝑓𝑀 𝑑𝑥 , 𝑓𝑀 = 𝑓 + ∑𝑛𝑖=1 𝜆𝑖 𝑔𝑖 . (3.91)
1
Υπολογίζουμε τις δυνατές μεταβολές, κάνουμε παραγοντική ολοκλήρωση, ο όρος συνόρου μηδενίζεται
και καταλήγουμε στη σχέση
𝑥
2 𝑀 𝜕𝑓 𝑑 𝜕𝑓𝑀
∫𝑥 𝛿 𝑦 [ 𝜕𝑦 − 𝑑𝑥 𝜕𝑦 ′
] 𝑑𝑥 = 0. (3.92)
1
Εδώ χρειάζεται λίγη σκέψη, η δy δy ( x ) δεν είναι τελείως αυθαίρετη συνάρτηση του x διότι πρέπει
να είναι σε συμφωνία με τις (3.89) και τις δεύτερες από τις (3.90). Μπορεί κάποιος να ισχυριστεί, χωρίς
μαθηματική αυστηρότητα, ότι η δy ( x) έχει «χάσει» n βαθμούς ελευθερίας. Οι n το πλήθος αυθαίρετες
σταθερές, i μπορεί να ρυθμιστούν έτσι που η αγκύλη στην (3.92) να είναι μηδέν ανεξάρτητα από τη δy ( x) .
Αυτό οδηγεί στην εξίσωση Euler-Lagrange,
𝜕𝑓𝑀 𝑑 𝜕𝑓𝑀
− = 0. (3.93)
𝜕𝑦 𝑑𝑥 𝜕𝑦 ′
Δηλαδή, καταλήγουμε σε πρόβλημα με τροποποιημένη συνάρτηση, όπου αντί της f έχουμε την f M ,
κανόνας πολλαπλασιασμού. Από την (3.93) προκύπτει γενικώς, συνήθης διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης.
Η λύση της έχει 2 άγνωστες σταθερές και επί πλέον τις n το πλήθος άγνωστες σταθερές i . Αυτές οι n 2
σταθερές προσδιορίζονται από τις συνθήκες (3.88) στο σύνορο και τις (3.89). Αν έχουμε περισσότερες
ανεξάρτητες μεταβλητές, οι σχέσεις τροποποιούνται κατάλληλα. Για παράδειγμα, αν έχουμε δυο ανεξάρτητες
μεταβλητές θα έχουμε,
x2
dy j
Z f ( x, y1 , y2 , y1, y2 )dx, yj j 1, 2
x1
dx
x2
(3.94)
Ki gi ( x, y1 , y2 , y1, y2 )dx ai σταθ. i 1, 2,..., n.
x1
Από αυτές θα βρούμε,
𝑥2 𝑛
𝑍𝑀 = ∫ 𝑓𝑀 𝑑𝑥 , 𝑓𝑀 = 𝑓 + ∑ 𝜆𝑖 𝑔𝑖 (3.95)
𝑥1 𝑖=1
Αναλυτική Δυναμική 110
𝜕𝑓𝑀 𝑑 𝜕𝑓𝑀 𝜕𝑓𝑀 𝑑 𝜕𝑓𝑀
− = 0, − = 0.
𝜕𝑦1 𝑑𝑥 𝜕𝑦1′ 𝜕𝑦2 𝑑𝑥 𝜕𝑦2′
Τώρα για τον προσδιορισμό όλων των σταθερών χρειάζονται και οι δεύτερες από τις (3.94).
4. Τροποποίηση λαγκρανζιανής - εξάλειψη συντεταγμένων
Ας υποθέσουμε ότι κάποιες συντεταγμένες (μεταβλητές) δεν υπάρχουν στη λαγκρανζιανή ενώ υπάρχουν οι
αντίστοιχες ταχύτητές τους. Αυτές είναι αγνοήσιμες συντεταγμένες. Έστω n το πλήθος των 𝑞̇ 𝑖 και m το
πλήθος των αγνοήσιμων συντεταγμένων. Θεωρούμε ότι οι αγνοήσιμες συντεταγμένες είναι οι τελευταίες στην
κατάταξη, δηλαδή από i n m 1 μέχρι i n . Οι μη αγνοήσιμες είναι οι πρώτες n m .
Η έκφραση
𝜕𝐿
𝑝𝑘 = (3.96)
𝜕𝑞̇ 𝑘
ορίζει τη γενικευμένη ορμή της μεταβλητής qk . Οι εξισώσεις Lagrange γράφονται
𝜕𝐿
𝑝̇𝑘 = . (3.97)
𝜕𝑞𝑘
Για τις αγνοήσιμες qk ισχύουν
𝜕𝐿
= 0. (3.98)
𝜕𝑞𝑘
Με χρήση των Εξ. (3.98) οι εξισώσεις Lagrange, Εξ. (3.97), με απλή ολοκλήρωση δίνουν
𝑝𝑘 = σταθ.=𝑐𝑘 . (3.99)
Οι αγνοήσιμες qk δεν υπάρχουν στις σχέσεις ορισμού Εξ. (3.94) , ενώ υπάρχουν τα 𝑞̇ 𝑘 . Αυτές οι σχέσεις
γράφονται σύμφωνα με τις Εξ. (3.99) ως
𝜕𝐿
= 𝑐𝑘 . (3.100)
𝜕𝑞̇ 𝑘
Από αυτές μπορούμε να υπολογίσουμε τα 𝑞̇ 𝑘 συναρτήσει των υπόλοιπων 𝑞𝑖 και 𝑞̇ 𝑖 . Δηλαδή έχουμε
𝑞̇ 𝑘 = 𝑓𝑘 (𝑞1 , 𝑞2 , . . . , 𝑞𝑛−𝑚 , 𝑞̇ 1 , 𝑞̇ 2 , . . . , 𝑞̇ 𝑛−𝑚 , 𝑐𝑛−𝑚+1 , 𝑐𝑛−𝑚+2 , . . . , 𝑐𝑛 , 𝑡). (3.101)
Αφού με χρήση των εξισώσεων Lagrange βρούμε τις εξισώσεις κίνησης μπορούμε να αντικαταστήσουμε
τα 𝑞̇ 𝑘 με χρήση της Εξ. (3.101), οπότε έχουμε διαφορικές εξισώσεις στις οποίες δεν εμφανίζονται οι m το
πλήθος αγνοήσιμες μεταβλητές (ούτε οι ταχύτητές τους) αλλά μόνο οι n m το πλήθος μη αγνοήσιμες. Το
πρόβλημα έχει αναχθεί σε απλούστερο πρόβλημα με λιγότερες διαφορικές εξισώσεις και μεταβλητές. Δηλαδή
αντί για πλήθος n έχουμε πλήθος n m . Αφού προσδιορίσουμε τις n m συντεταγμένες qi qi (t ) , τις
αντικαθιστούμε στις Εξ. (3.101) και ολοκληρώνοντας βρίσκουμε και τις qk qk (t ) για τις υπόλοιπες, που
είναι οι αγνοήσιμες συντεταγμένες. Αυτή η διαδικασία έγινε αφού πρώτα καταλήξαμε στις (διαφορικές)
εξισώσεις κίνησης. Δημιουργείται το ερώτημα αν μπορούμε να εξαλείψουμε τις αγνοήσιμες μεταβλητές από
την αρχή, δηλαδή στο επίπεδο της λαγκρανζιανής κατά τη διατύπωση της θεωρίας μεταβολών.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 111
Έχουμε το ολοκλήρωμα δράσης
𝑡
𝐼 = ∫𝑡 2 𝐿(𝑞1 , 𝑞2 , . . . , 𝑞𝑛−𝑚 , 𝑞̇ 1 , 𝑞̇ 2 , . . . , 𝑞̇ 𝑛 , 𝑡)𝑑𝑡. (3.102)
1
Η αρχή Hamilton μας λέει ότι δI 0 για αυθαίρετες δυνατές μετατοπίσεις των qi , i 1, 2,..., n , εκτός
των τιμών τους στα άκρα t1 , t2 . Επομένως αν εξαλείψουμε από την λαγκρανζιανή τα 𝑞̇ 𝑘 𝑘 = 𝑛 − 𝑚 + 1, 𝑛 −
𝑚 + 2, . . . , 𝑛 με χρήση των Εξ. (3.101), τότε το πρόβλημα έχει αναχθεί, από την αρχή, σε πρόβλημα με
λιγότερες μεταβλητές, n m το πλήθος. Σημειώνουμε ότι για να κάνουμε τη δυνατή μεταβολή με τη
λαγκρανζιανή από την οποία έχουν εξαλειφθεί και οι ταχύτητες των αγνοήσιμων μεταβλητών, πρέπει να έχουμε
τις Εξ. (3.100) να ισχύουν όχι μόνο για την πραγματική τροχιά αλλά και για τις παραλλαγμένες τροχιές. Η
μεταβολή (παραλλαγή) του ολοκληρώματος δράσης μηδενίζεται (κατά τα γνωστά) για αυθαίρετες δυνατές
μετατοπίσεις των qi , i 1, 2,..., n , επομένως το ότι οι αγνοήσιμες συντεταγμένες υπολογίζονται με βάση τις
Εξ. (3.100), δηλαδή με απλή ολοκλήρωση των Εξ. (3.101), δεν είναι πρόβλημα. Η συνθήκη όμως μηδενισμού
των δυνατών μετατοπίσεων στα δυο ακραία σημεία του ολοκληρώματος είναι πρόβλημα, δεν ισχύει για τις
αγνοήσιμες συντεταγμένες διότι οι μεταβολές τους είναι καθορισμένες από τον ανωτέρω τρόπο υπολογισμού
τους. Ας επιχειρήσουμε να δείξουμε την αρχή του Hamilton δI 0 με χρήση της Αρχής d’ Alembert. Όπως
έχουμε δει στα προηγούμενα, υπολογίζουμε το δI :
𝑡 𝑡 𝑡 𝑑 𝜕𝐿 𝑡 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿
𝛿𝐼 = 𝛿 ∫𝑡 2 𝐿𝑑𝑡 = ∫𝑡 2 𝛿𝐿𝑑𝑡 = ∫𝑡 2 {∑𝑛𝑖=1 ( 𝛿𝑞𝑖 )} 𝑑𝑡 − ∫𝑡 2 {∑𝑛𝑖=1 𝛿𝑞𝑖 ( − )} 𝑑𝑡. (3.103)
1 1 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇
1 𝑖 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝜕𝑞
1 𝑖 𝑖
Για την πραγματική κίνηση ισχύει η Αρχή d’ Alembert:
𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿
∑𝑛𝑖=1 𝛿𝑞𝑖 ( − 𝜕𝑞 ) = 0. (3.104)
𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑖 𝑖
Σημειώνουμε ότι αυτό ισχύει ακόμη και όταν τα δq δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους αλλά συνδέονται
με δεσμούς. Επομένως η Εξ. (3.107) γίνεται,
𝑡 𝑡 𝑑 𝜕𝐿
∫𝑡 𝛿𝐿𝑑𝑡 = ∫𝑡 {∑𝑛𝑖=1 𝑑𝑡 (𝜕𝑞̇ 𝛿𝑞𝑖 )} 𝑑𝑡.
2 2
(3.105)
1 1 𝑖
Χωρίζουμε τους όρους με τις μη αγνοήσιμες και με τις αγνοήσιμες συντεταγμένες, έχουμε
𝑡 𝑡 𝑑 𝜕𝐿 𝑡 𝑑 𝜕𝐿
∫𝑡 𝛿𝐿𝑑𝑡 = ∫𝑡 {∑𝑛−𝑚 𝑛
2 2 2
1
𝑖=1 𝑑𝑡 (𝜕𝑞̇ 𝛿𝑞𝑖 )} 𝑑𝑡 + ∫𝑡 {∑𝑖=𝑛−𝑚+1 𝑑𝑡 (𝜕𝑞̇ 𝛿𝑞𝑖 )} 𝑑𝑡.
1 1
(3.106)
𝑖 𝑖
Το πρώτο ολοκλήρωμα, με παραγοντική ολοκλήρωση, γίνεται
𝑡 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 𝑡2
∫𝑡 {∑𝑛−𝑚 𝑛−𝑚
2
1
𝑖=1 𝑑𝑡 (𝜕𝑞̇ 𝛿𝑞𝑖 )} 𝑑𝑡 = (∑𝑖=1 𝜕𝑞̇ 𝛿𝑞𝑖 (𝑡))| = 0. (3.107)
𝑖 𝑖 𝑡1
Αυτό είναι μηδέν διότι τα δqi (για τα q που δεν είναι αγνοήσιμα) είναι μηδέν στα άκρα t1 , t2 . Αν
κάνουμε παραγοντική ολοκλήρωση του δεύτερου όρου που περιέχει τις αγνοήσιμες συντεταγμένες, αυτός δεν
είναι μηδέν διότι τα αντίστοιχα δqi δεν είναι μηδέν.
Σύμφωνα με τις Εξ. (3.94) και (3.99) έχουμε
𝜕𝐿
𝑝𝑖 = = 𝑐𝑖 = σταθ.
𝜕𝑞̇ 𝑖
επομένως,
Αναλυτική Δυναμική 112
𝑡 𝑡 dδ𝑞𝑖 𝑡
∫𝑡 𝛿𝐿 𝑑𝑡 = ∑𝑛𝑖=𝑛−𝑚+1 𝑐𝑖 ∫𝑡 𝑑𝑡 = ∑𝑛𝑖=𝑛−𝑚+1 𝑐𝑖 ∫𝑡 2 𝛿𝑞̇ 𝑖 𝑑𝑡 =
2 2
1 1 𝑑𝑡 1
(3.108)
𝑡
∑𝑛𝑖=𝑛−𝑚+1 𝑐𝑖 𝛿 ∫𝑡 2 𝑞̇ 𝑖 𝑑𝑡.
1
Τελικώς, με χρήση των ανωτέρω η Εξ. (3.105) γίνεται
𝑡
∫𝑡 𝛿(𝐿 − ∑𝑛𝑖=𝑛−𝑚+1 𝑐𝑖 𝑞̇ 𝑖 ) 𝑑𝑡 = 0.
2
(3.109)
1
Αυτό σημαίνει ότι αν τροποποιήσουμε τη λαγκρανζιανή ώστε να γίνει
𝐿′ = 𝐿 − ∑𝑛𝑖=𝑛−𝑚+1 𝑐𝑖 𝑞̇ 𝑖 . (3.110)
έτσι το πρόβλημα τροποποιείται, γίνεται νέο πρόβλημα θεωρίας μεταβολών με ολοκλήρωμα δράσης το
𝑡
𝐼 ′ = ∫𝑡 2 𝐿′ 𝑑𝑡 . (3.111)
1
Σημειώνουμε ότι η τροποποιημένη λαγκρανζιανή διαφέρει από την αρχική κατά τον προσθετέο
𝑑𝐹(𝑞)
− ∑𝑛𝑖=𝑛−𝑚+1 𝑐𝑖 𝑞̇ 𝑖
= , οπότε αυτή οδηγεί στις ίδιες εξισώσεις κίνησης.
𝑑𝑡
Τώρα είναι ευνόητο ότι ο όρος από την παραγοντική ολοκλήρωση θα είναι μηδέν, επομένως δεν υπάρχει
πρόβλημα στο να αντικατασταθούν στη λαγκρανζιανή L τα 𝑞̇ των αγνοήσιμων μεταβλητών με χρήση των Εξ.
(3.101). Συνοψίζουμε τη διαδικασία εξάλειψης:
𝜕𝐿
1. Γράφουμε τις Εξ. (3.107),δηλαδή τις 𝜕𝑞̇ = 𝑐𝑘 , για τις αγνοήσιμες συντεταγμένες.
𝑘
2. Τροποποιούμε την αρχική λαγκρανζιανή L και καταλήγουμε στη νέα, L , Εξ. (3.110):
𝐿′ = 𝐿 − ∑𝑛𝑖=𝑛−𝑚+1 𝑐𝑖 𝑞̇ 𝑖 .
3. Εξαλείφουμε τις ταχύτητες 𝑞̇ των αγνοήσιμων q , υπολογίζοντας αυτές τις q , από τις Εξ. (3.100) και
αντικαθιστώντας στην Εξ. (3.110).
Έτσι το πρόβλημα θεωρίας μεταβολών έχει αναχθεί σε απλούστερο με λιγότερες μεταβλητές. Αφού
υπολογιστούν αυτές οι μεταβλητές, τις αντικαθιστούμε κατά τα γνωστά στις Εξ. (3.101) και ολοκληρώνοντας
βρίσκουμε και την εξέλιξη στον χρόνο των αγνοήσιμων μεταβλητών.
Στη συνέχεια ας υποθέσουμε ότι έχουμε λαγκρανζιανή από την οποία λείπουν οι ταχύτητες κάποιων
συντεταγμένων, m το πλήθος (έστω και πάλι τελευταίες στην κατάταξη), αυτές οι συντεταγμένες (μεταβλητές)
λέγονται αλγεβρικές μεταβλητές. Για τις αλγεβρικές μεταβλητές, από τις εξισώσεις Lagrange βρίσκουμε
L
0, i n m 1, n m 2,..., n . (3.112)
qi
Από αυτές, αν μπορούν να λυθούν, υπολογίζουμε τα qi , i n m 1, n m 2,..., n , συναρτήσει των
άλλων μεταβλητών, οπότε έχουμε
𝑞𝑖 = 𝑓𝑖 (𝑞1 , 𝑞2 , . . . , 𝑞𝑚 , 𝑞̇ 1 , 𝑞̇ 2 , . . . , 𝑞̇ 𝑚 , 𝑡), 𝑖 = 𝑛 − 𝑚 + 1, 𝑛 − 𝑚 + 2, . . . , 𝑛. (3.113)
Μπορούμε να βρούμε τις εξισώσεις κίνησης και να αντικαταστήσουμε τα q των Εξ. (3.113), όπου
υπάρχουν, οπότε έχουμε να λύσουμε σύστημα διαφορικών εξισώσεων με λιγότερες μεταβλητές, m το πλήθος.
Αφού βρούμε τη λύση αντικαθιστούμε στις Εξ. (3.113) και προσδιορίζουμε και τις υπόλοιπες. Όμως σύμφωνα
με την προηγούμενη ανάλυση, τώρα δεν θα υπάρχουν οι αντίστοιχοι όροι από την παραγοντική ολοκλήρωση
για τις τελευταίες m μεταβλητές, διότι δεν υπάρχουν οι ταχύτητες που δημιουργούν αυτούς τους όρους.
Επομένως η νέα λαγκρανζιανή L βρίσκεται από την αρχική L , με απλή αντικατάσταση των μεταβλητών από
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 113
τις Εξ. (3.113). Έτσι θα καταλήξουμε σε πρόβλημα θεωρίας μεταβολών με λιγότερες συντεταγμένες, από την
αρχή. Μετά τη λύση του βρίσκουμε τις υπόλοιπες με χρήση των Εξ. (3.113).
5. Ισοδύναμα ολοκληρώματα δράσης
Με την έννοια ισοδύναμα εννοούμε μια ειδική κατηγορία μετασχηματισμού που οδηγεί σε ολοκλήρωμα δράσης
από όπου με αρχή μεταβολών βρίσκουμε τις ίδιες εξισώσεις κίνησης. Αυτό θα δούμε ότι σχετίζεται άμεσα με
τον μετασχηματισμό βαθμίδας που είδαμε ότι ενώ τροποποιεί τη λαγκρανζιανή, οδηγεί στις ίδιες εξισώσεις
κίνησης.
Ας ξεκινήσουμε με το ολοκλήρωμα δράσης (ή τη δράση)
t2
I L(q, q, t )dt . (3.114)
t1
Σχηματίζουμε το ολοκλήρωμα
t2
dF ( q , t )
t1
d t
dt . (3.115)
Η συνάρτηση F ( q, t ) εξαρτάται από τη θέση και τον χρόνο και σε αυτό το ολοκλήρωμα υπεισέρχεται
η ολική της παράγωγος ως προς τον χρόνο. Προφανώς ισχύει
dF (q, t ) n F F
qi .
dt i 1 qi t
t2
dF (q, t )
Προσθέτουμε τις (3.114) και (3.115) οπότε έχουμε τη νέα δράση I1 I
t1
dt
dt .
Δηλαδή βρίσκουμε τη νέα δράση,
t2 t2
dF (q, t )
I1 L(q, q, t ) dt I dF (q, t ) I F q(t2 ), t2 F q(t1 ), t1 . (3.116)
t1
dt t1
Βλέπουμε ότι οι δυο δράσεις διαφέρουν κατά μια σταθερά, αφού τα t1 , t2 είναι σταθερά και οι τιμές
q(t1 ), q(t2 ) είναι καθορισμένες, σταθερές. Είναι ευνόητο ότι οι δυνατές μεταβολές αυτών είναι μηδέν.
Σχηματίζουμε τη δυνατή μεταβολή της δράσης I1 και βρίσκουμε,
δI1 δI δF (q(t2 ), t2 ) δF (q(t1 ), t1 ) δI . (3.117)
Οι δυο δράσεις διαφέρουν κατά μια σταθερά, η οποία κατά τη δυνατή μεταβολή δεν παίζει ρόλο, άρα οι
δυνατές μεταβολές των I , I1 είναι ίσες. Αυτό είναι ανεξάρτητο του αν είναι μηδέν ή όχι. Αν ισχύει η αρχή
Hamilton είναι και οι δυο μηδέν και με χρήση δεσμευτικών σχέσεων, αν υπάρχουν, καταλήγουμε και από τις
δυο δράσεις στις ίδιες εξισώσεις Lagrange και τελικές εξισώσεις κίνησης.
Εύκολα γίνεται κατανοητό ότι αυτό σχετίζεται με τροποποίηση της λαγκρανζιανής με προσθήκη σε
αυτήν της ολικής παραγώγου συνάρτησης της θέσης και του χρόνου. Οι δυο λαγκρανζιανές δίνουν τις ίδιες
εξισώσεις κίνησης, όπως ξέρουμε. Δηλαδή βρίσκουμε τη συσχέτιση με γνωστό μετασχηματισμό βαθμίδας. Θα
μπορούσαμε να ξεκινήσουμε από την τροποποίηση της λαγκρανζιανής αλλά προτιμήσαμε να ξεκινήσουμε
ανεξάρτητα, από την τροποποίηση της δράσης.
Αναλυτική Δυναμική 114
6. Το πρόβλημα της Θεωρίας Μεταβολών με παραμετροποίηση των τροχιών
x2
dy
Ξεκινούμε από το συναρτησιακό Z f ( y, y, x)dx,
x1
y
dx
, . Εννοείται ότι όλες οι τροχιές, η πραγματική
και οι γειτονικές περνούν από τα ίδια δυο ακραία σημεία στις θέσεις x1 , x2 , οπότε τα y ( x1 ), y ( x2 ) είναι
δεδομένα ίδια για όλες τις τροχιές. Ζητούμε την πραγματική διαδρομή (λύση) y y ( x ) η οποία οδηγεί σε
στάσιμη τιμή του συναρτησιακού. Θα οδηγηθούμε και πάλι στην εξίσωση Euler-Lagrange. Εδώ αναφέρουμε
αυτά που στις προηγούμενες περιπτώσεις θεωρήσαμε ότι ισχύουν σιωπηρώς. Δηλαδή, πρέπει να υπάρχουν
παράγωγοι της y ( x) μέχρι δεύτερης τάξης και να είναι συνεχείς, επίσης πρέπει να υπάρχουν οι παράγωγοι της
f ως προς τα ορίσματά της και να είναι συνεχείς.
Λύση
Διαλέγουμε ένα σύνολο από πολύ γειτονικές διαδρομές (τροχιές) στις οποίες περιέχεται και η πραγματική
διαδρομή. Αυτό πραγματοποιείται με παραμετροποίηση αυτών των πολύ γειτονικών τροχιών. Έστω ότι η
σχετική παράμετρος παριστάνεται με το . Η παραμετροποίηση για 0 πρέπει να μας οδηγεί σε στάσιμη
τιμή για το συναρτησιακό, δηλαδή στη λύση του προβλήματος, στην πραγματική τροχιά. Αυτή η
παραμετροποίηση για αρκετά κοντινές τροχιές έχει τη μορφή y ( x, ) y ( x, 0) ( x) .
y ( x, 0) y ( x) είναι η πραγματική τροχιά (η λύση) και ισχύουν ( x1 ) ( x2 ) 0 . Οι συναρτήσεις
( x), ( x) είναι συγκεκριμένες αλλά αυθαίρετες και, σύμφωνα με τα παραπάνω, πρέπει να έχουν μέχρι και
δεύτερες παραγώγους συνεχείς. Είναι ευνόητο ότι το συναρτησιακό είναι συνάρτηση της παραμέτρου ,
δηλαδή
x2
Z ( ) f y( x, ), y( x, ), x dx .
x1
y ( x, ) dZ
Εδώ ισχύει y . Για στάσιμη τιμή έχουμε 0 . Όμως ισχύει,
x d 0
f y f y
2 x
dZ
dx .
d x1 y y
Για το δεύτερο ολοκλήρωμα έχουμε
f y f y f 2 y
x2 2x 2 x
x y dx x y x dx x y x dx .
1 1 1
Με παραγοντική ολοκλήρωση βρίσκουμε
x2
f y f 2 y f y d f y
x2 x2 x2
x y dx x y x dx y
x1
dx y
dx .
1 1 x1
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 115
y ( x, ) y ( x, 0) ( x)
Έχουμε τη σχέση 0 ( x) x x , x 0 0 0 .
x x1 , x2 x x1 , x2
1 2
y
Επειδή ( x) , καταλήγουμε στη σχέση
f d f
2 x
dZ
( x)dx .
d x1 y dx y
dZ
Πρέπει να ισχύει 0 , οπότε έχουμε
d 0
f d f
x2
y dx y ( x)dx 0 .
x1 0
Το ( x) είναι αυθαίρετο, οπότε σύμφωνα με το θεμελιώδες λήμμα της θεωρίας μεταβολών καταλήγουμε
στην εξίσωση (Euler-)Lagrange,
f d f
0.
y dx y
Είναι ευνόητο ότι αν έχουμε πολλές συναρτήσεις yk k 1, 2,..., n , θα εισαχθούν αντίστοιχες
συναρτήσεις k ( x) , ενώ η παράμετρος θα είναι μία, η , και θα καταλήξουμε σε n εξισώσεις Lagrange, μια
για κάθε yk .
7. Ελάχιστη απόσταση μεταξύ δυο σημείων στο επίπεδο
Το πρόβλημα που τίθεται είναι να βρεθεί η καμπύλη που ενώνει δυο δεδομένα σημεία που βρίσκονται σε ένα
επίπεδο, έτσι που το μήκος της καμπύλης να είναι ελάχιστο.
Λύση
Όπως αναφέραμε στα προηγούμενα, θα εφαρμόσουμε τη θεωρία μεταβολών που σημαίνει ότι θα βρούμε πότε
έχουμε στάσιμη τιμή και θα υποθέσουμε ότι η στάσιμη τιμή αντιστοιχεί σε ελάχιστο μήκος. Θεωρούμε ότι
έχουμε καρτεσιανές συντεταγμένες
x, y . Ο άξονας x είναι οριζόντιος και ο y κατακόρυφος. Έστω ότι το
αρχικό σημείο είναι το (0,0) δηλαδή στην αρχή των αξόνων. Η έκφραση
y y ( x ) παριστάνει τυχαίο δρόμο
που συνδέει το αρχικό σημείο (0,0) με το τελικό δεδομένο σημείο
( x1 , y1 ) . Αν το στοιχειώδες μήκος πάνω σε
dy
αυτόν τον τυχαίο δρόμο είναι ds , έχουμε ds (dx) (dy ) και ds 1 y dx, y
2 2 2
. Το μήκος για
dx
1 x1
τυχαία διαδρομή από τη θέση (0,0) μέχρι τη θέση ( x1 , y1 ) είναι l01 ds 1 y dx . Η θεωρία μεταβολών
2
0 0
μας λέει ότι δl01 0 . Αυτό μας οδηγεί στην εξίσωση Lagrange και θέτοντας f 1 y βρίσκουμε
2
d f f f f y d y
0. Όμως 0 και άρα 0, οπότε
dx y y y y 1 y 2 dx 1 y2
Αναλυτική Δυναμική 116
y
C σταθερό . Από αυτήν βρίσκουμε y2 (1 C 2 ) C 2 οπότε αν C 2 1 , καταλήγουμε σε
1 y 2
πραγματική γενική λύση, στην y a σταθερό, άρα y ax b όπου b μια άλλη σταθερά. Η καμπύλη είναι
ευθεία, όπως αναμένουμε. Εφόσον η ευθεία περνά από το σημείο (0,0), έπεται ότι b 0 , y ax . Το a
y1
προσδιορίζεται (αν θέλουμε) από την απαίτηση η ευθεία να περνά και από το σημείο ( x1 , y1 ) , ισχύει a .
x1
8. Το πρόβλημα του βραχυστόχρονου
Αυτό είναι το πρόβλημα με το οποίο ο Jakob Bernoulli το 1696 έδωσε την αρχική ώθηση για την ανάπτυξη της
θεωρίας μεταβολών. Το πρόβλημα συνίσταται στο να βρεθεί η καμπύλη που ενώνει δυο δεδομένα σημεία, πάνω
σε ένα κατακόρυφο επίπεδο που βρίσκεται μέσα σε πεδίο βαρύτητας, όπου όταν υλικό σημείο αφεθεί χωρίς
αρχική ταχύτητα από το ανώτερο σημείο και διαγράφει τροχιά που είναι αυτή η καμπύλη (χωρίς τριβές),
πηγαίνει στο κατώτερο σημείο στον ελάχιστο χρόνο. Δεν ελέγχουμε αν έχουμε πράγματι ελάχιστο χρόνο, απλώς
βρίσκουμε στάσιμη διαδρομή.
Λύση
Θεωρούμε ότι έχουμε καρτεσιανές συντεταγμένες x, y Ο άξονας x είναι οριζόντιος και ο y κατακόρυφος
.
θετικός προς τα κάτω. Φανταζόμαστε ότι το αρχικό σημείο είναι το (0,0) δηλαδή στην αρχή των αξόνων. Έστω
ότι y y ( x ) παριστάνει τυχαίο δρόμο που συνδέει το αρχικό σημείο (0,0) με το τελικό δεδομένο σημείο
( x1 , y1 ) . Αν το στοιχειώδες μήκος πάνω σε αυτόν τον τυχαίο δρόμο είναι ds , και η ταχύτητα του σωματίου σε
τυχαία θέση είναι
( y ) , ισχύει για το χρονικό διάστημα T από την αρχική στην τελική θέση
01
1
ds
T01
0
( y)
1
m 2 mgy
η διατήρηση της μηχανικής ενέργειας δίνει 2 άρα
( y) 2 gy . Προφανώς ισχύουν
dy
ds 1 y2 dx, y
ds (dx) 2 (dy ) 2 dx .
άρα
Τελικώς για κάθε τροχιά έχουμε
1 y 2
x1
T01 dx
0
2 gy
.
Το πρόβλημα είναι να βρεθεί ο δρόμος
y y ( x ) που κάνει το ολοκλήρωμα στάσιμο (εδώ μπορεί να
δειχτεί ότι έχει ελάχιστη τιμή). Θέτοντας
1 y 2
f
2 gy
με τη θεωρία μεταβολών καταλήγουμε στην εξίσωση Euler-Lagrange
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 117
d f f
0.
dx y y
Εφόσον το f δεν εξαρτάται άμεσα από το x ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία (μπορούμε να
χρησιμοποιήσουμε το κατάλληλο θεώρημα διατήρησης που αναφέρεται αργότερα),
d f f
y 0
dx y y
ή
d f f f d f df d f
y y y y y f 0.
dx y y y dx y dx dx y
f
Άρα έχουμε y f C σταθερό .
y
f y 2 y 2 1 y 2 1
Ισχύει y οπότε C και τελικώς y (1 y2 ) 2 A .
y y (1 y2 ) y (1 y )
2 y C
Από αυτήν βρίσκουμε
y
x dy .
A y
Θέτουμε
A
y (1 cos ) A sin 2
2 2
οπότε καταλήγουμε στη σχέση
A
x sin 2 d ( sin ) B .
2 2
Η επιλογή μας x0 y0 0 σημαίνει ότι 0, y 0 , οπότε για τη σταθερά B ισχύει B 0 . Η
σταθερά A προσδιορίζεται από την απαίτηση η τροχιά να περνά από το σημείο ( x1 , y1 ) . Έχουμε τις σχέσεις
A A
x1 (1 sin 1 ), y1 (1 cos 1 ) . Από αυτές μπορούμε να βρούμε τα A και 1 . Προτιμούμε να
2 2
αφήνουμε την τροχιά να εξαρτάται από μια παράμετρο, την A . Έτσι η τροχιά σε παραμετρική μορφή δίνεται
A A
από τις σχέσεις x ( sin ), y (1 cos ) . Η λύση είναι μια κυκλοειδής καμπύλη.
2 2
9. Το πρόβλημα της ελαστικής ράβδου
Αναλυτική Δυναμική 118
Μια ελαστική ράβδος έχει σε κάθε σημείο της την ίδια διατομή. Η ράβδος έχει μήκος l .Η ανεξάρτητη
μεταβλητή x που παίρνει τιμές στο διάστημα 0, l χαρακτηρίζει τη θέση κατά μήκος της ράβδου. Υποθέτουμε
ότι στη ράβδο ασκείται φόρτος δηλαδή κατανεμημένη δύναμη κάθετα στη ράβδο, δύναμη ανά μονάδα μήκους,
df
σύμφωνα με τη συνάρτηση L ( x) . Η μετατόπιση των σημείων της ράβδου, υπό φόρτο, από τη θέση που
dx
έχουν όταν δεν υπάρχει φόρτος οπότε η ράβδος είναι ευθεία, παριστάνεται με y y ( x ) . Η μετατόπιση y
υποτίθεται αρκούντως μικρή. Η δυναμική ενέργεια που οφείλεται στις ελαστικές δυνάμεις (ένεκα της
l
k d2 y
παραμόρφωσης της ράβδου), αποδεικνύεται ότι δίνεται από τη σχέση Ve y dx, y 2 , k σταθ.
2
20 dx
l
Προφανώς η δυναμική ενέργεια που οφείλεται στον φόρτο δίνεται από τη σχέση VL L ydx , όπου η
0
(θετική) φορά του άξονα y είναι κατά τη φορά της δύναμης L dx όταν το L 0 . Ζητείται να βρεθεί το
σχήμα της ράβδου, y y ( x ) , κατά την ισορροπία της. Να διερευνηθεί το πρόβλημα με διαφόρων τύπων
συνοριακές συνθήκες.
Λύση
Στην ισορροπία, η ολική δυναμική ενέργεια πρέπει να είναι ελάχιστη, οπότε έχουμε να βρούμε τη στάσιμη τιμή
k
l l
του συναρτησιακού, V Ldx 2 y L y dx . Έχουμε την περίπτωση που η συνάρτηση
2
0 0
k 2
L y L y του συναρτησιακού εξαρτάται από τη δεύτερη παράγωγο της άγνωστης συνάρτησης y ( x )
2
. Παίρνοντας τη δυνατή μεταβολή, μετά την παραγοντική ολοκλήρωση θα καταλήξουμε στην εξίσωση Euler-
Lagrange και στον όρο συνόρου που πρέπει να ισούται με μηδέν. Συγκεκριμένα,
L d L d 2 L
0
y dx y dx 2 y
d4 y
άρα k L ( x).
dx 4
l
L d L L
δy δy 0.
y dx y y 0
Επειδή αυτή η συνήθης διαφορική εξίσωση είναι τέταρτης τάξεως υπάρχουν στη λύση της τέσσερις
σταθερές οι οποίες για να προσδιοριστούν χρειάζονται τέσσερις συνοριακές συνθήκες. Έτσι βρίσκεται λύση
πλήρως καθορισμένη.
Α) Τα άκρα στα 0, l της ράβδου είναι πακτωμένα έτσι ώστε
y (0) 0, y(0) 0, y (l ) 0, y(l ) 0.
Προφανώς δy (0) 0, δy(0) 0, δy (l ) 0, δy(l ) 0. Δηλαδή ο όρος συνόρου είναι πράγματι μηδέν
επειδή έχουν επιβληθεί οι (εξωτερικές) συνθήκες πάκτωσης των άκρων της ράβδου. Αυτές οι συνοριακές
συνθήκες είναι τέσσερις οπότε καθορίζουν τη λύση πλήρως.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 119
Β) Τα δυο άκρα στηρίζονται έτσι που ισχύουν y (0) 0, y (l ) 0 . Τα δy(0), δy(l ) είναι αυθαίρετα, αυτό
σημαίνει ότι για να μηδενιστεί ο συνοριακός όρος πρέπει να ισχύουν y(0) 0, y(l ) 0 . Οι τέσσερις
συνθήκες καθορίζουν πλήρως τη λύση.
Γ) Το ένα άκρο πακτωμένο και το άλλο ελεύθερο έτσι που y (0) 0, y(0) 0 . Τα y (l ), y (l ) δεν
καθορίζονται εκ των προτέρων.
Αυτά σημαίνουν ότι πρέπει να ισχύουν y(l ) 0, y(l ) 0. Έχουμε και πάλι τις τέσσερις συνθήκες που
χρειάζεται το πρόβλημα.
Δ) Και τα δυο άκρα ελεύθερα. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε, και για τα δυο άκρα, μόνο φυσικές συνοριακές
συνθήκες. Συγκεκριμένα, πρέπει y(0) 0, y(l ) 0, y(0) 0, y(l ) 0. Έχουμε και πάλι το σωστό
πλήθος συνοριακών συνθηκών.
Αυτή η τελευταία περίπτωση έχει κάποιες ιδιομορφίες. Είναι ευνόητο ότι η ράβδος δεν μπορεί γενικώς
να ισορροπεί υπό φόρτο χωρίς να στηρίζεται κάπου. Αν για παράδειγμα ο φόρτος (το φορτίο) είναι το βάρος
της ράβδου που την υποθέτουμε οριζόντια, τότε για να ισορροπεί χρειάζονται γενικώς δυο κατακόρυφες προς
τα πάνω δυνάμεις στήριξης. Τώρα θα θεωρήσουμε αυτές τις δυνάμεις στήριξης ως το όριο (συναρτήσεις δέλτα)
συνεχούς κατανομής δυνάμεων που συμπεριλαμβάνονται στη συνάρτηση L ( x) . Από τη γενική θεωρία
d4 y
διαφορικών εξισώσεων, αποδεικνύεται ότι στη διαφορική εξίσωση k 4 L ( x) , το δεξί μέλος μπορεί να
dx
4
d y
είναι αυθαίρετο μόνο αν η ομογενής της διαφορική εξίσωση, 0 , με τις συνοριακές συνθήκες της κάθε
dx 4
μιας περίπτωσης, δεν έχει άλλη λύση εκτός από την τετριμμένη λύση yh ( x) 0 .
Σε όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις Α), Β) και Γ) οι συνοριακές συνθήκες ήταν τέτοιες ώστε η
d 4 y ( x)
ομογενής διαφορική εξίσωση 0 , δεν είχε μη τετριμμένες λύσεις με τις συνοριακές συνθήκες της
d4 x
κάθε περίπτωσης.
Όμως στην τελευταία περίπτωση, την (Δ), υπάρχουν δυο τέτοιες ανεξάρτητες μεταξύ τους λύσεις, που
πληρούν τις σχετικές συνοριακές συνθήκες. Οι λύσεις είναι οι yh1 ( x) 1, yh 2 ( x) x . Για αυτή την περίπτωση
η θεωρία διαφορικών εξισώσεων λέει ότι για να έχει λύση το πρόβλημα συνοριακών τιμών πρέπει να ισχύουν
οι παρακάτω σχέσεις μεταξύ των λύσεων της ομογενούς και της συνάρτησης του δεύτερου μέλους της μη
ομογενούς διαφορικής εξίσωσης, δηλαδή της L ( x) ,
l l
y
0
h1 ( x) L ( x)dx 0, y 0
h2 ( x) L ( x)dx 0 .
Δηλαδή οι συναρτήσεις πρέπει να είναι ορθογώνιες.
Στη συγκεκριμένη περίπτωση έχουμε,
l l
0
L ( x)dx 0, x
0
L ( x)dx 0 .
Το φυσικό νόημα των τελευταίων σχέσεων είναι πως πρέπει το άθροισμα όλων των δυνάμεων που δρουν
στη ράβδο να ισούται με μηδέν και επίσης, το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων να ισούται με μηδέν. Αυτό
μπορεί να γίνει με δυο εντοπισμένες δυνάμεις που ισορροπούν τις συνεχώς κατανεμημένες δυνάμεις, όπως για
παράδειγμα τις δυνάμεις βαρύτητας ένεκα της κατανεμημένης μάζας της ράβδου.
10. Μελέτη της ταλάντωσης χορδής με χρήση της Θεωρίας Μεταβολών
Αναλυτική Δυναμική 120
Θεωρούμε ευθύγραμμη ομογενή ελαστική χορδή μήκους l , που βρίσκεται πάνω στον άξονα x , με τα άκρα
της στις θέσεις x 0, x l . Η χορδή ταλαντεύεται έτσι που η απομάκρυνση να είναι κατά μήκος του άξονα
y που είναι κάθετος στον άξονα x .
Οι απομακρύνσεις y y ( x, t ) από τη θέση ισορροπίας είναι αρκούντως μικρές και t είναι ο χρόνος ο
οποίος έχει τιμές στο διάστημα που μας ενδιαφέρει, έστω από 0 έως t1 , που είναι αυθαίρετο. Η απομάκρυνση
y ( x, t ) είναι αρκούντως μικρή άρα είναι πεπερασμένη. Δίνεται ότι η δυναμική ενέργεια ανά μονάδα μήκους
της χορδής και η κινητική ενέργεια ανά μονάδα μήκους, είναι αντιστοίχως,
dT 1 y dV 1 y
2 2
T1 , V1 Ft
dx 2 t dx 2 x
dm
όπου η μάζα ανά μονάδα μήκους της χορδής, ( x) , και Ft σταθ. η μηχανική τάση με την
dx
οποία η χορδή είναι τεντωμένη.
Ανάλογα με την επιλογή της συνάρτησης δy ( x, t ) στο σύνορο μπορεί να λυθούν διάφορα προβλήματα
της χορδής, με διαφορετικές αρχικές και συνοριακές συνθήκες.
Α) Θα αντιμετωπιστεί το πρόβλημα στη γενική περίπτωση συνοριακών συνθηκών και μετά θα
εξεταστεί η περίπτωση των φυσικών συνοριακών συνθηκών, ελεύθερο σύνορο.
Β) Στη συνέχεια θα εξεταστεί το πρόβλημα με συνοριακές συνθήκες Dirichlet και με συνθήκες
Neumann.
Γ) Θα πούμε πολύ λίγα λόγια για την περίπτωση που η χορδή έχει άπειρο μήκος.
Λύση
Α) Πρόκειται για δισδιάστατο μαθηματικό πρόβλημα, οι ανεξάρτητες μεταβλητές είναι η θέση και ο χρόνος
( x, t ) . Το πρόβλημα από πλευράς συντεταγμένων θέσης είναι μονοδιάστατο. Η ολική δυναμική ενέργεια της
1 y 1 y
l 2 l 2
χορδής είναι V Ft dx και η ολική κινητική είναι T dx . Από αυτές βρίσκουμε τη
0
2 x 0
2 t
λαγκρανζιανή του συστήματος
l
1 y 2 1 y 2
L T V Ft dx .
2 t 2 x
0
t1
Σχηματίζουμε το ολοκλήρωμα δράσης (συναρτησιακό), I Ldt που τελικώς γίνεται
0
t1 l
1 y 2 1 y 2 1 y 2 1 y 2
I Ft dxdt Ft dS .
0 0 2 t 2 x 2 t 2 x
S
Το δισδιάστατο χωρίο ολοκλήρωσης είναι το ορθογώνιο στο επίπεδο ( x, t ) που ορίζεται από τα τέσσερα
σημεία που δηλώνονται στην αγκύλη, S (0,0),(l ,0),(l , t1 ),(0, t1 ) και φαίνονται στο παρακάτω Σχήμα 3.3.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 121
Σχήμα 3.3 Ο χώρος θέσης-χρόνου στο πρόβλημα της χορδής.
1 y 1 y
2 2
Θέτουμε F Ft . Υποθέτουμε ότι ανεξάρτητα από την επιλογή των συνθηκών
2 t 2 x
στο σύνορο πρέπει να ισχύει δI 0 . Με τη διαδικασία που αναφέραμε στα προηγούμενα, δηλαδή επιλέγοντας
κατάλληλα την δy ( x, t ) , οδηγούμαστε στην εξίσωση Euler-Lagrange. Όμως πρέπει και ο όρος (ολοκλήρωμα)
στο «μαθηματικό σύνορο» να είναι μηδέν. Δηλαδή έχουμε τις σχέσεις:
d F d F F y y
0, yt , yx
dt yt dx yx y t x
F dx F dt
σύνορο δyds 0.
c
yt ds yx ds
Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα είναι πάνω στον δρόμο c που είναι το σύνορο του ορθογώνιου S . Το
στοιχειώδες μήκος κατά μήκος του c είναι ds . Βλέπε το παραπάνω σχήμα. Η εξίσωση Euler-Lagrange οδηγεί
στη μερική διαφορική εξίσωση της ταλαντευόμενης χορδής, κυματική εξίσωση χορδής,
2 y 2 y
( x) F 0.
t 2 x 2
t
Αν ( x) σταθ. , καταλήγουμε στην πιο απλή κυματική εξίσωση της χορδής, δηλαδή στην
2 y 1 2 y Ft
0, w = σταθ. = ταχύτητα διάδοσης όλων των κυμάτων στη χορδή,
x 2 w2 t 2
ανεξαρτήτως συχνότητας. Ας εξετάσουμε την περίπτωση φυσιολογικών συνοριακών συνθηκών. Συγκεκριμένα,
υποθέτουμε ότι παντού στο σύνορο το δy c είναι αυθαίρετο, τότε η χρήση του θεμελιώδους λήμματος της
F dx F dt
θεωρίας μεταβολών μάς οδηγεί στο ότι πρέπει στο σύνορο να ισχύει 0. Από αυτήν
yt ds y x ds
βρίσκουμε για το σύνορο τη σχέση,
y dx y dt
Ft 0.
t ds x ds
Το σύνορο αποτελείται από τέσσερις ευθείες 1, 2, 3, 4 , οπότε:
Αναλυτική Δυναμική 122
α) κατά μήκος της ευθείας 1, δηλαδή μεταξύ των σημείων (0, 0), (l , 0) ισχύουν ds dx, dt 0 . Η σχέση
y ( x, 0)
συνόρου οδηγεί στη σχέση 0 . Αυτή η σχέση ισχύει την αρχική στιγμή t 0 , για όλα τα σημεία
t
της χορδής. Δηλαδή η αρχική ταχύτητα του κάθε σημείου της χορδής είναι μηδέν. Όταν οι ανεξάρτητες
μεταβλητές είναι η θέση και ο χρόνος, συνηθίζεται να ξεχωρίζουμε τις «συνοριακές» συνθήκες σε αυτές που
αντιστοιχούν στον χρόνο που λέγονται αρχικές (μπορεί να είναι και τελικές) συνθήκες και σε αυτές που
αντιστοιχούν στη θέση (συνήθους χώρου) οι οποίες λέγονται συνοριακές συνθήκες. Η παραπάνω φυσιολογική
συνθήκη είναι αρχική συνθήκη.
β) Κατά μήκος της ευθείας 2 έχουμε ds dt , dx 0 , επομένως η σχέση συνόρου δίνει για το άκρο της χορδής
στη θέση l , για το χρονικό διάστημα που μας ενδιαφέρει,
y (l , t )
0 t t1 , 0.
x
Με τη συνηθισμένη ορολογία που αναφέραμε προηγουμένως, αυτή είναι συνοριακή συνθήκη (συνθήκη που
αναφέρεται στο σύνορο του θεσικού χώρου, δηλαδή του συνήθους χώρου) αφού ισχύει κάθε χρονική στιγμή
για το άκρο με x l .
γ) Κατά μήκος της ευθείας 3 ισχύουν ds dx, dt 0 , οπότε ανάλογα με την περίπτωση (α), έχουμε τη
y ( x, t1 )
στιγμή t t1 για κάθε σημείο της χορδής 0 . Δηλαδή η «τελική» ταχύτητα κάθε σημείου της χορδής
t
είναι μηδέν.
δ) Η τελευταία ευθεία είναι η 4. Ανάλογα με την περίπτωση (β), έχουμε ds dt , dx 0 και η σχέση
y (0, t )
συνόρου δίνει 0 . Αυτή είναι συνοριακή συνθήκη με τη συνήθη έννοια, για την “αρχή» της χορδής
x
και ισχύει κάθε χρονική στιγμή στο διάστημα χρόνου που μας ενδιαφέρει.
Οι συνθήκες στις οποίες καταλήξαμε είναι οι φυσιολογικές συνοριακές συνθήκες γιατί προέκυψαν από
τη θεωρία μεταβολών, δεν μπήκαν εξ αρχής από εμάς.
Η προηγούμενη ανάλυση, οδηγεί στην περίπτωση χορδής που τα δυο άκρα της είναι δέσμια να κινούνται
πάνω σε ευθείες κάθετες στη χορδή. Στα δυο άκρα, κάθε χρονική στιγμή, η εφαπτόμενη ευθεία στη χορδή είναι
παράλληλη στον άξονα x . Αυτές οι συνθήκες σχετίζονται με το γεγονός ότι στα δυο «ελεύθερα» άκρα δε
μπορεί να ασκηθούν δυνάμεις κάθετες στη χορδή. Τα άκρα της χορδής καταλήγουν σε κρίκους που κινούνται
(χωρίς τριβή) κατά μήκος ράβδων κάθετων στη χορδή. Αν στη χορδή διαδίδονται στάσιμα κύματα, τότε στα
άκρα έχουμε κοιλίες.
Β) Υποθέτουμε ότι παντού στο μαθηματικό σύνορο, δηλαδή κατά τη διαδρομή c , δy c 0 . Δηλαδή το
ολοκλήρωμα στο σύνορο είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι παντού στο σύνορο η απομάκρυνση είναι
καθορισμένη. Προφανώς, ισχύει η εξίσωση Lagrange που οδηγεί στη γνωστή κυματική εξίσωση για τη χορδή.
Στη συνέχεια παρατηρούμε τα εξής: Κατά τη διαδρομή 1 έχουμε y ( x,0) f 0 ( x) , η δυνατή μεταβολή είναι
δy ( x, 0) 0 . Αυτό σημαίνει ότι την αρχική χρονική στιγμή το σχήμα της χορδής είναι δεδομένο, αρχική
συνθήκη. Κατά τη διαδρομή 2 έχουμε ότι y (l , t ) yl (t ) , δηλαδή το άκρο με x l κινείται κατά καθορισμένο
τρόπο (διέγερση στο άκρο), μπορεί να είναι και ακίνητο, η δυνατή μεταβολή γράφεται ως δy (l , t ) 0 . Για τη
διαδρομή 3 ισχύει το ανάλογο της 1, δηλαδή y ( x, t1 ) f1 ( x) , η δυνατή μεταβολή είναι δy( x, t1 ) 0 . Επομένως
την τελική στιγμή, t1 , το σχήμα της χορδής είναι δεδομένο, τελική συνθήκη. Για την διαδρομή 4, ισχύει το
ανάλογο της 2, δηλαδή y(0, t ) y0 (t ) και δy (0, t ) 0 . Αυτό σημαίνει ότι το άκρο με x 0 κινείται με
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 123
καθορισμένο τρόπο (διέγερση άκρου), μπορεί να είναι και ακίνητο. Αυτό είναι πρόβλημα συνοριακών τιμών
Dirichlet (Dirichlet boundary value problem).
Στη συνέχεια, ξεκινούμε από το ολοκλήρωμα στο σύνορο το οποίο για τη χορδή είναι
y dx y dt
t ds F x ds δyds 0 .
c
t
Θεωρούμε ότι κατά μήκος των διαδρομών 2 και 4 το δy c είναι αυθαίρετο ενώ στις άλλες διαδρομές 1,
y (0, t )
3 είναι μηδέν, δy c 0 , αυτά οδηγούν στο ότι y ( x,0) f 0 ( x) , y ( x, t1 ) f1 ( x) και 0 και
x
y (l , t )
0 . Δηλαδή το αρχικό και τελικό σχήμα της χορδής είναι καθορισμένα και η κλίση στο αρχικό και
x
τελικό σημείο είναι μηδέν. Αυτό είναι πρόβλημα συνοριακών τιμών Neuman.
Αυτό που δε φαίνεται να προκύπτει με την παραπάνω θεωρία μεταβολών που χρησιμοποιήσαμε, είναι
ότι μπορεί κάποιος να δώσει την αρχική θέση της χορδής y ( x,0) f 0 ( x) και τις αρχικές ταχύτητες
y ( x, 0)
g 0 ( x) και μαζί με κατάλληλες συνοριακές συνθήκες στα δυο άκρα να προσδιορίσει πλήρως την
t
κίνηση της χορδής. Αυτές είναι συνθήκες τύπου Cauchy.
Γενικώς μπορεί κάποιος να εξετάσει συνδυασμούς των παραπάνω συνοριακών συνθηκών.
Χωρίς μαθηματική αυστηρότητα αναφέρουμε ότι η περίπτωση που το ένα ή και τα δυο άκρα της χορδής
βρίσκονται στο άπειρο, μπορεί να αντιμετωπιστεί ως εξής: Μπορούμε να σκεφτούμε ότι για κάθε πεπερασμένη
χρονική στιγμή η «παραμόρφωση» της χορδής εκτείνεται σε πεπερασμένο διάστημα, είναι εντοπισμένη. Αυτό
y ( x, t )
σημαίνει ότι και οι αρχικές ή/και τελικές τιμές για τη χορδή, y ( x, t ) , και οι αντίστοιχες ταχύτητες ,
t
αναφέρονται σε πεπερασμένο διάστημα της χορδής, ενώ έξω από αυτό το διάστημα είναι μηδέν. Στη συνέχεια
μπορούμε να θεωρήσουμε ότι για κάθε δεδομένο πεπερασμένο χρόνο t και για αρκούντως μεγάλο x , τα
y ( x, t )
y ( x, t ), τείνουν στο μηδέν ή είναι μηδέν. Αυτό δικαιολογείται διότι για κάθε πεπερασμένο t , η
t
απομάκρυνση της χορδής και οι ταχύτητες των σημείων της, δεν έχουν προλάβει να αλλάξουν από την αρχική
τους τιμή που είναι μηδέν, η διάδοση δεν είναι ακαριαία, δηλαδή έχουμε και πάλι εντοπισμένη διαταραχή.
Παρατηρούμε ότι οι συνοριακές συνθήκες στο/στα άκρα της χορδής στο άπειρο, οδηγούν σε μηδενισμό των
αντίστοιχων τμημάτων του ολοκληρώματος συνόρου, όπως πρέπει. Στην πράξη, αυτά σημαίνουν ότι η χορδή
έχει αρκούντως μεγάλο μήκος έτσι ώστε για το χρονικό διάστημα περιγραφής που μας ενδιαφέρει, η
«διαταραχή» να μην έχει φτάσει στο πολύ απομακρυσμένο άκρο, οπότε δεν έχουμε εκεί «ανάκλαση».
11. Μελέτη της ανάκλασης του φωτός με χρήση της Θεωρίας Μεταβολών
Υποθέτουμε ότι η διάδοση γίνεται στο επίπεδο xy όπως φαίνεται στο παρακάτω Σχήμα 3.4. Το φως ξεκινά
από το σημείο 1 ( x1 , y1 ), στο σημείο Α ( 0, y0 ) συναντά το επίπεδο κάτοπτρο που είναι κατά μήκος του άξονα
y , κάθετο στον άξονα x , ανακλάται και συνεχίζει την πορεία του μέχρι το σημείο 2( x2 , y2 ) .
Λύση
Εφαρμόζουμε την Αρχή Ήρωνος-Fermat, δηλαδή η διαδρομή πρέπει να είναι τέτοια ώστε ο χρόνος που
χρειάζεται για να τη διατρέξει το φως να είναι ελάχιστος σε σχέση με πολύ γειτονικούς δρόμους. Επειδή η
ταχύτητα είναι σταθερή, αυτό ισοδυναμεί με το ότι η διαδρομή πρέπει να έχει το ελάχιστο μήκος.
Αναλυτική Δυναμική 124
Σχήμα 3.4 Η ανάκλαση του φωτός στη θεωρία μεταβολών.
Όπως έχουμε πει και στα προηγούμενα το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με οποιονδήποτε τρόπο που μας
οδηγεί στο ελάχιστο του συνολικού δρόμου. Επομένως μπορούμε να ακολουθήσουμε τον απλό τρόπο που είναι
γνωστός και από τη Γενική Φυσική και από μαθήματα της Μαθηματικής Ανάλυσης. Δηλαδή, μπορεί να
θεωρήσουμε ως σταθερό το σημείο Α, να δείξουμε ή να πάρουμε ως δεδομένο ότι η διαδρομή 1,Α είναι ευθεία
και ότι η διαδρομή Α,2 είναι επίσης ευθεία. Το πρόβλημα που πρέπει να αντιμετωπίσουμε στο τέλος είναι: ποιο
είναι το σημείο (0, y0 ) όπου γίνεται η ανάκλαση, ώστε το άθροισμα των δυο ευθύγραμμων διαδρομών να είναι
ελάχιστο. Αυτό που εννοούμε είναι ότι αν το σημείο ανάκλασης μετακινείται λίγο πάνω κάτω, οι γειτονικές
θέσεις του οδηγούν σε μεγαλύτερες διαδρομές από την πραγματική. Έχει σημασία ότι κατά τις μικρές διαδρομές
το Α κινείται πάνω σε ευθεία (στην πραγματικότητα σε επίπεδο).
Για λόγους διδακτικούς, δεν θα ακολουθήσουμε αυτή την απλή διαδικασία αλλά την πιο πολύπλοκη, που
ακολουθεί. Το στοιχειώδες μήκος κατά μήκος της διαδρομής του φωτός είναι
dy
ds 1 yx2 dx F ( yx ) dx >0, y x , F ( yx ) 1 y x2 .
dx
x2 x2 x2
Z ds και δZ δ ds δFdx 0 .
x1 x1 x1
Το σημείο (0, y0 ) θεωρούμενο ως σημείο πάνω στη διαδρομή 1,Α το γράφουμε ως (01 , y01 ) . Το ίδιο
σημείο πάνω στη διαδρομή 2,Α το γράφουμε ως (02 , y02 ) . Αυτό όπως θα δούμε είναι χρήσιμο διότι υπάρχει
ασυνέχεια στην παράγωγο y x , σε αυτό το σημείο. Έχουμε
x2 01 x2
δZ δFdx δFdx δFdx 0 .
x1 x1 02
F d F d F
δF δyx δy δy .
yx dx yx dx yx
Αντικαθιστούμε στην παραπάνω σχέση και αφού λάβουμε υπόψη ότι δy( x1 ) δy( x2 ) 0 καθώς και ότι
δy(01 ) δy(02 ) δy(0) αυθαίρετο, βρίσκουμε:
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 125
F d F F d F
01 x 2
δZ δy (01 ) δy dx δy (02 ) δy dx 0 .
yx x1
dx yx yx 01
dx yx
Τα δy δy ( x ) είναι για την κάθε διαδρομή αυθαίρετα οπότε καταλήγουμε στις σχέσεις
F F d F d F
και 0 για τη διαδρομή 1,Α και επίσης 0 για τη διαδρομή Α,2.
y x 01
y x 02
dx y x dx y x
Εύκολα προκύπτει ότι οι διαφορικές εξισώσεις οδηγούν σε ευθύγραμμες διαδρομές μεταξύ των σημείων
( x1 , y1 ) (0, y0 ) και των (0, y0 ) ( x2 , y2 ) αντιστοίχως. Μπορείτε να κάνετε τους υπολογισμούς μόνοι σας.
Εδώ θα εξετάσουμε τη συνθήκη στο σημείο ( (0, y0 ) .
F yx
. Στη θέση (0, y0 ) ή καλύτερα στις θέσεις (0, y01 ) (0, y02 ) πάνω στις δυο ακτίνες που
y x 1 y x2
yx (01 )
συναντιούνται στο κάτοπτρο (σημείο προσπτώσεως), έχουμε ότι sin 1 , όπου 1 είναι
1 yx2 (01 )
yx (02 )
η γωνία μεταξύ της ευθείας 1,Α και του άξονα x και sin 2 , όπου 2 είναι η γωνία μεταξύ της
1 yx2 (02 )
ευθείας Α,2 και του άξονα x . Δηλαδή βρίσκουμε ότι sin 1 sin 2 , που ουσιαστικά σημαίνει ότι η γωνία
προσπτώσεως ισούται με τη γωνία ανακλάσεως. Τα πρόσημα σημαίνουν ότι οι δυο γωνίες είναι θετικές ή
αρνητικές αν βρίσκονται πάνω ή κάτω από τον άξονα x . Οι γωνίες προσπτώσεως και ανακλάσεως είναι 1
και 2 .
12. Εισαγωγή στα βαρυτικά κύματα και την ανίχνευσή τους με συμβολομετρία
Το θέμα της ύπαρξης και της ανίχνευσης βαρυτικών κυμάτων έχει απασχολήσει την επιστημονική κοινότητα
από τότε που διατυπώθηκε η Γενική Σχετικότητα (1916). Ο πρώτος που ασχολήθηκε με πειράματα άμεσης
ανίχνευσής τους ήταν ο Joseph Weber στη δεκαετία των 1960. Η μέθοδος που ακολούθησε στηριζόταν στη
δύναμη που ασκεί το βαρυτικό κύμα σε έναν κύλινδρο με μεγάλη μάζα. Ασκούνται δυνάμεις συμπίεσης και
εφελκυσμού οπότε αναμένεται να προκαλούνται ταλαντώσεις στον κύλινδρο. Αυτό θα οδηγούσε σε
συντονισμούς και η μέθοδος λέγεται μέθοδος με ανιχνευτές συντονισμού.
Ο Weber και οι συνεργάτες του έφτιαξαν εξαιρετικά ευαίσθητες συσκευές ανίχνευσης πάρα πολύ μικρών
ταλαντώσεων, αλλά δεν μπόρεσαν να ανιχνεύσουν βαρυτικά κύματα. Από την ίδια περίοδο (μέσα των 1960)
ξεκίνησε η ιδέα να γίνει και πάλι άμεση ανίχνευση με χρήση συμβολομετρίας με λέηζερ. Αυτό οδήγησε στον
σχεδιασμό και κατασκευή τέτοιων ανιχνευτών στα 2000.
Η σημασία της ανίχνευσης βαρυτικών κυμάτων είναι σημαντική όχι μόνο για την επιβεβαίωση της
Γενικής Σχετικότητας αλλά και της διάκρισης μεταξύ διαφόρων επεκτάσεων της Γενικής Θεωρίας της
Σχετικότητας και την καλύτερη κατανόηση του σύμπαντος. Για πρώτη φορά το 2016 δυο συστήματα
ανιχνευτών αυτού του τύπου, σε μεγάλη απόσταση μεταξύ τους στις ΗΠΑ, ανίχνευσαν για πρώτη φορά άμεσα
βαρυτικά κύματα. Πρόκειται για το πρόγραμμα, συνεργασία LIGO (Laser Interferometer Gravitational wave
Observatory). Έμμεσα υπήρχε από πριν ανίχνευση στηριζόμενη στην απώλεια ενέργειας ένεκα παραγωγής
βαρυτικών κυμάτων από διπλούς αστέρες. Θα ασχοληθούμε μόνο με τη συμβολομετρική μέθοδο ανίχνευσης.
Στο Σχήμα 3.5 φαίνεται το σχηματικό διάγραμμα της διάταξης ενός από τους δυο ανιχνευτές. Έχει τη
μορφή συμβολομέτρου Michelson.
Αναλυτική Δυναμική 126
Σχήμα 3.5 Διάγραμμα της διάταξης ανίχνευσης βαρυτικών κυμάτων.
Στην προσέγγιση ασθενών βαρυτικών πεδίων, για τα πεδία των βαρυτικών κυμάτων ισχύει εξίσωση
ελεύθερου κύματος παρόμοια με τη γνωστή εξίσωση κυμάτων. Σε αυτή την περίπτωση ο μετρικός τανυστής
γράφεται g h , όπου είναι ο γνωστός τανυστής του Minkowski.
Ισχύουν h 1 . Μπορούμε να πούμε ότι σε ένα «επίπεδο» υπόβαθρο, , έχουμε μια μικρή
διαταραχή, h , που οφείλεται στα βαρυτικά κύματα και αυτή είναι που μας ενδιαφέρει. Δηλαδή έχουμε μια
μικρή μεταβολή στον μετρικό τανυστή και ισχύει:
2 1 2
2 2 h 0 .
c t
Αυτή είναι η συνήθης εξίσωση κυμάτων με ταχύτητα αυτήν της διάδοσης του φωτός στο κενό, c . Στην
κατάλληλη αναπαράσταση, τα κύματα είναι εγκάρσια, κάθετα στην διεύθυνση διάδοσης την οποία εδώ θα
θεωρούμε πως είναι η z (θετική κατεύθυνση), η κάθετη στο επίπεδο του ανιχνευτή που φαίνεται στο Σχήμα
3.5. Η γενική λύση της παραπάνω εξίσωσης κυμάτων για μια συχνότητα και διάδοση κατά μήκος του άξονα
z , μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δυο ανεξάρτητων λύσεων, που σε μιγαδική μορφή είναι
11e
exp i(kz t ) και 12e
exp i(kz t ) , δηλαδή h Re 11e 12e exp i(kz t ) .
Ισχύει η γνωστή σχέση k . Οι δυο λύσεις αντιστοιχούν στην πόλωση + (plus, συν) και στην πόλωση
c
(cross, διαγώνια) αντιστοίχως. Τα e και e είναι οι τελεστές επίπεδης πόλωσης των βαρυτικών κυμάτων
που διαδίδονται κατά τη διεύθυνση z . Υπάρχουν και κυκλικά πολωμένα κύματα (ανάλογα με αυτά που
ισχύουν για τον Ηλεκτρομαγνητισμό) που είναι γραμμικός συνδυασμός αυτών των δυο επίπεδων κυμάτων. Δεν
θα αναφερθούμε σε αυτά τα κύματα. Ισχύουν οι σχέσεις
0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0
e , e
0 0 -1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
Έχουμε 11 22 hxx hyy , 12 21 hxy hyx που γενικώς μπορεί να είναι και μιγαδικά. Έτσι
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 127
μπορούμε να γράψουμε
0 0 0 0
0 11 12 0
h ( z , t ) Re exp i kz t
0 12 -11 0
0 0 0 0
Το κύμα με πόλωση + είναι ανάλογο του xx 11 . Κύμα με πόλωση είναι ανάλογο του
xy 12 ( 21 ) . Η πιο γενική μορφή κύματος (διαταραχής) είναι υπέρθεση μονοχρωματικών κυμάτων,
οπότε ισχύει
0 0 0 0
0 f (z ct ) f (z ct ) 0
h ( z, t )
0 f (z ct ) -f (z ct ) 0
0 0 0 0
Τα βαρυτικά κύματα δεν μπορούν να ανιχνευτούν τοπικά, διότι σύμφωνα με την αρχή της ισοδυναμίας,
για μικρές περιοχές τα φαινόμενα της βαρύτητας μπορεί να εξαλειφθούν. Έτσι δεν μπορεί να ανιχνευτούν το
βαρυτικά κύματα με χρήση ενός μόνο δοκιμαστικού σωματίου. Μπορεί να ανιχνευτούν από την επίδρασή τους
πάνω σε δυο ή περισσότερα δοκιμαστικά σωμάτια που βρίσκονται σε διαφορετικά (απομακρυσμένα μεταξύ
τους) σημεία στον χώρο. Θα ασχοληθούμε με το θέμα αυτό, με χρήση συμβολομετρίας και δυο δοκιμαστικά
σωμάτια σε ελεύθερη πτώση μέσα στο πεδίο του βαρυτικού κύματος.
Η αρχή της μεθόδου φαίνεται στο Σχήμα 3.5. Η πηγή φωτός είναι ένα λέηζερ. Στη θέση Ο υπάρχει
ημιδιαφανές πλακίδιο, διαχωριστής δέσμης φωτός. Η δέσμη φωτός από το λέηζερ χωρίζεται σε δυο δέσμες, μια
κατά τον άξονα x και μια κατά τον y . Σε ίσες αποστάσεις από το Ο υπάρχουν κάτοπτρα, έχουμε ΟΑ=ΟΒ=
L . Οι δέσμες ανακλώνται στα κάτοπτρα και επιστρέφουν στο Ο και μετά από διέλευση και ανάκλαση στον
διαχωριστή φτάνουν στον ανιχνευτή φωτός. Η ανίχνευση στηρίζεται στο γεγονός ότι η διέλευση βαρυτικού
κύματος από τη διάταξη μεταβάλει τις σχετικές φάσεις των συμβαλλόντων κυμάτων φωτός στον ανιχνευτή.
Μια πρώτη σκέψη είναι ότι, η βαρύτητα επηρεάζει τον χώρο αλλά και το μήκος κύματος του φωτός κατά τον
ίδιο τρόπο, επομένως είναι αδύνατο να ανιχνευτούν βαρυτικά κύματα με συμβολομετρία. Είναι σαν να λέμε ότι
το μήκος που θέλουμε να μετρήσουμε και το μέτρο που θα χρησιμοποιήσουμε μεταβάλλονται με τον ίδιο τρόπο
από τη βαρύτητα οπότε η μέτρηση δεν θα διαφέρει από αυτήν όταν δεν υπάρχει βαρύτητα. Η παρακάτω
ανάλυση θα δείξει ότι η μέθοδος της συμβολομετρίας οδηγεί σε ανίχνευση βαρυτικών κυμάτων.
Έχουμε για τις συνιστώσες του τανυστή του βαρυτικού πεδίου ακτινοβολίας:
h11 f ( z ct ), h12 f ( z ct ), h21 h12 f ( z ct ), h22 h11 f ( z ct )
Οι άλλες συνιστώσες του τανυστή είναι μηδέν. Για αρμονικό κύμα έχουμε
h11 Re 11exp i(kz t ) , h12 Re 12 exp i(kz t )
h21 h12 Re 12 exp i(kz t ) , h22 h11 Re 11exp i(kz t )
Οι άλλες συνιστώσες είναι μηδέν. Τα h11 , h22 σχετίζονται με βαρυτικά κύματα +, ενώ τα h12 , h21
με κύματα .
Στη συνέχεια θα εξετάσουμε την παραμόρφωση που προκαλεί η διέλευση βαρυτικού κύματος σε μια
κυκλική διάταξη δοκιμαστικών σωματίων που βρίσκονται στο επίπεδο 𝑥, 𝑦, με το 𝑧 δεδομένο. Τα σωμάτια δεν
αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, είναι αρχικώς ακίνητα σε έναν χώρο Minkowski. Το βαρυτικό κύμα επηρεάζει
Αναλυτική Δυναμική 128
πολύ λίγο τη μετρική του χώρου, στην επίπεδη μετρική Minkowski, 𝜂𝜇𝜈 , προστίθεται το πεδίο ακτινοβολίας
ℎ𝜇𝜈 . Θυμίζουμε ότι έχουμε για τον πολύ λίγο διαταραγμένο χώρο Minkowski, τη σχέση 𝑔𝜇𝜈 = 𝜂𝜇𝜈 + ℎ𝜇𝜈 . Τώρα
υποθέτουμε πως έχουμε αρμονικό κύμα τύπου +, ℎ𝑥𝑥 = ℎ 𝑐𝑜𝑠( 𝑘𝑧 − 𝛺𝑡). Σύμφωνα με τα προηγούμενα
βρίσκομε
1 0 0 0
0 -1+hxx (t) 0 0
g
0 0 -1-hxx (t ) 0
0 0 0 -1
Άρα ds c dt 1 hxx (t ) dx 1 hxx (t ) dy dz . Η φυσική (natural, φυσιολογική) χωρική
2 2 2 2 2 2
απόσταση δυο υλικών σημείων μια χρονική στιγμή t, όταν έχουν συντεταγμένες (0,0,0) και
(0 x, 0 y, 0) (z σταθ.) είναι
l 2 1 hxx (t ) x2 1 hxx (t ) y 2 .
Επομένως l 1 h cos(kz t ) x 1 h cos(kz t ) y . Ο πρώτος όρος αντιστοιχεί στη
2 2 2
φυσική απόσταση κατά τον άξονα x και ο δεύτερος κατά τον y .
Στο Σχ. 3.6 με ανοικτά κυκλάκια φαίνεται η αρχική κυκλική διάταξη των δοκιμαστικών σωματίων.
Όταν (kz t ) 2nπ , τότε l 1 h(t ) x 1 h(t ) y x y h( y x ) , οπότε έχουμε
2 2 2 2 2 2 2
ελλειπτική διάταξη όπως στο Σχήμα 3.6α.
1
Όταν (kz t ) 2n π τότε l x y , οπότε έχουμε κυκλική διάταξη, Σχήμα 3.6β.
2 2 2
2
Όταν (kz t ) (2n 1)π τότε έχουμε τη διάταξη, έλλειψη, του Σχ. 3.6γ.
3
Όταν (kz t ) 2n π έχουμε και πάλι κυκλική διάταξη, Σχ. 3.6δ, κοκ.
2
Ανάλογα ισχύουν για κύμα με πόλωση . Σε αυτή την περίπτωση οι σχηματισμοί, ως προς τους ίδιους
άξονες x, y , θα έχουν περιστραφεί κατά 45ο αντίστροφα από τους δείκτες του ρολογιού.
Σχήμα 3.6 Επίδραση βαρυτικού κύματος σε δοκιμαστικά σωμάτια με κυκλική διάταξη.
Συνεχίζουμε με την αρχή λειτουργίας της συμβολομετρικής μεθόδου ανίχνευσης βαρυτικών κυμάτων.
Για ευκολία θεωρούμε ότι το βαρυτικό κύμα διαδίδεται κάθετα στο επίπεδο των δυο βραχιόνων που επίσης
είναι κάθετοι μεταξύ τους, ΟΑ και ΟΒ, Σχ. 3.5. Το κύμα είναι τύπου +. To σύστημα αξόνων είναι το
τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων x, y, z . Τα κάτοπτρα και ο διαχωριστής φωτός είναι τρεις
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 129
δοκιμαστικές μάζες (ελεύθερες, δηλαδή σε ελεύθερη πτώση στο πεδίο βαρύτητας του κύματος. Αυτό
επιτυγχάνεται διότι οι μάζες αυτές είναι εξαρτημένες από νήματα και αποτελούν τρία εκκρεμή που οι περίοδοί
τους είναι κατά πολύ μεγαλύτερες από την περίοδο και τη διάρκεια του βαρυτικού κύματος. Επίσης πολύ
μεγαλύτερες από τη διάρκεια της μέτρησης. Η ελεύθερη πτώση που μας ενδιαφέρει νοείται στο επίπεδο xy .
Το βαρυτικό πεδίο περιγράφεται σε σύστημα συντεταγμένων που είναι το λεγόμενο Transverse Traceless
Gauge (Εγκάρσιας Βαθμίδας Μηδενικού Ίχνους). Ισχύει πως το βαρυτικό κύμα δεν επηρεάζει τη διαμήκη
συνιστώσα, z . Η μετρική στο επίπεδο x, y είναι ds c dt 1 h (t ) dx 1 h (t ) dy . Χωρίς
2 2 2 2 2
βαρύτητα ds c dt dx dy , δηλαδή έχουμε μετρική Minkowski. Οι συντεταγμένες x, y ενός σημείου
2 2 2 2 2
ή ενός «ελεύθερου» δοκιμαστικού σωματίου, είναι σταθερές ανεξάρτητα από την ύπαρξη ή μη βαρυτικού
κύματος. Από τα προηγούμενα συμπεραίνουμε ότι η φυσική απόσταση μεταξύ του σημείου (0,0) και του
σημείου (dx, 0) πάνω στον άξονα x , είναι dlx (1 h )dx .
2 2
Για τον άξονα y έχουμε dl y (1 h )dy . Δηλαδή, η φυσική απόσταση μεταξύ δυο δοκιμαστικών
2 2
σωματίων σε ελεύθερη πτώση, μεταβάλλεται όταν διέρχεται βαρυτικό κύμα. Για κύμα τύπου + οι μεταβολές
κατά μήκος των αξόνων είναι αντίθετες, όταν στην διεύθυνση x είναι μεγέθυνση, στην y είναι σμίκρυνση
και αντιθέτως. Ας δούμε τώρα τι γίνεται με το φως. Υποθέτουμε ότι από το Ο ξεκινά παλμός φωτός κινούμενος
1
κατά μήκος του x . Για το φως ισχύει ds 2 0 , άρα cdt (1 h )dx 0 . Δηλαδή dt 2 (1 h )dx 2 . Για
2 2
2
c
1
τον άξονα y έχουμε cdt (1 h )dy 0 και dt 2 (1 h )dy 2 . Επομένως, από τα προηγούμενα
2 2
c2
dl x dl y
προκύπτει ότι η φυσική ταχύτητα του φωτός κατά μήκος του x και κατά μήκος του y , είναι η
dt dt
γνωστή c , δηλαδή δεν επηρεάζεται από την ύπαρξη του βαρυτικού κύματος. Ας φανταστούμε στη συνέχεια
ότι από το Ο στέλνονται ταυτόχρονα δυο παλμοί φωτός προς τα κάτοπτρα στις διευθύνσεις x και y . Το
επόμενο βήμα είναι να βρούμε πότε γύρισε στο Ο παλμός που ξεκίνησε από το Ο και ανακλάστηκε στο
κάτοπτρο Α. Υποθέτουμε ότι η τιμή του h (t ) δεν μεταβάλλεται σημαντικά από την τιμή που είχε τη στιγμή
t0 που ξεκίνησαν οι παλμοί μέχρι την επιστροφή τους στο Ο, h (t ) h (t0 ) . Αυτό σημαίνει ότι η περίοδος
του βαρυτικού κύματος είναι κατά πολύ μεγαλύτερη από τους χρόνους διαδρομής των παλμών στους δυο
βραχίονες της διάταξης. Έστω t1 η στιγμή που ο παλμός φτάνει στο Α, από τα προηγούμενα έχουμε για τον
L
1
βραχίονα x , t1 t0 1 h (t0 )dx . Αφού h 1 έχουμε 1 h (t0 ) 1 h (t0 ) , μετά την
0 2
1 1
ολοκλήρωση βρίσκουμε t1 t0 L 1 h (t0 ) . Για τον βραχίονα y βρίσκουμε t2 t0 L 1 h (t0 ) ,
2 2
t 2 είναι ο χρόνος διαδρομής από τη θέση Ο στη θέση του κατόπτρου Β. Για τις αντίστροφες διαδρομές (τότε
1
0
ισχύουν dx 0, dy 0 ) έχουμε αντιστοίχως: t1O t1 1 h (t0 )dx L 1 h (t0 ) ,
L 2
1
0
t2O t2 1 h (t0 )dx L 1 h (t0 ) , t1O , t2O είναι οι χρόνοι αφίξεως στο Ο των παλμών που
L 2
οδεύουν κατά μήκος του x και y αντιστοίχως. Αυτά σημαίνουν ότι οι χρόνοι αφίξεως των δυο παλμών που
2L
ξεκίνησαν συγχρόνως, διαφέρουν κατά Δt h (t0 ) . Ας φανταστούμε τώρα πως αντί για παλμούς έχουμε
c
σύμφωνα αρμονικά κύματα φωτός λέηζερ. Έστω ότι τα δυο κύματα είναι συμφασικά όταν ξεκινούν. Είδαμε
πως η φυσική ταχύτητα του φωτός είναι c . Ας παρακολουθήσουμε ένα (θετικό) «μέγιστο» του
ηλεκτρομαγνητικού κύματος, αυτά τα μέγιστα παίζουν τον ρόλο του παλμού που μελετήσαμε και εκπέμπονται
με ρυθμό που εξαρτάται από τη συχνότητα του φωτός.
Αναλυτική Δυναμική 130
Για ευκολία στον συλλογισμό μας, ας υποθέσουμε ότι τα μέγιστα για τους δυο βραχίονες ξεκίνησαν τη
στιγμή t0 . Αυτά σημαίνουν ότι κατά την άφιξη των δυο φωτεινών κυμάτων στον ανιχνευτή έχουν διαφορά
2L
φάσης Δ Δt h (t0 ) . είναι η κυκλική συχνότητα του φωτός του λέηζερ. Αν χρησιμοποιήσουμε
c
4πL
το μήκος κύματος του φωτός βρίσκουμε Δ h (t0 ) . Η ένταση του φωτός στον ανιχνευτή εξαρτάται
από τη διαφορά φάσης, Δ , των δυο συμβαλλόντων φωτεινών κυμάτων, η οποία εξαρτάται από το μέγεθος
της βαρυτικής διαταραχής h (t0 ) . Πράγματι,
1 1
cos(t Δ ) cos(t )=2cos (t Δ t )cos (t Δ t )
2 2
2cos(Δ / 2) cos(t Δ /2).
Όταν δεν υπάρχει διαφορά φάσης, Δ 0 , το πλάτος διπλασιάζεται, προσθετική συμβολή, όταν
Δ π , έχουμε καταστροφική συμβολή, αλληλοαναίρεση, και το κύμα μηδενίζεται. Στην περίπτωσή μας το
Δ είναι μικρό. Ο ανιχνευτής μας δίνει αυτή τη βαρυτική διαταραχή που αντιστοιχεί στο βαρυτικό κύμα. Η
διαφορά φάσης εξαρτάται επίσης από το μήκος L των βραχιόνων. Οι βραχίονες πρέπει να έχουν μεγάλο μήκος
για να είναι το φαινόμενο ανιχνεύσιμο. Εδώ αναφερόμαστε απλώς στην βασική αρχή του πειράματος, υπάρχουν
βελτιώσεις, όπως η αύξηση του ενεργού μήκους των βραχιόνων αλλά γι’ αυτό παραπέμπουμε στη σχετική
βιβλιογραφία. Υπάρχει και άλλος τρόπος θεώρησης του ίδιου φαινομένου τον οποίο σκιαγραφούμε στα
επόμενα. Στην προηγούμενη ανάλυση, ουσιαστικά χρησιμοποιήσαμε συντεταγμένες με χρήση κοσμικών
γραμμών που διαγράφουν σημειακές δοκιμαστικές μάζες σε ελεύθερη πτώση. Αντί γι’ αυτό, στη συνήθη
πρακτική του εργαστηρίου γίνεται χρήση στερεών μετρητικών διατάξεων (στερεών ράβδων-μέτρων). Στη
Γενική Σχετικότητα η κίνηση δεν γίνεται με χρήση της συνήθους βαρυτικής δύναμης αλλά με την καμπύλωση
του χωρόχρονου. Στη φύση όμως υπάρχουν και οι μη βαρυτικές δυνάμεις, η επίδραση των οποίων μπορεί και
περιγράφεται σε αδρανειακά συστήματα συντεταγμένων, όπως πολλές φορές του εργαστηρίου. Είναι γεγονός
πως στην προσέγγιση που μας ενδιαφέρει εδώ, των ασθενών βαρυτικών πεδίων, μπορούμε να ξεφύγουμε από
την εικόνα της Γενικής Σχετικότητας και να χρησιμοποιήσουμε τη «νευτώνεια» θεώρηση όπου η βαρύτητα
εισέρχεται ως δύναμη όπως και οι άλλες δυνάμεις. Τα αποτελέσματα είναι τα ίδια αλλά η «γλώσσα» που
χρησιμοποιείται είναι πιο συνηθισμένη. Ας μελετήσουμε το ίδιο φαινόμενο ανίχνευσης βαρυτικών κυμάτων.
Τώρα φανταζόμαστε ότι χρησιμοποιούμε στερεούς κανόνες-μέτρα κατά μήκος των αξόνων x, y . Είδαμε ότι
όταν το βαρυτικό κύμα πέρασε από το σύστημα των δοκιμαστικών μαζών, οι χρόνοι διαδρομής από την
κεντρική μάζα προς τις δυο άλλες και πίσω, ήταν διαφορετικοί. Ας δούμε πως μπορούμε να περιγράψουμε το
ίδιο πράγμα στη συνήθη γλώσσα του συστήματος του «εργαστηρίου». Αν υποθέσουμε ότι οι δοκιμαστικές
μάζες κινούνται ένεκα της δύναμης του βαρυτικού κύματος, μπορούμε να έχουμε μια συνεπή εικόνα του
φαινομένου. Αυτό που χρειάζεται είναι να σκεφτούμε ότι το βαρυτικό κύμα προκαλεί παλιρροϊκές δυνάμεις
στο κάθε ζεύγος σωματίων και αυτό θα κάνει τα σωμάτια να κινηθούν η μια σε σχέση με την άλλη. Μπορεί να
δειχτεί ότι, ένεκα του βαρυτικού κύματος, είναι σαν οι δυο μάζες να δέχονται δυνάμεις FW που δίνονται από
τις παρακάτω σχέσεις:
Για γραμμική πόλωση + , οι συνιστώσες είναι,
1 2h 1 2 hyy 1 2h
Fx mL 2xx , Fy mL 2 mL 2xx
2 t 2 t 2 t
Για γραμμική πόλωση , οι συνιστώσες είναι,
1 2 hxy 1 2 hxy
Fx mL 2 , Fy mL 2
2 t 2 t
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 131
Η δύναμη είναι ανάλογη προς τη μάζα m των δοκιμαστικών σωματίων, όπως απαιτεί η Αρχή της
Ισοδυναμίας. Επίσης η δύναμη είναι ανάλογη της μεταξύ τους απόστασης L . Αυτό είναι γνωστό για τις
συνήθεις παλιρροϊκές δυνάμεις.
Τώρα η ερμηνεία του φαινομένου είναι: Στο σύνηθες σύστημα συντεταγμένων του «εργαστηρίου», η
1
απόσταση μεταξύ των ελεύθερων μαζών μεταβάλλεται, όπως θα δούμε, κατά ΔL Lh . Αν x, y είναι οι
2
διαφορές συντεταγμένων μεταξύ του κατόπτρου και του διαχωριστή, έχουμε για την πόλωση +
2 x 1 2 hxx 2 y 1 2 hxx
m 2 mL 2 , m 2 mL 2
t 2 t t 2 t
Έχουμε επομένως
2 x 1 2 hxx 2 y 1 2 hxx
L , L 2
t 2 2 t 2 t 2 2 t
Ισχύουν οι σχέσεις
2 hxx
hxx a cos(kz t ), a 2 cos(kz t )
t 2
x
2
1 1
a L 2 cos(kz t ), τελικώς x a L cos(kz t )
t 2
2 2
Επομένως
1
ΔL = Lh
2 .
Ανάλογα ισχύουν για την πόλωση . Όλα τα προηγούμενα είναι σε συμφωνία με το Σχ. 3.6.
Στις δυο περιπτώσεις, στα δυο συστήματα συντεταγμένων, το ίδιο φαινόμενο και ειδικά η ίδια μέτρηση,
περιγράφεται με τελείως διαφορετική γλώσσα. Στις Transverse Traceless συντεταγμένες, οι ελεύθερες μάζες
κάνουν ελεύθερη πτώση, η κάθε μια είναι ακίνητη σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων, έχει τις δικές της
σταθερές συντεταγμένες, ανεξάρτητα από το πεδίο βαρύτητας. Ο χρόνος διαδρομής του φωτός μεταξύ δυο
τέτοιων μαζών μεταβάλλεται επειδή μεταβάλλεται η μετρική του χωρόχρονου.
Στις συνήθεις συντεταγμένες του εργαστηρίου, μεταβάλλεται ο χρόνος διαδρομής του φωτός επειδή οι
δοκιμαστικές μάζες μετακινούνται ως προς το σύστημα συντεταγμένων. Και οι δυο εικόνες είναι σωστές. Η
δεύτερη εικόνα είναι πιο βολική για τον συνδυασμό του βαρυτικού κύματος με φαινόμενα «δυνάμεων
θορύβου» διαφόρων μορφών. Η μέθοδος με τις Transverse traceless συντεταγμένες είναι καλύτερη όταν
θέλουμε να εξετάσουμε άλλες περιπτώσεις, όπως όταν δοκιμαστικές μάζες διαχωρίζονται από μεγάλες
αποστάσεις, συγκρίσιμες ή μεγαλύτερες από το μήκος κύματος του βαρυτικού κύματος.
Σημειώνουμε ότι οι βραχίονες των δυο ανιχνευτών LIGO που βρίσκονται σε μεγάλη μεταξύ τους
απόσταση, είναι στον ένα 4 km και στον άλλο 2 km. Αναφέρουμε απλώς ότι η δυνατότητα των ανιχνευτών
είναι να ανιχνεύσουν μεταβολές μήκους των βραχιόνων της τάξης του
Δl
1021
l .
Για l 4 km , Δl 4 1018 m , μικρότερο κατά παράγοντα 1/1000 από την ακτίνα του πρωτονίου.
Και όμως γίνεται!
Οι δυο ανεξάρτητες γραμμικές πολώσεις του βαρυτικού κύματος «διαφέρουν» κατά 45 ο στο εγκάρσιο
Αναλυτική Δυναμική 132
επίπεδο x, y . Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα βαρυτικά κύματα σχετίζονται με έναν συμμετρικό τανυστή
2ης τάξης, h . Από αυτό προκύπτει επίσης ότι το βαρυτόνιο (το κβάντο του βαρυτικού πεδίου) έχει σπιν 2.
Στον ηλεκτρομαγνητισμό οι δυο ανεξάρτητες γραμμικές πολώσεις διαφέρουν κατά 90ο. Αυτό οφείλεται στο ότι
τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα σχετίζονται με ένα (τετρα)διανυσματικό πεδίο, το , που είναι τανυστής 1ης
τάξης. Σε αυτό οφείλεται ότι το αντίστοιχο κβάντο (φωτόνιο) έχει σπιν ισο με 1.
13. Ολοκληρώματα Τροχιών
Ο φορμαλισμός των Ολοκληρωμάτων Τροχιών (Path Integral formulation) της Κβαντομηχανικής οφείλεται
αρχικά στον Dirac αλλά διατυπώθηκε στην τελική μορφή της από τον Feynman. Η δράση ή (ολοκλήρωμα
δράσης) στην Κλασική Μηχανική είναι στάσιμη κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος. Ας
περιοριστούμε στην κίνηση ενός σωματιδίου σε μια διάσταση. Η λαγκρανζιανή είναι της μορφής L L( x, x, t )
tb
και η δράση είναι I L( x, x, t )dt . Για δεδομένη τροχιά x x(t ) προσδιορίζεται η ταχύτητα x x(t ) και
ta
από το ολοκλήρωμα υπολογίζεται η τιμή της δράσης για την εν λόγω τροχιά. Η πραγματική τροχιά είναι αυτή
για την οποία η δράση είναι στάσιμη κατά τα γνωστά. Το κινητό τη στιγμή t a βρίσκεται στη συγκεκριμένη
θέση a , xa x(ta ) και τη στιγμή t b βρίσκεται στη θέση b , xb x(tb ) . Σε αυτή τη περίπτωση υπάρχει μια
τροχιά την οποία διαγράφει το κινητό για την οποία η δράση έχει μια συγκεκριμένη τιμή.
Στην περίπτωση της Κβαντομηχανικής (της μη σχετικιστικής), τα πράγματα είναι διαφορετικά, τώρα
μιλούμε για την πιθανότητα να πάει το σωματίδιο από τη θέση a στη θέση b . Για να βρεθεί αυτή η πιθανότητα
συμβάλουν όλες οι διαδρομές (τροχιές) μεταξύ αυτών των δυο σημείων. Η κάθε τροχιά υπεισέρχεται με ίδιο
«βάρος» αλλά με διαφορετική φάση. Συγκεκριμένα, για κάθε μια τροχιά μεταξύ των a,b η τιμή του
ολοκληρώματος δράσης εξαρτάται από την τροχιά, x x(t ) , και η συμβολή στο κβαντομηχανικό πλάτος,
i
ισούται με μια σταθερά επί exp I [ x(t )] . Το συνολικό πλάτος ισούται με το άθροισμα των πλατών όλων
των τροχιών. Αυτό παριστάνεται με το σύμβολο K (b,a) του λεγόμενου διαδότη. Έχουμε τον συμβολισμό
i
b
K (b,a)= exp I x(t ) Dxx(t ) .
a
Αυτό είναι το ολοκλήρωμα τροχιών, το Dxx (t ) δηλώνει ότι η ολοκλήρωση γίνεται σε όλες τις τροχιές.
2
Η πιθανότητα μετάβασης από το a στο b δίνεται από τη σχέση: P (b,a)= K (b,a) . Μπορεί να υπολογιστεί
η κυματοσυνάρτηση κάθε χρονική στιγμή και για κάθε σημείο του συνήθους χώρου. Δείχνεται ότι ισχύει η
εξίσωση Schroedinger. Μπορεί να δειχτεί ότι στο κλασικό όριο όπου I , το σωματίδιο ακολουθεί μια
τροχιά για την οποία το I έχει στάσιμη τιμή. Αν όμως αυτό δεν ισχύει τότε όλες οι τροχιές συμβάλλουν στη
διαδικασία.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 133
Προβλήματα
1. Βρείτε τη μετρική, δηλαδή τα g ij , α) στον συνήθη τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, με χρήση καρτεσιανών
συντεταγμένων, με χρήση σφαιρικών και με χρήση κυλινδρικών συντεταγμένων. β) Βρείτε τη μετρική για
δισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, για καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες. γ) Βρείτε τη μετρική πάνω στην
επιφάνεια σφαίρας ακτίνας R , με σφαιρικές συντεταγμένες, δ) πάνω σε (απέραντη) κυλινδρική επιφάνεια
ακτίνας διατομής R , με κυλινδρικές συντεταγμένες
2. Θεωρήστε ότι υλικό σημείο κινείται μέσα σε πεδίο βαρύτητας g ενώ βρίσκεται συνεχώς πάνω σε
κατακόρυφο άξονα z , με τη θετική φορά προς τα κάτω. Γράψτε τη λαγκρανζιανή του προβλήματος. Στη
συνέχεια θεωρήστε ότι είναι γνωστό πως η λύση του προβλήματος με άγνωστες παραμέτρους είναι της μορφής,
z z (t ) t t 2 , , , σταθερές . Υποθέστε ότι τη στιγμή t1 0 το σωμάτιο είναι στη θέση
z1 0 και τη στιγμή t 2 βρίσκεται στη θέση z2 . Υπολογίστε τις παραμέτρους , συναρτήσει των ανωτέρω
t2
t1 , z1 , t2 , z2 . Στη συνέχεια υπολογίστε το ολοκλήρωμα δράσης (ή τη δράση) I Ldt . Ισχύει προφανώς ότι
0
αυτό είναι γνωστό ως συνάρτηση της παραμέτρου που σημαίνει ότι για διάφορες λύσεις της ανωτέρω
μορφής που υπακούν στις δεδομένες αρχική και τελική συνθήκη στο διάστημα 0( t1 ) t t2 . Θεωρήστε ότι
το I I ( ) είναι στάσιμο για μικρές μεταβολές της παραμέτρου. Προσδιορίστε με αυτή την απαίτηση το .
3. Θεωρήστε ότι μέσα στο πεδίο βαρύτητας g , σωμάτιο κινείται σε κατακόρυφο άξονα z που έχει θετική
φορά προς τα κάτω. Υποθέστε ότι τη στιγμή t 0 το σωμάτιο βρίσκεται στη θέση z 0 και αργότερα τη
στιγμή t 2 βρίσκεται στη θέση z2 . Βρείτε τη λαγκρανζιανή L του σωματίου. Α) Θεωρήστε τη διαδρομή για
1 2 z 1
την οποία ισχύει za 0t gt , 0 2 gt2 . Αυτή είναι συμβατή με την αρχική και τελική συνθήκη.
2 t2 2
t2
Υπολογίστε τη δράση (το ολοκλήρωμα δράσης) I a Ldt για την ανωτέρω διαδρομή. Στη συνέχεια
0
παραμετροποιήστε τις γειτονικές προς την προηγούμενη τροχιές σύμφωνα με τη σχέση
1 2
zb 0t gt at (t t2 ), 0< 1, a 0 . Αυτή η σχέση είναι επίσης συμβατή με την αρχική και την
2
t2
τελική συνθήκη. Υπολογίστε το I b Ldt για αυτές τις γειτονικές (παραλλαγμένες) διαδρομές. Βρείτε τη
0
z2
διαφορά I ba I b I a . Β) Θεωρήστε τη διαδρομή zc bt , b . Η αρχική και η τελική συνθήκες
t2
t2
πληρούνται. Υπολογίστε το I c Ldt για την ανωτέρω διαδρομή. Στη συνέχεια κάντε την παραμετροποίηση
0
zd bt at (t t2 ), 0< 1, a 0 . Προφανώς και οι δυο συνθήκες πληρούνται. Υπολογίστε το
t2
I d Ldt . Βρείτε τη διαφορά I dc I d I c .
0
Ποιά είναι η πραγματική διαδρομή που ακολουθεί το σωμάτιο;
4. Υποθέστε ότι έχετε ένα είδος γενικευμένης μηχανικής όπου η λαγκρανζιανή εξαρτάται και από δεύτερες
παραγώγους των γενικευμένων συντεταγμένων ως προς τον χρόνο, δηλαδή
L L(q, q, q, t ), q (q1 , q2 ,..., qn ) . Εφαρμόστε την αρχή του Hamilton με τους περιορισμούς ότι στα άκρα
Αναλυτική Δυναμική 134
της ολοκλήρωσης οι «μεταβολές» (variations) όχι μόνο των qi αλλά και των qi είναι μηδέν και δείξτε ότι οι
εξισώσεις των Euler-Lagrange παίρνουν τη μορφή:
d 2 L d L L
0.
dt 2 qi dt qi qi
t2
Θυμίζουμε ότι η αρχή του Hamilton λέει ότι δI δ L(q, q, q, t )dt 0 . Κάντε εφαρμογή για
t1
m k
L qq q 2 . Να δουλέψετε την ειδική αυτή περίπτωση αυτοτελώς, δηλαδή χωρίς χρήση της γενικής
2 2
θεωρίας που έχουμε δώσει.
5. α) Υποθέστε ότι ένα σύστημα κατανάλωσης ηλεκτρικής ενέργειας τροφοδοτείται από περιοδική τάση (t )
της οποίας η περίοδος είναι T , (t ) 0 t T .
Να δείξετε ότι για δεδομένη μέση ισχύ P που καταναλώνει το ηλεκτρικό σύστημα, για να είναι η ενεργός τιμή
του ρεύματος ελάχιστη, πρέπει το ρεύμα με το οποίο τροφοδοτείται το σύστημα να είναι της μορφής
P
i(t ) (t ) . Αυτό σημαίνει ότι τα (t ), i (t ) πρέπει να έχουν την ίδια μορφή και να είναι συμφασικά (σε
rms
φάση). Τι είδους «φαινόμενο» φορτίο (φόρτος) πρέπει να παρουσιάζει το σύστημα; Θυμηθείτε την περίπτωση
της αρμονικής τάσης. β) Θεωρήστε ένα κουτί με σχήμα ορθογώνιου παραλληλόγραμμου που περιέχει ένα υγρό
με ομοιόμορφη πυκνότητα . Ο πυθμένας του κουτιού είναι οριζόντιος και το σύστημα βρίσκεται μέσα σε
πεδίο βαρύτητας, g . Δείξτε ότι κατά την ισορροπία η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού είναι οριζόντια.
6. α) Να εξεταστεί η περίπτωση κίνησης χορδής μήκους l ( 0 x l ) με πακτωμένα άκρα, πάνω στην οποία
dF
ασκείται κάθετα, εξωτερική δύναμη (φόρτος, φορτίο) τέτοια που f ( x, t ) . Δηλαδή η f ( x, t ) είναι ο
dx
φόρτος ανά μονάδα μήκους. β) Να εξεταστεί η περίπτωση ισορροπίας της χορδής, όταν η εξωτερική δύναμη
είναι f f ( x ) . Να γίνει εφαρμογή αν η χορδή είναι οριζόντια και η εξωτερική δύναμη είναι το ομοιόμορφα
mg
κατανεμημένο βάρος της, οπότε προφανώς f .
l
7. Να λύσετε το πρόβλημα της Διδώς. Δηλαδή, να βρεθεί η επίπεδη κλειστή καμπύλη που έχει δεδομένο μήκος
και περικλείει επίπεδη επιφάνεια με το μέγιστο εμβαδόν.
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αντιμετώπισης του προβλήματος. Να ακολουθηθεί η μέθοδος
ισοπεριμετρικών προβλημάτων της θεωρίας μεταβολών. Υποθέστε ότι η καμπύλη έχει στο εσωτερικό της την
αρχή των συντεταγμένων. α) Εργαστείτε σε πολικές συντεταγμένες, ( r , ) . β) Εκφράστε την καμπύλη σε
καρτεσιανές συντεταγμένες παραμετρικά, δηλαδή, x x( ), y y ( ) , όπου η γωνία των πολικών
συντεταγμένων.
8. Βρείτε το σχήμα ομογενούς μη εκτατού εύκαμπτου νήματος που τα δυο του άκρα είναι ακλόνητα στερεωμένα
και βρίσκεται μέσα σε πεδίο βαρύτητας. Να ακολουθηθεί η μέθοδος ισοπεριμετρικών προβλημάτων της
θεωρίας μεταβολών (αλυσοειδής καμπύλη).
9. Βρείτε τη διαφορική εξίσωση κίνησης που προκύπτει από τη λαγκρανζιανή α) L t 3 xx 2 txx 2 και β) από
τη λαγκρανζιανή L t 2 xx tx 2 .
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 135
10. Θεωρήστε ότι χορδή υπό μηχανική τάση Ft , εκτελεί αρκούντως μικρού πλάτους ταλαντώσεις. Στη χορδή
δεν ασκούνται και άλλες δυνάμεις εκτός από τη μηχανική τάση. Η πυκνότητα μάζας της χορδής είναι ( x ) ,
x η θέση κατά μήκος της χορδής. Δείξτε ότι η κινητική ενέργεια ανά μονάδα μήκους και τη δυναμική ενέργεια
ανά μονάδα μήκους της χορδής, δίνονται αντιστοίχως, από τις ακόλουθες σχέσεις:
dT 1 y dV 1 y
2 2
T1 , V1 Ft .
dx 2 t dx 2 x
11. Βρείτε τον νόμο του Snell της διάθλασης του φωτός με χρήση της θεωρίας μεταβολών. Υποθέστε ότι οι
ακτίνες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Τα δυο μέσα χωρίζονται με μια επίπεδη επιφάνεια κάθετη στο επίπεδο
των ακτίνων. Η ταχύτητα του φωτός στο κάθε ένα μέσο είναι ίδια σε κάθε σημείο του μέσου και διαφορετική
στα δυο μέσα. Εφαρμόζετε αυτό που λέγεται Αρχή Ήρωνος-Fermat. Σύμφωνα με αυτή την αρχή, ο χρόνος που
κάνει το φως να πάει από ένα σημείο σε κάποιο άλλο είναι ο ελάχιστος δυνατός. Η σύγκριση γίνεται μεταξύ
γειτονικών τροχιών.
12. Θεωρήστε το πρόβλημα της ανάκλασης του φωτός σε επίπεδο κάτοπτρο ξανά. Το φως κινείται στο μέσο
διάδοσης με σταθερή ταχύτητα. Εφαρμόστε θεωρία μεταβολών και δείξτε ότι η προσπίπτουσα και η
ανακλώμενη βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο που είναι κάθετο στο κάτοπτρο και φυσικά ότι η γωνία προσπτώσεως
είναι ίση με τη γωνία ανακλάσεως. Εφαρμόζετε αυτό που λέγεται Αρχή Ήρωνος-Fermat. Σύμφωνα με αυτή την
αρχή, ο χρόνος που κάνει το φως να πάει από ένα σημείο σε κάποιο άλλο είναι ο ελάχιστος δυνατός. Η σύγκριση
γίνεται μεταξύ γειτονικών τροχιών.
Για ευκολία στους υπολογισμούς να πάρετε τα δυο σημεία πάνω στο επίπεδο xy των αξόνων του
συστήματος συντεταγμένων. Το κάτοπτρο να είναι πάνω στο επίπεδο yz . Θυμίζουμε ότι μπορείτε να
χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε τρόπο για να λύσετε ένα πρόβλημα θεωρίας μεταβολών, οπότε για ευκολία, να
λύσετε το πρόβλημα θεωρώντας ως δεδομένο ότι η διάδοση του φωτός μέσα σε μέσο όπου η ταχύτητά του είναι
σταθερή, είναι σε ευθεία γραμμή. Έτσι η διαδικασία που θα ακολουθήσετε απαιτεί απλή εφαρμογή
στοιχειώδους (Μαθηματικής) Ανάλυσης.
13. Υποθέστε ότι έχουμε χορδή απείρου μήκους ( 0 x ) που έχει πυκνότητα ανά μονάδα μήκους =
σταθερή. Η μηχανική τάση της χορδής είναι δεδομένη Ft , σταθερή. Στo άκρο x 0 της χορδής υπάρχει
συνδεδεμένη σημειακή μάζα m , η οποία συνδέεται επίσης με ελατήριο σταθεράς k . H θέση ισορροπίας της
χορδής είναι και η θέση ισορροπίας του ελατηρίου-υλικού σημείου. Προσδιορίστε τη λαγκρανζιανή του
συστήματος και με θεωρία μεταβολών βρείτε την (διαφορική) εξίσωση κίνησης.
14. Το πρόβλημα του ταυτόχρονου, συνίσταται στο να βρεθεί επίπεδη καμπύλη, σε κατακόρυφο επίπεδο μέσα
σε πεδίο βαρύτητας, g , τέτοια που από οποιοδήποτε σημείο της αφεθεί υλικό σημείο να την διαγράψει, φτάνει
στο κατώτατο σημείο κινούμενο ίδιο χρονικό διάστημα. H καμπύλη είναι μέρος κυκλοειδούς. Καταστρώστε το
πρόβλημα και με οποιονδήποτε τρόπο καταλήξτε στο ανωτέρω συμπέρασμα.
15. Εφαρμόστε τη μέθοδο της εξάλειψης της γωνιακής συντεταγμένης στο πρόβλημα του Kepler. Η
συντεταγμένη αυτή είναι αγνοήσιμη. Υποθέστε ότι η κίνηση είναι στο επίπεδο. Βρείτε την τροποποιημένη
λαγκρανζιανή. Βρείτε την ενεργειακή συνάρτηση και δείξτε ότι ισούται με τη μηχανική ενέργεια. Δείξτε ότι
αυτή διατηρείται. Από τη διατήρησή της δείξτε πως υπολογίζεται η πολική συντεταγμένη συναρτήσει του
χρόνου, r r (t ) και στη συνέχεια η γωνιακή, (t ) . Βεβαιωθείτε ότι καταλήγετε στις ίδιες εξισώσεις
κίνησης όπως και με την καθιερωμένη μέθοδο, χωρίς την εξάλειψη.
16. Δείξτε πως λύνεται το πρόβλημα του σφαιρικού εκκρεμούς, εφαρμόζοντας τη μέθοδο εξάλειψης της
αγνοήσιμης γωνιακής συντεταγμένης (αζιμουθιακή γωνία), , των σφαιρικών συντεταγμένων, στην
περίπτωση του σφαιρικού εκκρεμούς.
Αναλυτική Δυναμική 136
1 1 1
17. Θεωρήστε τη λαγκρανζιανή 𝐿 = 2 𝑦̇ 2 − 2 𝑥 2 − 2 𝑦 2 + 𝑦̇ 𝑥. Εφαρμόστε τη μέθοδο εξάλειψης της αλγεβρικής
μεταβλητής x και λύστε το πρόβλημα.
18. Θεωρήστε την κίνηση ελεύθερου σωματίου στον χώρο. Η κινητική ενέργεια ισούται με τη λαγκρανζιανή
και ισχύει η Αρχή Hamilton στη μορφή θεωρίας μεταβολών. Θεωρήστε ως δεδομένο, σαν αξίωμα, ότι για
μικρές «διαδρομές» η αρχή αυτή μεταβολών λέει ότι πράγματι η τιμή του ολοκληρώματος δράσης είναι
ελάχιστη. Με αυτό κάντε συλλογισμό που σας οδηγεί στο ότι η μάζα δε μπορεί να είναι αρνητική ποσότητα.
19. Θεωρήστε ότι το κυκλικά πολωμένο βαρυτικό κύμα περιγράφεται από δυο καταστάσεις με πίνακες, μήτρες,
1 1
πόλωσης eR e ie , eL e ie . Είναι κάτι ανάλογο του κυκλικά πολωμένου
2 2
ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Οι δείκτες R, L αναφέρονται σε δεξιόστροφη και αριστερόστροφη κυκλική
πόλωση, ελικότητα. Βρείτε τους πίνακες αυτούς. Η στροφή κατά γωνία στο εγκάρσιο, ως προς τη διάδοση,
επίπεδο x, y γίνεται με χρήση της μήτρας
1 0 0 0
0 cos sin 0
0 -sin cos 0
0 0 0 1
Η μήτρα στοφών δρα πάνω στις μήτρες πόλωσης. Ισχύει η γνωστή σχέση για τις μετασχηματισμένες
μήτρες πόλωσης, e e T .
Για ευκολία περιοριστείτε στις μη μηδενικές (υπο)μήτρες 2x2 των 4x4 μητρών e . Τότε οι στροφές
cos sin
γίνονται με χρήση της . Περιστρέψτε τη μήτρα eR κατά . Για ποια τιμή inv η μήτρα eR
-sin cos
μένει αναλλοίωτη ( eR eR );
Στην κβαντική θεωρία πεδίου το σωματίδιο που προκύπτει από την κβάντωση του πεδίου έχει σπιν που
2π
υπολογίζεται από τη σχέση S .
inv
Μια ανάλογη διαδικασία για τον ηλεκτρομαγνητισμό οδηγεί σε γωνία inv 2π , πράγμα που σημαίνει
ότι το σωματίδιο που προκύπτει από την κβάντωση του πεδίου, δηλαδή το φωτόνιο έχει σπιν ίσο με 1.
20. α) Για ελεύθερο δυνάμεων σωμάτιο που κινείται σε μια διάσταση, δείξτε ότι η τιμή της δράσης κατά την
m xb xa
2
πραγματική κλασική κίνησή του, είναι: I cl .
2 t b ta
β) Για τον αρμονικό ταλαντωτή σε μια διάσταση, όπου L
m 2
2
x 2 x 2 , δείξτε ότι η δράση κατά την
m
πραγματική κλασική κίνησή του είναι: I cl xa2 xb2 cos(T ) 2 xa xb , T tb ta . γ) Βρείτε
2sin(T )
την I cl κατά την πραγματική κλασική κίνηση, για σωμάτιο που κινείται σε μια διάσταση υπό την επίδραση
σταθερής δύναμης F . Ισχύει, L mx 2 / 2 Fx .
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 137
L
21. α) Η κλασική γενικευμένη ορμή είναι p (μια διάσταση). Δείξτε ότι η ορμή στα ακραία σημεία της
x
πραγματικής τροχιάς σωματίου δίνεται από τις σχέσεις:
L I L I
pb cl , pa cl .
x x xb xb x x xa xa
Σημείωση: Όταν μεταβάλλεται η θέση στο άκρο ο χρόνος στο άκρο είναι δεδομένος, αμετάβλητος.
L
β) Θεωρήστε ότι κλασικά η ενέργεια είναι (μια διάσταση), E x L . Δείξτε ότι η ενέργεια στα ακραία
x
σημεία δίνεται από τις σχέσεις:
L I L I
Eb xb L( xb ) cl , Ea xa L( xa ) cl .
x x xb tb x x xa ta
Σημείωση: Όταν μεταβάλλεται ο χρόνος στο άκρο η συντεταγμένη του άκρου είναι δεδομένη,
αμετάβλητη.
Και στις δυο περιπτώσεις, το I cl είναι η δράση κατά την πραγματική κλασική κίνηση.
Αναλυτική Δυναμική 138
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 3
[1] H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, Addison-Wesley, 2001.
[2] Π. Ιωάννου και Θ. Αποστολάτος, Στοιχεία Θεωρητικής Μηχανικής, Β’ Έκδοση, Πανεπιστήμιο
Αθηνών, 2007.
[3] L. Landau and E. Lifshitz, Mechanics, Pergamon Press, 1976.
[4] Γ. Κατσιάρης, Μαθήματα Αναλυτικής Μηχανικής, ΟΑΔΒ, 1988.
[5] E. A. Desloge, Classical Mechanics, Vol. 1, 2, John Wiley, 1982.
[6] Α. Μαυραγάνης, Αναλυτική Μηχανική, ΕΜΠ, 1998.
[7] J. V. Jose and Eu. J. Saletan, Classical Dynamics, Cambridge Univ. Press, 1998.
[8] E. Whittaker, A Treatise in the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, Cambridge Univ.
Press, 1965.
[9] C. Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Univ. of Toronto Press, 1970.
[10] R. M. Rosenberg, Analytical Dynamics of Discrete Systems, Plenum Press, 1977.
[11] L. Landau and E. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Addison-Wesley, 1987.
[12] J. L. Anderson, Principles of Relativity Physics, Academic Press, 1967.
[13] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley and Sons, 1972.
[14] M. Borneas, Principle of Action with Higher Derivatives, Phys. Rev., Vol. 186, pp. 1299, 1969.
[15] R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vol. I, II, John Wiley & Sons, 1989.
[16] C. G. Gray and E. F. Taylor, When action is not least, American Journal of Physics, Vol. 75 (5), pp.
434, May 2007.
[17] C. Caratheodory, Theorem of Caratheodory, Math. Annalen, Vol. 67, pp. 355, 1909.
[18] H. A. Buchdahl, On the Unrestricted Theorem of Caratheodory and its Application in the Treatment
of the Second Law of Thermodynamics, American Journal of Physics, Vol. 17, pp. 212, 1949.
[19] A. Papapetrou, Lectures on General Relativity, D. Reidel Publishing Company, 1974.
[20] P. G. Bergmann, Introduction to the Theory of Relativity, Dover Publications, Inc., 1976.
[21] J. L. Martin, General Relativity. A first course for physicists, Pearson Education Limited, 1996.
[22] E. J. Saletan and A. H. Cromer, Theoretical Mechanics, John Willey, 1971.
[23] C. Moeller, The Theory of Relativity, Oxford Univ. Press, 1952.
[24] N. E. Mavromatos, General Relativity and Cosmology (Notes), King’s College, Univ. of London,
May 2008.
[25] J. Weber, Detection and Generation of Gravitational Waves, Phys. Rev., D., Vol. 117, pp. 306-313,
1960.
[26] M. E. Gerstsenshtein and V. I. Pustovoit, On the Detection of Low-Frequency Gravitational Waves,
Soviet Physics-JETP, Vol. 16, pp. 433-435, 1963.
[27] F. A. E. Pirani, On the Physical Significance of the Riemann Tensor, Republication, Gen. Relativ.,
Vol. 41, pp. 1215-1232, 2009.
[28] P. R. Saulson, If light waves are stretched by gravitational waves, how can we use light as a ruler to
detect gravitational waves?, American Journal of Physics, Vol. 65, pp. 501, 1997.
[29] B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo collaboration), Observation of
Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger, Phys. Rev. Lett., Vol. 116 (061102), 2016.
[30] M. Hendry, An Introduction to General Relativity, Gravitational Waves and Detection Principles,
Notes, Univ. of Glasgow, Dept of Phys. and Astronomy, October 2012.
[31] M. P. Hobson, G. Efstathiou and A. N. Lasenby, General Relativity. An Introduction for Physicists,
Cambridge Univ. Press, 2006.
[32] R. E. Vogt et al., The Construction, Operation, and Supporting Research and Development of a Laser
Interferometer Gravitational – Wave Observation, (LIGO), submitted by the California Institute of
Technology, Copyright 1979.
[33] Dan Green, Cosmology with MATLAB, World Scientific Publishing Co., 2016.
[34] Dan Green, One Hundred Physics Visualizations Using MATLAB, World Scientific Publishing Co.,
2014.
[35] Dan Green, More Physics with MATLAB, World Scientific Publishing Co., 2015.
[36] Dan Green, Stars and Space with Matlab Apps, World Scientific Publishing Co., 2020.
[37] R.P. Feynman and A.R. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill Book
Company, 1965.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 139
[38] W. Greiner, Classical Mechanics, Systems of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 1989.
[39] Κ. Ταμβάκης, Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική, Leader Books, 2003.
Αναλυτική Δυναμική 140
Κεφάλαιο 4: Συμμετρίες και Θεωρήματα Διατήρησης για Διακριτά Συστήματα
Αργότερα, όταν ασχοληθούμε με Συνεχή Συστήματα, δηλαδή με Θεωρία Πεδίου, θα μελετήσουμε το (Πρώτο)
Θεώρημα της Noether. Με αυτό το θεώρημα γίνεται μια καλύτερη , σε βάθος, κομψή και πολύ γενική θεώρηση
σχετικά με τη διατήρηση μεγεθών, όταν αυτή συνδέεται με την ύπαρξη διαφόρων συμμετριών. Σε αυτό το
σημείο δεν θα κάνουμε χρήση αυτού του πολύ σημαντικού θεωρήματος.
Το ζητούμενο είναι, χωρίς να λύσουμε το πρόβλημα, να μπορούμε να βρούμε ότι κάποιο μέγεθος (ποσότητα),
συνάρτηση των q , q , t , μένει σταθερό κατά τη διάρκεια της (πραγματικής) κίνησης του συστήματος. Αυτά
λέγονται σταθερές (της) κίνησης ή ολοκληρώματα (της) κίνησης, ή ολοκληρώματα (τύπου) Liouville. Γενικώς
ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις (4.1), η πρώτη σειρά δείχνει ολοκληρώματα της κίνησης. Η δεύτερη σειρά δείχνει
τι πρέπει να ισχύει ώστε η έκφραση Fr (q, q, t ) να είναι σταθερή όταν ισχύουν οι εξισώσεις κίνησης.
Fr (q, q, t ) Cr σταθ.
dFr ( q, q, t ) n Fr n
F F
qi r qi r 0
dt i 1 qi i 1 qi t
(4.1)
L L (q, q, t )
d L L
0, i 1, 2,..., n .
dt qi qi
Με έναν απλό τρόπο, χωρίς αυστηρότητα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ένα μηχανικό σύστημα με n
(γνήσιες) γενικευμένες συντεταγμένες έχει 2n σταθερές της κίνησης. Αυτή η απλοϊκή διαδικασία είναι η εξής:
Από τις εξισώσεις Lagrange καταλήγουμε σε n (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης δεύτερης τάξης. Επομένως οι
λύσεις τους θα έχουν 2n σταθερές, C , οι οποίες μπορεί να προσδιοριστούν από κατάλληλα δεδομένα της
κίνησης όπως είναι οι αρχικές συνθήκες. Ισχύουν οι σχέσεις,
qi qi (C1 , C2 ,..., C2 n , t )
qi qi (C1 , C2 ,..., C2 n , t ), i 1, 2,..., n .
Αντιστρέφουμε αυτές τις σχέσεις, δηλαδή λύνουμε ως προς τα 2n Ci και καταλήγουμε στις 2n σχέσεις,
όπου ο χρόνος είναι μια παράμετρος,
Fr (q, q, t ) Cr σταθ. r 1, 2,..., 2n .
Δηλαδή εκφράσαμε τα Ci ως προς τα qi , qi που είναι επίσης 2n το πλήθος, ο χρόνος είναι μια πρόσθετη
ανεξάρτητη μεταβλητή που εισέρχεται εδώ ως μια παράμετρος. Αυτά είναι 2n ανεξάρτητα ολοκληρώματα
κίνησης. Μπορούμε να σχηματίσουμε συναρτήσεις αυτών της μορφής G G( F1 , F2 ,..., Fr ) , μια τέτοια
συνάρτηση είναι επίσης ολοκλήρωμα κίνησης, όμως αυτό που μας ενδιαφέρει είναι τα ολοκληρώματα κίνησης
να είναι ανεξάρτητα. Συνήθως ονομάζουμε συντηρητικές ή διατηρητικές ή διατηρούμενες (conservative)
ποσότητες εκείνες που δεν έχουν άμεση εξάρτηση από τον χρόνο οπότε είναι της μορφής,
Fk (q, q) Ck σταθ.
Τέτοιου είδους σημαντικές ποσότητες είναι εκείνες που σχετίζονται με την ισοτροπία του χώρου και την
ομογένεια του χώρου και του χρόνου.
Αυτές οι σταθερές έχουν μεγάλη σημασία για τη Μηχανική διότι είναι προσθετικές. Αυτό σημαίνει ότι
αν ένα σύστημα αποτελείται από δυο συστήματα που δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, τότε το άθροισμα δυο
τέτοιων σταθερών μια από το κάθε σύστημα ισούται με τη αντίστοιχη σταθερά του όλου συστήματος.
Σημειώνουμε εδώ ότι η λαγκρανζιανή, μπορεί να εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο αν η κινητική ενέργεια ή/και
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 141
η δυναμική εξαρτώνται άμεσα από αυτόν. Για την κινητική ενέργεια αυτό μπορεί να συμβεί αν κατά τον
μετασχηματισμό συντεταγμένων υπεισέρχεται και ο χρόνος. Για τη δυναμική ενέργεια μπορεί να οφείλεται
στον ίδιο λόγο αλλά και στο ότι υπάρχει αλληλεπίδραση του συστήματος με εξωτερικό αίτιο που εξαρτάται
από τον χρόνο. Όταν η λαγκρανζιανή δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο, τότε για συστήματα σωματίων με
n συντεταγμένες θέσης, υπάρχουν 2n 1 ανεξάρτητα διατηρητικά μεγέθη.
Μπορούμε να κάνουμε τον ακόλουθο απλό συλλογισμό, ανάλογο του προηγούμενου: Εφόσον υπάρχουν
n μεταβλητές q , προκύπτουν n διαφορικές εξισώσεις κίνησης δεύτερης τάξης. Στις λύσεις αυτών των
εξισώσεων κίνησης υπάρχουν 2n σταθερές, C1 , C2 ,..., C2 n , οι οποίες μπορεί να προσδιοριστούν από τις
αρχικές συνθήκες. Οι εξισώσεις κίνησης για τα συστήματα που εξετάζουμε τώρα, δεν εξαρτώνται από την αρχή
του χρόνου, t 0 . Μπορούμε να θεωρήσουμε το t 0 ως μια από τις ανωτέρω σταθερές του προβλήματος, η οποία
μάλιστα είναι προσθετική στον χρόνο t , έστω αυτή με δείκτη 2n , C2 n t0 . Μπορούμε να μετασχηματίσουμε
τον χρόνο βάζοντας στη θέση του την έκφραση, t t0 . Έτσι για τις λύσεις και τις ταχύτητές τους έχουμε σχέσεις
της μορφής,
qi qi (C1 , C2 ,..., C2 n 1 , t t0 )
qi qi (C1 , C2 ,..., C2 n 1 , t t0 ), i 1, 2,..., n .
Αντιστρέφοντας, εκφράζουμε τις 2n 1 σταθερές Ci συναρτήσει μόνο των q, q , ενώ απαλείφεται το
t t0 . Δηλαδή καταλήγουμε σε 2n 1 ανεξάρτητα ολοκληρώματα κίνησης, τα οποία δεν έχουν άμεση
εξάρτηση από τον χρόνο, Cr Fr (q, q), r 1, 2,..., 2n 1 , δηλαδή είναι πράγματι διατηρητικά (συντηρητικά)
μεγέθη. Ένας απλοϊκός τρόπος να δούμε πως γίνεται αυτό είναι ο εξής: Ξεχωρίζουμε μια από τις παραπάνω 2n
σχέσεις, έστω την τελευταία,
qn qn C1 , C2 ,..., C2n1 , t t0 .
Λύνουμε ως προς t t0 , οπότε έχουμε
t t0 f (C1 , C2 ,...C2n1 , qn ) .
Απαλείφουμε με αντικατάσταση το t t0 από τις υπόλοιπες 2n 1 σχέσεις, οπότε βρίσκουμε,
qi qi C1 , C2 ,..., C2n1 , f (C1, C2 ,...C2n1, qn ) , i 1, 2,..., 2n 1 .
Τώρα έχουμε 2n 1 σχέσεις και 2n 1 σταθερές C που μπορούν να εκφραστούν συναρτήσει των
qi , qi , i 1, 2,..., n . Έτσι καταλήγουμε στο ζητούμενο, που είναι οι εκφράσεις
Cr Fr (q, q), r 1, 2,..., 2n 1 .
Μια άλλη ιδέα είναι, να αντιστρέψουμε το αρχικό σύστημα με τις 2n σχέσεις στις οποίες υπάρχουν οι
σταθερές C1 , C2 ,..., C2 n 1 και στον όρο t t0 η σταθερά C2 n t0 . Έχουμε 2n και 2n σταθερές προς
προσδιορισμό. Έτσι βρίσκουμε
Cr Fr (q, q), r 1, 2,..., 2n 1
t t0 f ( q, q ) .
Αναλυτική Δυναμική 142
Η πρώτη σειρά είναι αυτό που θέλαμε, δηλαδή τα διατηρούμενα μεγέθη, 2n 1 το πλήθος. Η τελευταία
σχέση γίνεται
t0 f (q, q) t ή C2 n F2 n (q, q, t ) .
Αυτή είναι σταθερά της κίνησης που εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο και δεν ανήκει στην κατηγορία των
συντηρητικών μεγεθών. Αυτό είναι σύμφωνο με όσα είπαμε προηγουμένως, δηλαδή σύστημα με n
συντεταγμένες θέσης έχει 2n ολοκληρώματα κίνησης. Στην περίπτωσή μας μόνο 2n 1 ολοκληρώματα
κίνησης είναι συντηρητικά μεγέθη. Γενικώς, από τα ολοκληρώματα κίνησης μπορούν να προσδιοριστούν οι
λύσεις, του μηχανικού συστήματος με αντιστροφή τους. Δηλαδή από τις σχέσεις,
Fr (q, q, t ) Cr , r 1, 2,..., 2n
βρίσκουμε τα qi qi (C1 , C2 ,..., C2 n , t ), qi qr (C1 , C2 ,..., C2 n , t ), i 1, 2,..., n . Οι σταθερές
καθορίζονται από κατάλληλα δεδομένα στοιχεία της κίνησης όπως είναι οι αρχικές συνθήκες.
Ενώ η ύπαρξη συμμετριών στο μηχανικό σύστημα οδηγεί σε ολοκληρώματα κίνησης κατά την
πραγματική κίνηση, το αντίστροφο δεν συμβαίνει κατ’ ανάγκη. Δηλαδή υπάρχουν σταθερές κίνησης που δεν
σχετίζονται με συμμετρίες.
Μια απλή περίπτωση διατήρησης είναι η εξής, έστω ότι η λαγκρανζιανή δεν εξαρτάται από κάποια
συγκεκριμένη συντεταγμένη θέσης, έστω την qr , ενώ μπορεί να περιέχει την αντίστοιχη ταχύτητα qr . Η
συντεταγμένη αυτή λέγεται κυκλική ή αγνοήσιμη. Μερικοί λένε κυκλική αυτήν που δεν υπάρχει στην κινητική
ενέργεια και αγνοήσιμη αυτήν που δεν υπάρχει στη λαγκρανζιανή. Χρησιμοποιείται και ο όρος κινοσθενική
(kinosthenic) αντί του όρου αγνοήσιμη. Αν έχουμε αγνοήσιμη μεταβλητή, τότε λέμε ότι το σύστημα έχει μια
συμμετρία και εννοούμε ότι η λαγκρανζιανή δεν μεταβάλλεται κατά μετατόπιση του συστήματος ως συνόλου
στον θεσικό χώρο ως προς αυτή τη μεταβλητή. Ορίζουμε ως γενικευμένη ορμή που σχετίζεται με μια
συντεταγμένη qi την ποσότητα
L
pi . (4.2)
qi
Αυτή λέγεται και κανονική ορμή ή συζυγής ορμή της qi . Ορίζουμε ως λαγκρανζιανό σύστημα εκείνο
που για την συντεταγμένη του qr ισχύει
d L L
0, (4.3)
dt qr qr
Αυτό σημαίνει ότι δεν υπεισέρχονται δεσμευτικές σχέσεις ή/και άλλες δυνάμεις. Αυτό μπορεί να ισχύσει για
ολόνομα συστήματα με μονογενείς δυνάμεις. Τότε η λαγκρανζιανή από μόνη της καθορίζει τις εξισώσεις
κίνησής του.
L
Αφού το L(q, q, t ) δεν εξαρτάται από την qr προφανώς 0 άρα
qr
d L dpr L
0, pr σταθερό . (4.4)
dt qr dt qr
Αφού ισχύουν οι εξισώσεις κίνησης του Lagrange, η ποσότητα pr διατηρείται κατά την πραγματική
κίνηση. Η τιμή της εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες. Αυτή η ιδέα οδηγεί στην εξής μεθοδολογία για τον
προσδιορισμό σταθερών της κίνησης: Προσπαθούμε να βρούμε σημειακό μετασχηματισμό που να οδηγεί σε
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 143
λαγκρανζιανή στην οποία κάποια ή κάποιες συντεταγμένες είναι αγνοήσιμες, τότε οι αντίστοιχες συζυγείς
ορμές είναι σταθερές της κίνησης.
Αν έχουμε φορτισμένο σωματίδιο μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο για τα οποία ούτε το διανυσματικό
ούτε το βαθμωτό δυναμικό εξαρτώνται από την καρτεσιανή συντεταγμένη x , τότε διατηρείται η αντίστοιχη
γενικευμένη ορμή
px mx eq Ax σταθερά (4.5)
Ο δεύτερος όρος του δεύτερου μέλους σχετίζεται με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο για το οποίο ξέρουμε
ότι έχει ορμή. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα κλειστό σύστημα σωματίων, δηλαδή σύστημα όπου δεν υπάρχουν
αλληλεπιδράσεις τους με εξωτερικά πεδία αλλά μόνο μεταξύ τους και αυτές εκφράζονται με κεντρικές δυνάμεις
μεταξύ όλων των ζευγαριών σωματίων. Επίσης, ας υποθέσουμε πως δεν υπάρχουν δεσμοί και ας περιοριστούμε
σε καρτεσιανό χώρο. Οποιαδήποτε μετατόπιση προς οποιαδήποτε κατεύθυνση στον χώρο του όλου συστήματος
ως συνόλου, αφήνει τη λαγκρανζιανή αναλλοίωτη, τότε η συνιστώσα της ολικής ορμής του συστήματος, στην
εν λόγω κατεύθυνση είναι σταθερά της κίνησης. Είναι διατηρητική ποσότητα. Προφανώς διατηρείται και η
συνισταμένη ορμή ως διάνυσμα. Αυτό σχετίζεται με την ομογένεια του θεσικού χώρου. Ένας άλλος τρόπος
διατύπωσης του ίδιου πράγματος είναι ότι: Δεν παίζει ρόλο η παράλληλη μετατόπιση του συστήματος των
αξόνων συντεταγμένων, ή καλύτερα, δεν παίζει ρόλο που είναι η αρχή του συστήματος συντεταγμένων.
Σημειώνουμε ότι η ορμή, σε αντίθεση με την ενέργεια που θα δούμε παρακάτω, είναι προσθετικό μέγεθος
ανεξάρτητα με το αν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματίων του συστήματος. Στην περίπτωση του
ίδιου μηχανικού συστήματος αν κάνουμε μια περιστροφή του συνολικού συστήματος περί κάποιον άξονα, η
λαγκρανζιανή δεν μεταβάλλεται, τότε διατηρείται η ολική στροφορμή περί αυτόν τον άξονα. Φυσικά ο άξονας
είναι αυθαίρετος οπότε διατηρείται και η διανυσματική στροφορμή ως προς οποιοδήποτε σημείο του θεσικού
χώρου. Αυτό σχετίζεται με την ισοτροπία του θεσικού χώρου. Μια άλλη διατύπωση είναι ότι δεν παίζει ρόλο ο
προσανατολισμός των αξόνων του συστήματος στον χώρο. Η στροφορμή είναι επίσης προσθετικό μέγεθος,
ανεξάρτητα από το αν υπάρχουν αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σωματίων του συστήματος. Θα δούμε αμέσως
τώρα τη συμμετρία συστήματος ως προς τη μετατόπιση στον χρόνο. Αυτό σχετίζεται με την ομογένεια στον
χρόνο και μπορεί να ισχύει και για συστήματα που δεν είναι κλειστά. Ομογένεια στον χρόνο σημαίνει ότι δεν
παίζει ρόλο από ποια χρονική στιγμή αρχίζει να μετριέται ο χρόνος. Σε αυτή την περίπτωση θα δούμε ότι
διατηρείται η ενεργειακή συνάρτηση που, πολλές φορές, ταυτίζεται με την μηχανική ενέργεια του συστήματος.
4.1 Ενεργειακή συνάρτηση. Διατήρηση της ενέργειας
Υποθέτουμε ότι ασχολούμαστε με λαγκρανζιανά συστήματα στα οποία οι δεσμοί είναι ολόνομοι και έχουν
εξαλειφθεί με εισαγωγή των κατάλληλων γενικευμένων συντεταγμένων. Ας θεωρήσουμε τη λαγκρανζιανή
L(q, q, t ) . Γενικώς θα έχουμε για την εξέλιξή της στον χρόνο
dL n L n
L L
qj qj . (4.6)
dt j 1 q j j 1 q j t
Εφόσον μελετούμε πραγματική κίνηση ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrange οπότε
L d L
. (4.7)
q j dt q j
Άρα
dL n
d L n
L L
q j qj (4.8)
dt j 1 dt q j j 1 q j t
Αναλυτική Δυναμική 144
ή
dL n d L L
qj . (4.9)
dt j 1 dt q j t
d n L L
Άρα qj L
t
0. (4.10)
dt j 1 q j
Η παράσταση στην παρένθεση λέγεται, συνήθως, ενεργειακή συνάρτηση και συμβολίζεται με h .
n
L
h( q, q, t ) qj L . (4.11)
j 1 q j
Αυτή δεν είναι η χαμιλτονιανή, που θα δούμε αργότερα, παρόλο που έχουν σε κάθε αντίστοιχο σημείο
του χώρου και του χρόνου την ίδια τιμή. Μερικές φορές χρησιμοποιείται το ίδιο σύμβολο και για τις δυο, αφού
η μια προκύπτει από την άλλη με απλή αντικατάσταση μεταβλητών με τις συναρτήσεις τους ως προς άλλες
μεταβλητές. Καλό είναι σε αυτή την περίπτωση να γράφουμε για την ενεργειακή συνάρτηση H (q, q, t ) . Η
χαμιλτονιανή είναι συνάρτηση άλλων (μετασχηματισμένων) μεταβλητών, H (q, p, t ) , όπου p παριστάνει τις
συζυγείς ορμές.
Οι Εξ. (4.10) και (4.11) οδηγούν στην Εξ. (4.12)
dh L
. (4.12)
dt t
Αν η λαγκρανζιανή είναι της μορφής L L(q, q ) , δηλαδή δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο, τότε h
σταθερό, δηλαδή διατηρείται κατά τη διάρκεια της πραγματικής κίνησης του δυναμικού συστήματος. Είναι
ευνόητο ότι σε αυτή την περίπτωση ούτε το h εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο, δηλαδή ισχύει, h h(q, q ) .
Όμως δεν ισχύει κατ’ ανάγκη και το αντίστροφο, μπορεί να ισχύει h h(q, q ) αλλά για τη λαγκρανζιανή να
ισχύει L L(q, q, t ) . Για αυτό είναι απαραίτητο το κριτήριο της Εξ. (4.12). Το h h(q, q ) είναι ένα
ολοκλήρωμα κίνησης και συνήθως ονομάζεται ολοκλήρωμα του Jacobi. Πρόκειται για συντηρητική
(διατηρητική) ποσότητα (μέγεθος). Εδώ έχουμε συμμετρία που σχετίζεται με το γεγονός ότι η λαγκρανζιανή
δεν επηρεάζεται από μετατόπιση στον χρόνο. Θα δούμε τώρα ότι σε ειδικές περιπτώσεις η συνάρτηση h είναι
η (ολική) μηχανική ενέργεια του δυναμικού συστήματος. Υποθέτουμε ότι L T U . Σύμφωνα με το
Παράρτημα Π3, η κινητική ενέργεια μηχανικού συστήματος γράφεται ως
T T0 (q, t ) T1 (q, q, t ) T2 (q, q, t ). (4.13)
Ο πρώτος όρος είναι ανεξάρτητος από τις ταχύτητες, ο δεύτερος εξαρτάται γραμμικά από τις ταχύτητες
και ο τελευταίος όρος είναι τετραγωνική μορφή ως προς τις ταχύτητες. Όλοι οι όροι είναι ομογενείς
συναρτήσεις ως προς τις ταχύτητες, βαθμών 0, 1 και 2 αντίστοιχα. Το θεώρημα του Euler λέει ότι για μια
ομογενή συνάρτηση f , βαθμού k ως προς τα xi , i 1, 2,..., n , ισχύει
n
f
x x
i 1
i kf (4.14)
i
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 145
Σε πολλές περιπτώσεις η λαγκρανζιανή μπορεί να γραφτεί σε ανάλογη μορφή όπως η κινητική ενέργεια,
δηλαδή
L(q, q, t ) L0 (q, t ) L1 (q, q, t ) L2 (q, q, t ) (4.15)
όπου οι τρεις όροι έχουν ομογένεια 0,1,2 βαθμών αντιστοίχως όπως συμβαίνει στην κινητική ενέργεια.
Σε αυτή την περίπτωση βρίσκουμε ότι
h 0 L0 1 L1 2 L2 ( L0 L1 L2 ) L2 L0 . (4.16)
Αν το T T2 (q, q) (αυτό συμβαίνει αν ο μετασχηματισμός συντεταγμένων δεν εξαρτάται άμεσα από
τον χρόνο) και αν επιπλέον το δυναμικό δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες, δηλαδή,
U V V (q, t ) ,
τότε από τη σχέση
L(q, q, t ) L2 (q, q, t ) L1 (q, q, t ) L0 (q, t )
σε συνδυασμό με τη σχέση
L T V (q, t ) T2 (q, q) V (q, t )
είναι ευνόητο ότι ισχύουν
L1 (q, q, t ) 0 , L2 T και L0 V ,
οπότε η Εξ. (4.16) οδηγεί στην
h T2 (q, q) V (q, t ) T (q, q) V (q, t ) E . (4.17)
Θυμίζουμε ξανά ότι η ισχύς της σχέσης T T2 (q, q) οφείλεται στο ότι οι εξισώσεις μετασχηματισμού
από τις καρτεσιανές στις γενικευμένες συντεταγμένες δεν περιέχουν άμεσα τον χρόνο, βλέπε παράρτημα Π3.
Αυτό σχετίζεται και με το ότι δεν υπάρχουν χρονοεξαρτώμενοι δεσμοί και με το ότι οι νέες γενικευμένες
συντεταγμένες δεν ανήκουν σε κινούμενο σύστημα αναφοράς. Τότε έχουμε T1 T0 0 και T T2 . Η Εξ.
(4.17) λέει ότι η ενεργειακή συνάρτηση είναι και η ολική μηχανική ενέργεια του δυναμικού συστήματος. Υπό
αυτές τις συνθήκες και αν επιπλέον η δυναμική συνάρτηση (το δυναμικό) είναι V V (q ) , δηλαδή δεν
L
εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο, ούτε η λαγκρανζιανή θα εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο, 0 . Άρα
t
σύμφωνα με την Εξ. (4.17) που τώρα γράφεται ως
d h dE L
=0 (4.18)
d t dt t
η ενέργεια διατηρείται κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος, δηλαδή
E T V σταθερή.
Μας είναι γνωστό ότι συστήματα σαν το παραπάνω, για τα οποία διατηρείται η ενέργεια (είναι
Αναλυτική Δυναμική 146
διατηρήσιμη, συντηρητική, ποσότητα.) λέγονται συντηρητικά συστήματα.
Τονίζουμε ξανά, πως ενώ η λαγκρανζιανή για κάθε δυναμικό σύστημα καθορίζεται πλήρως από τη σχέση
L T U
και αυτό ισχύει ανεξάρτητα από τις ειδικές συντεταγμένες που χρησιμοποιούνται, η ενεργειακή
συνάρτηση h για δεδομένο δυναμικό σύστημα, δεν είναι η ίδια αλλά εξαρτάται σε μέγεθος αλλά και σε μορφή
(ως συνάρτηση) από τις ειδικές συντεταγμένες που χρησιμοποιούνται. Για το ίδιο δυναμικό σύστημα το φυσικό
νόημά της είναι διαφορετικό και εξαρτάται από τις χρησιμοποιούμενες συντεταγμένες.
Ας δούμε ξανά τι γίνεται αν έχουμε δυναμική συνάρτηση της γενικής μορφής U U (q, q, t ) . Ξεκινούμε
n
L
από τη σχέση h q q L , σχηματίζουμε την L T U .
i 1
i
i
n
U
Εύκολα βρίσκουμε ότι γενικώς ισχύει: h T2 T0 U q q .
i 1
i
i
Αν υποθέσουμε ότι 2 , δηλαδή 0 0 , έχουμε
n
U
h T U qi .
i 1 qi
Συνηθίζεται να ονομάζουμε την έκφραση στην παρένθεση, δυναμική ενέργεια του συστήματος,
n
U
V (q, q, t ) U qi , η οποία όμως μπορεί να εξαρτάται και από τις ταχύτητες και από τον χρόνο, τότε
i 1 qi
έχουμε την ανάλογη σχέση (φορμαλιστικά) που έχουμε για την ολική ενέργεια, , δηλαδή h T V .
Ας προχωρήσουμε ακόμη ένα βήμα πιο πέρα και ας υποθέσουμε αυτό που έχουμε αναφέρει στα προηγούμενα,
n
δηλαδή ότι ισχύει U ai (q, t )qi a0 (q, t ) . Τότε βρίσκουμε V a0 (q, t ) V (q, t ) και επομένως
i 1
βρίσκουμε τη γνωστή σχέση h E T (q, q) V (q, t ) .
Εδώ σημειώνουμε ότι αφού η δυναμική συνάρτηση εξαρτάται και από τον χρόνο, η έτσι οριζόμενη ολική
μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος και έτσι μπορεί κάποιος να
αμφισβητήσει τον όρο που δώσαμε, δυναμική ενέργεια. Παρόλα αυτά ο όρος χρησιμοποιείται, αλλά η αξία του
είναι περισσότερο χρήσιμη όταν έχουμε σύστημα συντηρητικό, διατηρητικό, δηλαδή σύστημα που εκτός των
άλλων και η δυναμική ενέργεια είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Τότε κατά την πραγματική κίνηση του
συστήματος, κάθε μεταβολή της κινητικής ενέργειας ( 2 ) αντισταθμίζεται από αντίστοιχη μεταβολή της
δυναμικής ενέργειας, V V (q ) έτσι που η ολική ενέργεια, V , διατηρείται.
Είναι σαφές ότι η ενεργειακή συνάρτηση και η ενέργεια δεν είναι προσθετικές για αλληλεπιδρώντα
συστήματα ή σωμάτια. Αυτό είναι ευνόητο διότι η δυναμική ενέργεια έχει όρους με τις συντεταγμένες
τουλάχιστον δυο σωματίων. Αν δεν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ των σωματίων ή των συστημάτων, τότε
μόνο η h και η ενέργεια του συνολικού συστήματος, ισούται με το άθροισμα των ποσοτήτων αυτών που έχουν
τα επιμέρους σωμάτια ή συστήματα.
Μερικές φορές η λαγκρανζιανή μπορεί να είναι άθροισμα όρων που ο καθένας είναι ανεξάρτητος του
άλλου, τότε μπορεί να βρεθούν ολοκληρώματα κίνησης για κάθε όρο χωριστά. Τέλος, μπορεί αυτό να συμβεί
αφού γίνει μετασχηματισμός συντεταγμένων.
Παραρτήματα – Ειδικά θέματα
1. Κίνηση σε πεδίο Schwarzschild
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 147
Βρείτε τις (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης δοκιμαστικού σωματίου μέσα στο βαρυτικό πεδίο Schwarzschild.
Μια μη τετριμμένη λύση των εξισώσεων του Einstein στον κενό χώρο, δηλαδή στον χώρο που είναι εκτός των
πηγών του βαρυτικού πεδίου, είναι η λύση Schwarzschild με μετρική την εξής
dr 2
ds 2 c 2 d 2 c 2 (1 a / r )dt 2 r 2d 2 r 2 sin 2 d 2
1 a / r
2GM
a rs .
c2
a είναι η ακτίνα Schwarzschild, M είναι η μάζα σφαιρικής κατανομής ύλοενέργειας, με σφαιρική
συμμετρία, χωρίς συστροφή (σπιν), ακίνητης στην αρχή των συντεταγμένων. G, c είναι οι γνωστές σταθερές.
Υποθέστε ότι r a . Οι συντεταγμένες θέσης και ο χρόνος συμπίπτουν με αυτά του Minkowski για μεγάλες
αποστάσεις από την πηγή του βαρυτικού πεδίου, r a , όπου το πεδίο είναι πρακτικώς μηδέν, οι
συντεταγμένες για μεγάλες αποστάσεις είναι οι σφαιρικές συντεταγμένες.
Σε αυτό το σημείο απλά αναφέρουμε ότι, η ακτίνα r rs χαρακτηρίζει αυτό που λέγεται ορίζοντας
γεγονότων (event horizon). Φως που πέφτει στο εσωτερικό του ορίζοντα γεγονότων παγιδεύεται, δε μπορεί να
βγει έξω. Σε αυτή την περιοχή αντιστρέφεται το είδος των συντεταγμένων οι χωρομορφικές γίνονται
χρονομορφικές και αντιστρόφως. Δεν μπορεί να υπάρξει τροχιά σωματίου, το σωμάτιο οδεύει προς το κέντρο.
Αν ένα σώμα έχει ακτίνα μικρότερη της rs αυτό σημαίνει πως έχει γίνει μαύρη τρύπα.
Λύση
Για την περίπτωσή μας οι συντεταγμένες του τετραχώρου είναι (t , r , , ) . Έχουμε για τη μετρική του
τετραχώρου
g 00 gtt c 2 (1 a / r ), g11 g rr 1/ (1 a / r ),
g 22 g r 2 , g33 g r 2 sin 2 .
Όλες οι μη διαγώνιες συνιστώσες είναι μηδέν, g 0, .
Σύμφωνα με όσα έχουμε αναφέρει στη θεωρία μεταβολών, η λαγκρανζιανή για «ελεύθερο» δοκιμαστικό
σωμάτιο είναι
r2
L c 2 (1 a / r )t 2 r 2 2 r 2 sin 2 2
1 a / r
dy
y .
d
Σημειώνουμε ότι για τον Ήλιο as 3,0 km και για τη Γη ae 8,9 mm .
1
Πολλές φορές, όταν a / r < < 1 μπορούμε να προσεγγίσουμε την έκφραση 1 a / r .
1 a / r
Θεωρούμε ευνόητο ότι η κίνηση γίνεται σε επίπεδο οπότε λαμβάνουμε ως επίπεδο κίνησης αυτό με
π
. Έτσι η λαγκρανζιανή γίνεται
2
Αναλυτική Δυναμική 148
r2
L c 2 (1 a / r )t 2 r 2 2
1 a / r
dy
y .
d
Το σωμάτιο κινείται πάνω σε γεωδαισιακή. Για σωμάτιο μη μηδενικής μάζας παίρνουμε ως παράμετρο
της γεωδαισιακής τον ιδιόχρονο, δηλαδή . Η λαγκρανζιανή είναι ένα πρώτο ολοκλήρωμα (σταθερά)
κίνησης. Συγκεκριμένα ισχύει
r2
L c (1 a / r )t
2 2
r 2 2 c 2 σταθ.
1 a / r
dy
y .
d
Η L έχει διαστάσεις ενέργειας ανά μονάδα μάζας.
Η L δεν εξαρτάται άμεσα από τα t , οπότε έχουμε και τις ακόλουθες δυο σταθερές κίνησης,
αντιστοίχως
a
c 2 1 t Em σταθ. , r 2 lm σταθ.
r
Μπορεί να δειχτεί ότι, εφόσον έχουμε στατικό πεδίο, ισχύει
c2 1 a / r dl 1 dl 1
Em , = , dl 2 dr 2 r 2 d 2 .
1 / c2 2 d 1 a / r dt 1 a / r
Η Em αντιπροσωπεύει την ενέργεια ανά μονάδα μάζας του κινούμενου σωματίου και η lm
αντιπροσωπεύει στροφορμή ανά μονάδα μάζας του σωματίου. Το ότι η Em που είναι διατηρούμενη ποσότητα
κατά την κίνηση του σωματίου, ταυτίζεται με την ενέργεια φαίνεται από το γεγονός ότι για r > > a η σχέση
αυτή ταυτίζεται με τη σχέση για τη σχετικιστική μηχανική ενέργεια στον χώρο Minkowski, ειδική Σχετικότητα.
Από τις τρεις αυτές σχέσεις βρίσκουμε σχέση η οποία είναι αντίστοιχη της σχέσης που ισχύει για την περίπτωση
της νευτώνειας μηχανικής, για τη διατήρηση της ενέργειας, εδώ έχουμε
a 2 l
2 2
dr 2GM lm2 2GM lm2
E 2
1 c ( E 2
c 2
) 2 2 .
d
m m
r
3
r
r r c r
Η αντίστοιχη της νευτώνειας περίπτωσης για τη διατήρηση της ενέργειας (ισχύει ο νόμος της παγκόσμιας
έλξης) είναι
2
dr 2GM lm2
2 Em 2.
dt r r
Αν αγνοήσουμε τους σταθερούς όρους και το γεγονός ότι οι χρόνοι (παράμετροι) είναι διαφορετικοί, ,t
1
αντιστοίχως, παρατηρούμε ότι στη Γενική Σχετικότητα υπάρχει ο επιπλέον όρος με εξάρτηση .
r3
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 149
dr
Προφανώς ισχύει η σχέση r . Η σχέση r r ( ) είναι η εξίσωση της τροχιάς του σωματίου
d
χωρίς τη χρήση παραμέτρου, όπως είναι ο χρόνος . Από τις τέσσερις αυτές σχέσεις προκύπτει η
2
lm2 dr ac 2 lm2 alm2
( E 2
c 2
) 2 3 .
r 4 d
m
r r r
Η νευτώνεια θεώρηση δίνει
2
lm2 dr 2GM lm2
2 E 2.
r 4 d
m
r r
Επίσης η εξίσωση κίνησης για τη μεταβλητή r είναι,
lm2 GM 3GM lm2
r 2 2 0.
r3 r c r4
3
Ο τελευταίος όρος «δύναμης» αντιστοιχεί στον όρο δυναμικής ενέργειας με εξάρτηση 1 / r που είδαμε
προηγουμένως.
Η νευτώνεια περίπτωση δίνει
lm2 GM
r 2 0 .
r3 r
Εύκολα μπορεί κάποιος να βρει και την άλλη (τελική διαφορική) εξίσωση κίνησης που περιέχει μέχρι
και δεύτερες παραγώγους της γωνίας . Στην περίπτωση κινούμενου σωματίου χωρίς μάζα η διαδικασία
πρέπει να τροποποιηθεί κατάλληλα. Σύμφωνα με όσα έχουμε αναφέρει στα προηγούμενα ds 0 , οπότε η τιμή
της διατηρούμενης λαγκρανζιανής κατά την κίνηση (δηλαδή κατά μήκος της γεωδαισιακής) είναι μηδέν,
r2
L c 2 (1 a / r )t 2 r 2 2 0
1 a / r
dy
y .
d
Ακολουθώντας ανάλογη διαδικασία όπως πριν καταλήγουμε πάλι στις διατηρούμενες ποσότητες
a
c 2 1 t E σταθ. , r 2 l σταθ.
r
Εδώ τα E , l έχουν διαστάσεις που εξαρτώνται από τις διαστάσεις της παραμέτρου . Λαμβάνοντας
dr
υπόψη ότι r , από την έκφραση για τη λαγκρανζιανή βρίσκουμε
d
2
lm2 dr lm2 alm2
( E 2
c 2
) .
r 4 d
m
r2 r3
Αναλυτική Δυναμική 150
Παρατηρούμε ότι τώρα λείπει από το δεύτερο μέλος ο όρος με το 1/ r .
2. Διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz
Δείξτε ότι στην περίπτωση της κίνησης σωματίου σε κεντρικό δυναμικό του τύπου k / r 0 (πρόβλημα του
Kepler), το διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz (LRL), A p L mkr / r , είναι σταθερά της κίνησης.
Αναφερόμαστε σε μη σχετικιστική κίνηση.
Λύση
Το ότι το διάνυσμα LRL είναι σταθερά της κίνησης μπορεί να δειχτεί με χρήση του θεωρήματος της Noether
ένεκα υπάρξεως κάποιας ασυνήθιστης συμμετρίας. Το πρόβλημα του Kepler είναι μαθηματικά ισοδύναμο με
σωμάτιο που κινείται ελεύθερο πάνω σε σφαίρα σε τετραδιάστατο χώρο. Το σύστημα είναι συμμετρικό υπό
την επίδραση ορισμένων περιστροφών σε αυτόν τον τετραδιάστατο χώρο, υπάρχει συμμετρία SO(4). Αυτό
οδηγεί στη διατήρηση του παραπάνω διανύσματος. Εδώ θα ακολουθήσουμε την απλή θεώρηση, χωρίς τη χρήση
της παραπάνω συμμετρίας. Αν κεντρική δύναμη f ( r ) ασκείται σε σωμάτιο μάζας με ορμή p , έχουμε τον
νόμο του Νεύτωνα
dp
f f (r )er . (4.19)
dt
dL
Η στροφορμή L r p διατηρείται αφού έχουμε κεντρική δύναμη, άρα 0 , επομένως με χρήση
dt
dr
αυτής της σχέσης και θέτοντας pm , και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα
dt
a (b c ) (a c)b (a b )c , βρίσκουμε
d dp dL dp dr
( p L) L p L mf (r )er r
dt dt dt dt dt
(4.20)
m dr 2 dr
f (r ) r r r .
r dt dt
d dr d 2 dr
Με χρήση και της ταυτότητας ( r r ) 2r ( r ) 2r καταλήγουμε στη σχέση
dt dt dt dt
d 1 dr r dr 2 d r
( p L ) mf (r )r 2 2 mf (r )r . (4.21)
dt r dt r dt dt r
Στην περίπτωση της κεντρικής δύναμης της μορφής όπως στο πρόβλημα του Kepler, δηλαδή όταν έχουμε
f (r ) k / r 2 , καταλήγουμε, τελικώς, στη σχέση
d
dt
p L mker
dA
dt
0, άρα πράγματι A σταθερό . (4.22)
Το Σχήμα 4.1 που ακολουθεί δίνει κάποιες εξηγήσεις για τα διάφορα διανύσματα που υπεισέρχονται στο
πρόβλημα των ελλειπτικών τροχιών Kepler, σε διάφορα σημεία της τροχιάς.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 151
Σχήμα 4.1 Διάνυσμα L-R-L στο πρόβλημα Kepler.
Το διατηρούμενο αυτό διάνυσμα δεν βρέθηκε για πρώτη φορά από τους τρεις των οποίων το όνομα φέρει.
Έχει χρησιμοποιηθεί από τον W. Lenz σε μια εργασία του σχετική με την παλιά κβαντική θεώρηση του ατόμου
του υδρογόνου. Ο W. Pauli με χρήση αυτού του διανύσματος (με εισαγωγή τελεστών και της θεωρίας των
μητρών) βρήκε τις ενεργειακές στάθμες του ατόμου του υδρογόνου χωρίς τη χρήση της εξίσωσης του
Schroedinger. Αυτό έγινε λίγο πριν κάνει το ίδιο ο Schroedinger με χρήση της εξίσωσής του. Είναι ενδιαφέρον
ότι με χρήση αυτού το διανύσματος μπορεί να βρει, ευκολότερα, διάφορες σχέσεις της κίνησης τύπου Kepler
και τη σχέση που περιγράφει τις τροχιές, δηλαδή την r r ( ) που είναι η εξίσωση της τροχιάς σε επίπεδες
πολικές συντεταγμένες.
3. Θεώρημα του Bertrand
Το θεώρημα (του) Bertrand λέει ότι, στην περίπτωση της κεντρικής κίνησης η κίνηση είναι κλειστή
(επαναλαμβανόμενη) τροχιά, μόνον όταν η δύναμη είναι ελκτική της μορφής r n όπου n 2 ή n 1 .
Δηλαδή στην περίπτωση της κίνησης τύπου Kepler ή κίνησης υπό την επίδραση δύναμης τύπου Hook,
ισοτροπικός αρμονικός ταλαντωτής (σε τρεις διαστάσεις).
Λύση
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αντιμετώπισης του προβλήματος εκτός του αρχικού τρόπου που ακολούθησε ο
Bertrand. Ακολουθούμε έναν από αυτούς. Θεωρούμε ότι είναι γνωστό ότι η κίνηση γίνεται στο επίπεδο και
χρησιμοποιούμε πολικές συντεταγμένες ( r , ) .
Θεωρούμε ότι είναι γνωστό πως διατηρείται η ενέργεια E και η στροφορμή l περί άξονα κάθετο στο
επίπεδο κίνησης, ο οποίος διέρχεται από το ελκτικό κέντρο. Θέτοντας u 1/ r καταλήγουμε στην «εξίσωση
ενέργειας»
2
1 du 1 2 m 1 m
u 2 V 2 E Em . (4.23)
2 d 2 l u l
Αυτή η σχέση μας λέει ότι είναι σαν να έχουμε μονοδιάστατη κίνηση υλικού σημείου μάζας ίσης με τη
μονάδα, μέσα σε «ενεργό» (ισοδύναμο) δυναμικό της μορφής
1 m 1
W (u ) u 2 2 V . (4.24)
2 l u
1
Στη συνέχεια αντί για V θα γράφουμε απλώς V (u ) . Ξαναγράφουμε την Εξ. (4.23) στη μορφή
u
Αναλυτική Δυναμική 152
2
1 du
W (u ) Em . (4.25)
2 d
du
Θεωρούμε τον δισδιάστατο χώρο με συντεταγμένες (u, u ), u , ουσιαστικά πρόκειται για ένα
d
είδος δισδιάστατου χώρου των φάσεων. Προφανώς έχουμε
du
u (u ) 2 Em W (u ) . (4.26)
d
Από τον ορισμό του u 1/ r προκύπτει ότι ενδιαφέρει η περίπτωση που u 0 .
Στον δισδιάστατο αυτό χώρο η Εξ. (4.26) παριστάνεται από μια συνεχή (φασική) καμπύλη συμμετρική
ως προς τον άξονα u . Ένεκα της συμμετρίας μπορούμε να περιοριστούμε μόνο στον ένα κλάδο αυτόν με
u 0 . Αν η τιμή της ενέργειας E είναι τέτοια που η καμπύλη r r ( ) , τροχιά του σωματίου σε πολικές
συντεταγμένες, είναι κλειστή, τότε η παραπάνω φασική καμπύλη περνά από δυο σημεία τα (u1 ,0) και (u2 , 0)
που βρίσκονται πάνω στον άξονα u . Ισχύουν, u2 1/ r1 , u1 1/ r2 , r1 r r2 , u1 <u u2 . Τα r1 , r2 είναι
πεπερασμένα και είναι η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του r που αντιστοιχεί στη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του
u κατά μήκος της κλειστής φασικής καμπύλης u u (u ) . Αυτά αντιστοιχούν στο περίκεντρο και το
απόκεντρο της καμπύλης r r ( ) , δηλαδή στα αψιδωτά (apsidal) της σημεία. Από τον ορισμό προκύπτει ότι
u 0 . Η επιφάνεια που περικλείεται από αυτή την κλειστή φασική καμπύλη είναι
u2 u2
A 2 u du 2 2 Em W (u ) du . (4.27)
u1 u1
Από την Εξ. (4.26) προκύπτει η σχέση
du
d .
2 Em W (u )
(4.28)
Επομένως η γωνία μεταξύ δυο διαδοχικών απόκεντρων ή περίκεντρων δίνεται από τη σχέση
u2
du
Φ 2 . (4.29)
u1 2 Em W (u )
Από τις Εξ. (4.27), (4.29) προκύπτει ότι ισχύει
A
Φ . (4.30)
Em
Για κάποιες τιμές της ενέργειας το r2 οπότε η r r ( ) εκτείνεται στο άπειρο, δεν είναι κλειστή
(επαναλαμβανόμενη) τροχιά. Σε αυτή την περίπτωση υπάρχει μόνο ένα αψιδωτό σημείο το περίκεντρο. Αφού
r2 θα έχουμε u1 1/ r2 0 και για το εμβαδόν της Εξ. (4.27) στον φασικό χώρο έχουμε
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 153
u2
A 2 2 Em W (u ) du . (4.31)
0
Η Εξ. (4.29) γίνεται
u2
du
Φ 2 20 . (4.32)
0 2 Em W (u )
0 είναι η γωνία μεταξύ της ασύμπτωτης (ευθείας) της τροχιάς r r ( ) και της ευθείας μεταξύ του
ελκτικού κέντρου και του σημείου της καμπύλης που απέχει ελάχιστη απόσταση από αυτό (περίκεντρο).
Θα εξετάσουμε τις φασικές καμπύλες u u (u ) για μικρές αποκλίσεις τους από την μορφή τους για
d 1 1 dr
ευσταθή κυκλική κίνηση. Για κυκλικές τροχιές r r ( ) έχουμε u 2 0 , διότι τότε r
d r r d
σταθερό. Επομένως η ενέργεια για κυκλική τροχιά είναι σύμφωνα με την Εξ. (4.25) Em0 W (u0 ) όπου το u0
dW
είναι το σημείο ακρότατου της W (u ) , δηλαδή W (u0 ) (u0 ) 0. Για ευσταθείς κυκλικές τροχιές μπορεί
du
d 2W
να δειχτεί ότι ισχύει W (u0 ) (u0 ) 0 . Χρησιμοποιούμε την Εξ. (4.24) και βρίσκουμε ότι το u0
dt 2
προσδιορίζεται από τη σχέση
m dV
u0 (u0 ) 0 . (4.33)
l 2 du
Η ενέργεια για κυκλική τροχιά δίνεται από τη σχέση
1 2 m
Em 0 u0 2 V (u0 ) . (4.34)
2 l
Η συνθήκη ευστάθειας σημαίνει ότι
m d 2V
1 (u0 ) 0 . (4.35)
l 2 d 2
Η καμπύλη στον χώρο u , u για κυκλική τροχιά είναι ένα σημείο το (u0 , 0) . Αν η ενέργεια μεταβληθεί
κατά μικρή ποσότητα δE έτσι που στροφορμή l να μείνει σταθερή, έχουμε ότι u u0 δu, Em Em0 δEm
, οπότε για τη φασική καμπύλη έχουμε
2
1 dδu
W (u0 δu ) Em 0 δEm . (4.36)
2 d
Αναπτύσσουμε το δυναμικό W σε σειρά Taylor μέχρι τη δεύτερη τάξη στην περιοχή του u u0 και
χρησιμοποιούμε τη συνθήκη για κυκλικές τροχιές οπότε καταλήγουμε στη σχέση
Αναλυτική Δυναμική 154
2
1 dδu 1 2 m d 2V
(δu ) 1 (u0 ) δEm . (4.37)
2 d 2 l du
2 2
Χρησιμοποιούμε τη σχέση δu u u0 και καταλήγουμε στο ότι έχουμε φασική καμπύλη η οποία είναι
έλλειψη με κέντρο το (u0 , 0) και ημιάξονες
a 2δEm
2δEm
b . (4.38)
m d 2V
1 2 2 (u0 )
l du
Υπολογίζουμε τη γωνία Θ μεταξύ του απόκεντρου και του αμέσως επόμενου περίκεντρου με χρήση της
σχέσης
Φ
Θ . (4.39)
2
Η επιφάνεια που περικλείεται από τη φασική καμπύλη είναι
2πδEm
A .
m d 2V (4.40)
1 2 2 (u0 )
l du
Με χρήση της Εξ. (4.30) βρίσκουμε,
π
Θ .
m d 2V (4.41)
2 2 2 (u0 )
l du
Γενικώς η γωνία Θ εξαρτάται από την ενέργεια E0 και τη στροφορμή l , Θ Θ ( E0 , l ) .
Πρέπει να βρεθεί τέτοια δυναμική συνάρτηση (δυναμική ενέργεια, δηλαδή δυναμικό) ώστε η γωνία αυτή
να μην εξαρτάται από αυτές τις ποσότητες. Αυτό μπορεί να γίνει αν
m d 2V
1 (u0 ) c σταθερά . (4.42)
l 2 du 2
Με χρήση και της Εξ. (4.33) καταλήγουμε στη σχέση
dV (u )
d ln
du c.
1 u (4.43)
du
u0
Απαιτούμε αυτή η σχέση να ισχύει σε όλη την επιτρεπτή περιοχή τιμών για το u0 . Αυτό σημαίνει ότι
αυτή η εξίσωση είναι στην ουσία διαφορική εξίσωση με άγνωστη (προς προσδιορισμό) συνάρτηση το V (u ) ,
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 155
χωρίς τον περιορισμό που αναφέρεται στη θέση u u0 . Εύκολα βρίσκουμε ότι η λύση της είναι
C 2c
V (u ) u .
2c
Για c 2 ξεκινούμε από τη διαφορική εξίσωση και βρίσκουμε τη λύση για το δυναμικό η οποία είναι
λογαριθμικής μορφής, ln u άρα και ln r . Η τροχιά που προκύπτει είναι περιορισμένη (δεν πάει στο
άπειρο) αλλά δεν είναι κλειστή οπότε απορρίπτεται. Για απλούστευση γράφουμε τη λύση στη μορφή
V (u ) Ku s . (4.44)
Από τη συνθήκη ευστάθειας Εξ. (4.35) προκύπτει ότι c 0 , οπότε αφού c 2 s 0 θα πρέπει να
ισχύει ότι s 2 .
Αντικαθιστούμε το c στην Εξ. (4.41) και βρίσκουμε
π
Θ . (4.45)
2s
Για να είναι αυτές οι ελαφρά διαταραγμένες (σε σχέση με την κυκλική) τροχιές κλειστές (δηλαδή
επαναλαμβανόμενες), πρέπει το 2 s να είναι ρητός αριθμός (πηλίκο ακεραίων). Όμως για να οδηγεί το
δυναμικό σε περιορισμένες τροχιές που να είναι όλες κλειστές πρέπει η γωνία Θ να είναι ανάλογη του π , όπου
ο συντελεστής αναλογίας (όπως στην Εξ. (4.45)) να είναι ρητός αριθμός, όχι μόνο για τις ελαφρά διαταραγμένες
τροχιές που αναφερθήκαμε στα προηγούμενα, αλλά για κάθε περιορισμένη τροχιά. Συνοψίζουμε, η σχέση που
πρέπει να ισχύει για τις κλειστές τροχιές, δηλαδή η σχέση (4.45) δείξαμε ότι ισχύει μόνο για Em που δεν
διαφέρει πολύ από το Em 0 . Χρειάζεται να βρούμε γενικότερες συνθήκες για τις οποίες κάθε περιορισμένη
τροχιά είναι κλειστή.
Για δυναμικό της μορφής της Εξ. (4.44), το u0 προσδιορίζεται από την Εξ. (4.33) από όπου έχουμε
l2
u0s 2 . (4.46)
mKs
Από αυτή τη σχέση προκύπτει ότι τα K , s δεν είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα. Αφού u0 0 , ισχύει ότι
Ks 0 . Έτσι πρέπει να εξετάσουμε δυο περιπτώσεις, α) K 0, s 0 και β) K 0, s 0 . Στην περίπτωση
α) το V (u ) 0 όταν u και V (u ) , όταν u 0 .
Η ενέργεια για κυκλική τροχιά είναι
u02 m s
Em 0 W (u0 ) Ku0 . (4.47)
2 l2
Με χρήση και της Εξ. (4.46) καταλήγουμε στη σχέση
1 1
Em 0 u02 0 . (4.48)
2 s
Για το μονοδιάστατο δυναμικό έχουμε
Αναλυτική Δυναμική 156
1 2 m
W (u ) u 2 Ku s . (4.49)
2 l
m
Για αρκούντως μικρές τιμές του u έχουμε ότι W (u ) 2
Ku s και για αρκούντως μεγάλες τιμές του u
l
1 2
καταλήγουμε στη σχέση W (u ) u . Αυτή η συμπεριφορά του δυναμικού και επειδή E0 0 , οδηγούν στο
2
ότι για ενέργειες Em , τέτοιες που να ισχύει η σχέση Em Em 0 οι τροχιές είναι πάντοτε περιορισμένες. Στη
συνέχεια θα εξετάσουμε το όριο της φασικής καμπύλης που συνδέεται με περιορισμένες τροχιές καθώς η
ενέργεια τείνει στο άπειρο. Για τα σημεία (επαναφοράς) στα οποία αντιστοιχούν τα u1 , u2 όταν E Em 0 ,
ισχύουν
u1 0
1 2 (4.50)
u2 Em .
2
Για τον προσδιορισμό της οριακής φασικής καμπύλης όταν Em , χρησιμοποιούμε την εξίσωση της
ενέργειας, Εξ. (4.23) και την Εξ. (4.44) οπότε βρίσκουμε
2
1 du 1 2 m s
u 2 Ku Em . (4.51)
2 d 2 l
Αφού s 0 , όταν Em μπορούμε να αγνοήσουμε τον τρίτο όρο του πρώτου μέλους και με χρήση
της δεύτερης σχέσης από την Εξ. (4.50) βρίσκουμε
2
du
u u2 2 Em .
2 2
(4.52)
d
Από αυτήν συμπεραίνουμε ότι το όριο της φασικής καμπύλης καθώς το Em , είναι ένα ημικύκλιο
ακτίνας 2 Em . Οπότε το εμβαδόν της περικλειόμενης επιφάνειας είναι A πEm . Η συμπεριφορά στο όριο
της γωνίας Θ ( Em ) μπορεί να βρεθεί από τις Εξ. (4.30) και (4.39), οπότε έχουμε
1 (πEm ) π
lim Θ ( Em ) . (4.53)
Em 2 Em 2
Οπότε σε συνδυασμό με την Εξ. (4.45) βρίσκουμε ότι η συνθήκη για να είναι όλες οι περιορισμένες
τροχιές κλειστές είναι
2s 2 . (4.54)
Επομένως αφού s 2 η δυναμική συνάρτηση (το δυναμικό) είναι
V Ku 2 Kr 2 . (4.55)
Αυτό είναι το δυναμικό του ισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 157
Τώρα θα αναλύσουμε την περίπτωση β) με K 0, s 0 . Επειδή ισχύει η συνθήκη ευστάθειας χρειάζεται
να εξεταστεί μόνο η περίπτωση 0 s 2 . Το μονοδιάστατο δυναμικό είναι
1 2 m
W (u ) u 2 K us . (4.56)
2 l
1 2
Για αρκούντως μεγάλες τιμές του u ο επικρατέστερος όρος είναι ο πρώτος, δηλαδή W (u ) u . Για
2
μικρές τιμές του u το δυναμικό αυτό τείνει στο μηδέν και κυριαρχεί ο δεύτερος όρος, δηλαδή
m
W (u ) 2
K u s . Επομένως, όπως μπορεί να διαπιστωθεί και από την Εξ. (4.48), η ελάχιστη τιμή του W (u )
l
, η οποία καθορίζει την κυκλική τροχιά, είναι αρνητική.
Όλες οι περιορισμένες τροχιές έχουν ενέργειες Em , στο διάστημα 0 Em Em 0 . Η οριακή τροχιά για
Em 0 έχει μόνο ένα αψιδωτό σημείο σε πεπερασμένη απόσταση (το άλλο είναι στο άπειρο), διότι σε αυτή
1
την περίπτωση u1 0 . Αυτό σημαίνει ότι όταν Em 0 η τροχιά είναι ανοιχτή. Επομένως
r2
lim Θ ( Em ) 0 .
Em 0
Η 0 δίνεται από την Εξ. (4.32) για Em 0 . Επομένως ισχύει
u2
du
lim Θ ( Em ) . (4.57)
Em 0
0 2W (u )
Η u2 βρίσκεται από τη σχέση
W (u2 ) 0 . (4.58)
Από τις Εξ. (4.56) και (4.58) βρίσκουμε ότι ισχύει η σχέση
s 2 l2
u 2 . (4.59)
2m K
Το μονοδιάστατο δυναμικό παίρνει τη μορφή
1 u
s 2
W (u ) u 2 1 . (4.60)
2 u2
Από αυτήν και την Εξ. (4.57) βρίσκουμε
u2
du
lim Θ ( Em )
Em 0 s 2
.
0 u (4.61)
u 1
u2
Αναλυτική Δυναμική 158
Κάνουμε αλλαγή μεταβλητής σύμφωνα με τη σχέση
2 s
u
x
2
. (4.62)
u2
Είναι εύκολο να δούμε ότι ισχύει
du 2 dx
. (4.63)
u 2s x
Με τον συνδυασμό των τριών τελευταίων σχέσεων καταλήγουμε στη σχέση
1
2 dx π
lim Θ ( Em )
Em 0
2 s 0 1 x2 2 s
. (4.64)
Αυτό το αποτέλεσμα συμπίπτει με αυτό της Εξ. (4.45) μόνον αν 2 s 2 s , πράγμα που ισχύει
μόνον όταν s 1 . Επομένως σε αυτή την περίπτωση, το δυναμικό για όλες τις περιορισμένες κλειστές τροχιές
είναι της μορφής
K
V K u . (4.65)
r
Από τα βασικά δυναμικά που υπάρχουν στη φύση, πρόκειται για το νευτώνειο δυναμικό,
συμπεριλαμβανομένου του ελκτικού δυναμικού Coulomb. Το συμπέρασμα είναι ότι τα μόνα κεντρικά δυναμικά
τα οποία οδηγούν σε κλειστές τροχιές είναι το δυναμικό τύπου ισοτροπικού αρμονικού ταλαντωτή και το
νευτώνειου τύπου δυναμικό, συμπεριλαμβανομένου του ελκτικού δυναμικού Coulomb. Αυτή είναι η
διατύπωση του θεωρήματος του Beltrand.
4. Θεώρημα virial
Η λέξη virial είναι από τα Λατινικά όπου σημαίνει δύναμη ή ενέργεια. Θα αποδείξουμε το θεώρημα virial. Αυτό
είναι ένα χρήσιμο θεώρημα της μηχανικής το οποίο είναι στατιστικού χαρακτήρα. Συγκεκριμένα, θεωρούμε ότι
έχουμε ένα σύστημα σωματίων πάνω στα οποία ασκούνται δυνάμεις (ενεργητικές και δυνάμεις δεσμών).
Υποθέτουμε ότι η κινητική ενέργεια του συστήματος είναι συνάρτηση τετραγωνικής μορφής ως προς τις
ταχύτητες. Υποθέτουμε ακόμη ότι το σύστημα εκτελεί κίνηση σε πεπερασμένο μέρος του χώρου με
πεπερασμένες ταχύτητες, μπορεί το σύστημα να είναι και περιοδικό. Θα δείξουμε ότι
N
1
T
2
F r
i 1
i i .
Το δεύτερο μέλος λέγεται το (ή η) virial (του Clausius) του συστήματος. Οι μέσοι όροι λαμβάνονται ως
προς τον χρόνο και για χρονικό διάστημα ίσο με μια περίοδο ή για χρονικό διάστημα που τείνει στο .
Λύση
N
Ξεκινούμε από τις σχέσεις pi Fi , G p r . Στη συνέχεια βρίσκουμε
i 1
i i
dG N N
ri pi pi ri .
dt i 1 i 1
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 159
Ο πρώτος όρος του δευτέρου μέλους γίνεται
N N N
r p m r r m r
i 1
i i
i 1
i i
i 1
i i
2
2T .
Ο δεύτερος όρος του δευτέρου μέλους γίνεται, με χρήση του θεμελιώδους νόμου του Νεύτωνα,
N N
pi ri Fi ri .
i 1 i 1
Επομένως βρίσκουμε
N
dG
2T Fi ri .
dt i 1
Λαμβάνουμε τη μέση τιμή του πρώτου και του δεύτερου μέλους αυτής της σχέσης για το χρονικό
διάστημα 0 t , οπότε έχουμε
N
dG 1 dG
dt
0 dt
dt 2T F r
i 1
i i ,
Οπότε
N
1
2T F r
i 1
i i
G( ) G(0) .
Αν η κίνηση είναι περιοδική και ως ληφθεί μια περίοδος, τότε G ( ) G (0) , οπότε το δεύτερο μέλος
είναι μηδέν. Αν η κίνηση δεν είναι περιοδική αλλά όλες οι συντεταγμένες και ταχύτητες είναι πεπερασμένες
οπότε και η G είναι πεπερασμένη (άρα είναι φραγμένη) , τότε λαμβάνοντας τον χρόνο αρκούντως μεγάλο,
μπορούμε να πούμε ότι η έκφραση του δευτέρου μέλους μπορεί να γίνει αρκούντως μικρή, δηλαδή μπορεί να
ληφθεί ίση με μηδέν. Έτσι καταλήγουμε τελικώς στη σχέση
N
1
T
2
F r
i 1
i i .
Αυτή η σχέση εκφράζει το θεώρημα virial.
Αναλυτική Δυναμική 160
Προβλήματα
1. Θεωρήστε σωμάτιο μάζας m που κινείται μέσα σε δεδομένο πεδίο βαρύτητας και η δυναμική του ενέργεια
είναι V V (r ) , δηλαδή ασκείται πάνω του κεντρική δύναμη. Θεωρήστε ως γενικευμένες συντεταγμένες τις
σφαιρικές συντεταγμένες του σωματίου r , , . Υποθέστε ότι c και ότι ισχύει η κλασική θεωρία του
Νεύτωνα για τη βαρύτητα. Βρείτε τη λαγκρανζιανή και από τις εξισώσεις των Euler-Langrange βρείτε τις
εξισώσεις κίνησης για τις γενικευμένες συντεταγμένες. Δείξτε ότι η κίνηση γίνεται σε ένα σταθερό επίπεδο.
Στη συνέχεια υποθέστε ότι η κίνηση γίνεται στο σταθερό επίπεδο για το οποίο π / 2 , οπότε ουσιαστικά
μπορείτε να εργαστείτε σε πολικές συντεταγμένες r , . Τώρα η λαγκρανζιανή εξαρτάται μόνο από αυτές τις
δυο γενικευμένες συντεταγμένες r , . Δείξτε ότι διατηρείται η στροφορμή περί άξονα κάθετο στο επίπεδο
κίνησης που περνά από την αρχή των αξόνων. Δείξτε ότι διατηρείται η μηχανική ενέργεια E T V . Δείξτε
ότι για δεδομένη στροφορμή l , μπορείτε να ορίσετε μια ενεργό δυναμική ενέργεια Veff Veff (l , r ) για το
σωμάτιο έτσι που το πρόβλημα να γίνει μονοδιάστατο πρόβλημα με μόνη γενικευμένη συντεταγμένη το r . Σε
ότι ακολουθεί υποτίθεται η τροχιά είναι ευσταθής. Δείξτε ότι όταν η τροχιά του σωματίου είναι κύκλος ακτίνας
r0 τότε το Veff είναι ελάχιστο για r r0 . Προσδιορίστε το r0 . Στη συνέχεια υποθέστε ότι η τροχιά είναι
περίπου κύκλος και ότι το r δεν είναι ακριβώς ίσο με r0 αλλά υπάρχει μια μικρού πλάτους ταλάντωση του r
με κέντρο το r0 . Αναπτύξτε την ενεργό δυναμική ενέργεια στην περιοχή του r0 και κρατήστε μέχρι τον όρο
δευτέρου βαθμού ως προς την απομάκρυνση r r0 . Βρείτε την κυκλική συχνότητα «ταλάντωσης» του
, δηλαδή την κυκλική συχνότητα της γωνιακής κίνησης (t ) .
Από το παραπάνω ανάπτυγμα της ενεργού δυναμικής ενέργειας προσδιορίστε την κυκλική συχνότητα
r της ακτινικής ταλάντωσης. Αν αυτές οι δυο συχνότητες είναι ίσες, τότε η κίνηση αντιστοιχεί σε
επαναλαμβανόμενη κλειστή σταθερή τροχιά. Αν οι δυο συχνότητες διαφέρουν λίγο, τότε θα είχαμε αυτό που
λέμε μετάπτωση της τροχιάς. Κάντε εφαρμογή για την περίπτωση της κίνησης πλανητών οπότε σύμφωνα με
τον νόμο της παγκόσμιας έλξης και αν ο Ήλιος είναι ακίνητος τότε έχουμε
GMm
V (r ) .
r
Βρείτε τις δυο συχνότητες, , r . Τι βλέπετε;
Η Γενική Σχετικότητα δίνει μια μικρή (για το πλανητικό μας σύστημα) διόρθωση για τη δυναμική
ενέργεια που μπαίνει στην ανωτέρω νευτώνεια περιγραφή. Επίσης ο χρόνος που υπεισέρχεται δεν είναι ο
συνήθης απόλυτος χρόνος, t , της Νευτώνειας μηχανικής, αλλά ο ιδιόχρονος της Γενικής Σχετικότητας, οπότε
( ) , r r ( ) . Ο όρος που πρέπει να προστεθεί στην ενέργεια ως μικρή διόρθωση είναι
GMm( L / m) 2
- . Κάντε την ανωτέρω διαδικασία και αφού προσδιορίσετε τα , r βρείτε τη διαφορά τους
c2r 3
3GM
r , υποθέστε ότι r 2 . Αυτή η διαφορά έχει τη μεγαλύτερη τιμή για τον
r0
πλανήτη Ερμή. Κάντε εφαρμογή για την περίπτωση του Ερμή. Ισχύουν, περίοδος κίνησης του Ερμή περί τον
Ήλιο T 7,60 10 s , γήινο έτος TE 3,16 10 s , μάζα Ήλιου M 1,99 10 kg , μέση ακτίνα τροχιάς
6 7 30
του Ερμή r0 5,80 10 m , G 6, 67 1011 m3kg 1s 2 , c 3, 00 108 m/s . Βρείτε τη γωνία μετάπτωσης
10
ανά περιφορά περί τον Ήλιο. Θα βρείτε ότι η τιμή της γωνίας μετάπτωσης του Ερμή σε χρόνο ίσο με 100 γήινα
χρόνια είναι 43 δεύτερα λεπτά της μοίρας. Με χρήση λογισμικού πακέτου σχεδιάστε την τροχιά του Ερμή,
r r ( ) , για πολλές περιφορές. Αν το κρίνετε, μπορείτε να δώσετε μη ρεαλιστικές τιμές ώστε να φανεί η
μετάπτωση.
2. Το διάστημα στη μετρική Schwarzschild δίνεται από τη σχέση
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 161
2GM (dr ) 2
(ds) 2 (cd ) 2 c 2 1 2 (dt ) 2
r 2 (d ) 2 r 2 sin 2 (d ) 2 .
cr 2GM
1 2
cr
Η μετρική αυτή ισχύει για το εξωτερικό σφαιρικής κατανομής μάζας M , που μπορεί και να πάλλεται
ακτινικά. Τα t , r , , είναι οι συντεταγμένες του συγκεκριμένου σημείου του τετραχώρου. Το φυσικό τους
νόημα είναι ότι πρόκειται για τις συντεταγμένες Minkowski όταν δεν υπάρχει βαρύτητα, ή είναι οι
συντεταγμένες που αντιστοιχούν σε παρατήρηση από πολύ μακρινές αποστάσεις από την κατανομή μάζας,
2GM
οπότε ισχύει 1 . Οι χωρικές συντεταγμένες r , , είναι οι γνωστές σφαιρικές συντεταγμένες.
c2r
Προσδιορίστε τη λαγκρανζιανή δοκιμαστικού σωματίου μέσα στο παραπάνω πεδίο βαρύτητας. Υποθέστε ότι
εκτελεί περιορισμένη κίνηση, δηλαδή δεν φτάνει στο άπειρο και επίσης δεν πλησιάζει πολύ κοντά στο κέντρο
π
της κατανομής. Υποθέστε ότι . Ο χρόνος είναι ο ιδιόχρονος .Βρείτε τρία ολοκληρώματα της κίνησης.
2
Εντοπίστε τον πρόσθετο όρο στην ενεργό δυναμική συνάρτηση σε σχέση με την περίπτωση της μη
GMm(l / m) 2 1
Σχετικιστικής Μηχανικής, δηλαδή τον όρο 2 3
. Υποθέστε ότι u και δείξτε ότι
cr r
u
du
0 , ( , , σταθερές) , και u u0 , 0 είναι ένα σημείο της τροχιάς.
u0 u 3
u u
2
Αυτή η σχέση για μικρό οδηγεί στον υπολογισμό της μετάπτωσης της τροχιάς ενός πλανήτη που είναι
3GM 1 1
Δ 2π+π , τα rA , rP αντιστοιχούν στο σύνηθες αφήλιο και περιήλιο (της περίπου)
c2 rA rP
ελλειπτικής τροχιάς. Αν υποθέσουμε ότι ο μεγάλος ημιάξονας της έλλειψης είναι a και η εκκεντρότητά της
6GM
είναι , έχουμε τη σχέση Δ 2π+π 2 . Κοιτάξτε τους πίνακες με τα χαρακτηριστικά των
c a(1 2 )
πλανητών μας και εξηγήστε γιατί το φαινόμενο είναι έντονο μόνο για τον Ερμή.
3. Για την κίνηση σωματίου σε κεντρικό πεδίο δυνάμεων με δυναμική συνάρτηση V ( r ) , δείξτε ότι στη
μη σχετικιστική περίπτωση για την τροχιά έχουμε τη σχέση,
2
du 2m 2m 1
u 2 V (1/ u ) 2 E , u .
2
d l l r
Τα r , είναι οι γνωστές πολικές συντεταγμένες με αρχή των αξόνων το ελκτικό κέντρο. Είναι γνωστό
ότι αν θεωρήσουμε ότι ισχύει ο νόμος της παγκόσμιας έλξης ή κάποιος ανάλογος (π.χ. του Coulomb), αυτό
οδηγεί στην παρακάτω λύση η οποία εκφράζει επαναλαμβανόμενη τροχιά της μορφής
1
C 1 cos( 0 ) , συγκεκριμένα είναι έλλειψη. Οι σταθερές C, , 0 εξαρτώνται από τις
r
αρχικές συνθήκες και τη συγκεκριμένη αλληλεπίδραση, είναι η εκκεντρότητα της τροχιάς.
Κάντε χρήση της Ειδικής Σχετικότητας και δείξτε ότι ισχύει η σχέση,
2
du 2m E 2m E
u 2 1 2 V 1/ u 2 2 V 1/ u 2 E 1
2 1 2
2
.
d l mc cl l 2mc
Αναλυτική Δυναμική 162
k
Βρείτε τη σχέση που ισχύει όταν V (r ) , k 0 . Στην περίπτωση βαρυτικής έλξης έχουμε
r
k GMm . Με βάση τα προηγούμενα, δικαιολογήστε γιατί μπορεί να υπάρχει μετάπτωση της τροχιάς.
Υπολογίστε την για την περίπτωση του Ερμή και συγκρίνετέ την με αυτήν της Γενικής Σχετικότητας. Πρέπει
GM
να βρείτε, Δ 2π+π 2 . Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε κάποιο λογισμικό και να σχεδιάσετε το
c a(1 2 )
r r ( ) για πολλές περιφορές. Αν νομίζετε, μπορείτε να δώσετε μη ρεαλιστικές τιμές στις σταθερές ώστε να
φανεί πιο έντονα το φαινόμενο. Σε αυτή την περίπτωση, που έχουμε μόνο Ειδική Σχετικότητα, η μετάπτωση
είναι περίπου το 1/6 της μετάπτωσης από την περίπτωση της Γενικής Σχετικότητας. Σε 100 γήινα χρόνια η
μετάπτωση είναι περίπου 7,2 δεύτερα λεπτά της μοίρας.
4. Αναφερόμαστε σε επίπεδη κίνηση, όλα τα σώματα έχουν επίπεδα σχήματα. Μια στεφάνη ακτίνας a με μάζα
m ομοιόμορφα κατανεμημένη, κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε κεκλιμένο επίπεδο δηλαδή κεκλιμένη ευθεία, που
είναι η υποτείνουσα ορθογώνιου τριγώνου, μια σφήνα. Η σφήνα έχει μάζα M και η υποτείνουσα του
ορθογώνιου τριγώνου της σχηματίζει γωνία με το οριζόντιο (ακίνητο) επίπεδο, ευθεία. Η μια κάθετη πλευρά
του τριγώνου μπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή στο ακίνητο οριζόντιο επίπεδο. Οι κινήσεις γίνονται στο ίδιο
κατακόρυφο επίπεδο μέσα στο πεδίο βαρύτητας. Διαλέξτε ως γενικευμένες συντεταγμένες την x που καθορίζει
την (οριζόντια) θέση του κεκλιμένου επιπέδου ως προς το οριζόντιο επίπεδο και την s που καθορίζει τη θέση
του κέντρου της στεφάνης ως προς το κεκλιμένο επίπεδο. Βρείτε τέσσερις ανεξάρτητες σταθερές της κίνησης
για το σύστημα.
5. Έστω μη σχετικιστικό σύστημα σωματίων στα οποία ασκούνται μόνο αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους (κλειστό
σύστημα). Τα αντίστοιχα δυναμικά εξαρτώνται μόνο από τις μεταξύ των σωματιδίων αποστάσεις. Δείξτε ότι
διατηρείται η ολική ενέργεια του συστήματος, η ολική ορμή του συστήματος και η ολική στροφορμή του
συστήματος.
6. Εφαρμόστε το θεώρημα virial για την περίπτωση που για τις δυνάμεις ισχύουν, Fi iV (r1 , r2 ,..., rN ) . Στη
συνέχεια υποθέστε ότι έχετε ένα μόνο σωμάτιο στο οποίο ασκείται κεντρική ελκτική δύναμη με δυναμική
συνάρτηση, V V (r ) ar n1 0 , δείξτε ότι για την κινητική και τη δυναμική ενέργεια ισχύει
n+ 1
T =- V .
2
Δείξτε ότι αυτή η σχέση μπορεί επίσης να προκύψει όταν το V είναι ομογενής συνάρτηση της
συντεταγμένης r , με βαθμό ομογένειας n 1. Βεβαιωθείτε ότι για την περίπτωση n 2 , ελκτική δύναμη
1
αντιστρόφου τετραγώνου, έχουμε T V .
2
7. Με χρήση του διανύσματος Laplace-Runge-Lenz βρείτε την εξίσωση της τροχιάς για το πρόβλημα Kepler.
8. Θεωρήστε το γνωστό πρόβλημα των δυο σωμάτων. Πρόκειται για δυο υλικά σημεία. Δεν υπάρχουν
εξωτερικές δυνάμεις, η μεταξύ τους αλληλεπίδραση είναι τέτοια που η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι
1
της μορφής kr 2 , όπου r η μεταξύ τους απόσταση και k θετική σταθερά. Βρείτε τη λαγκρανζιανή του
2
συστήματος. Πόσες (γνήσιες) συντεταγμένες έχει το πρόβλημα; Σύμφωνα με τη μεθοδολογία περί κλειστών
συστημάτων που αναφέραμε, πόσες ανεξάρτητες σταθερές κίνησης υπάρχουν;
Υπόδειξη: Είναι βολικό να ξεκινήσετε χρησιμοποιώντας διανύσματα θέσης r1 , r2 για τα δυο σωμάτια.
Είναι χρήσιμο να αξιοποιήσετε το γεγονός ότι η ολική λαγκρανζιανή μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δυο
λαγκρανζιανών που δεν έχουν κοινές συντεταγμένες. Οι (διαφορικές) εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν από
τη μοναδική αρχική λαγκρανζιανή, είναι οι ίδιες με αυτές που προκύπτουν από τις δυο λαγκρανζιανές μαζί.
Αυτό είναι σημαντικό διότι ορίζουν δυο διαφορετικές ενεργειακές συναρτήσεις. Με χρήση των συμμετριών
των λαγκρανζιανών, πρέπει να καταλήξετε σε τόσες σταθερές κίνησης, όσες προβλέψατε παραπάνω.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 163
9. Θεωρήστε την περίπτωση του γνωστού μονοδιάστατου απλού αρμονικού ταλαντωτή.
Διατηρείται η φυσιολογική λαγκρανζιανή, η οποία υπολογίζεται από τη σχέση L T V ;
1
10. Θεωρήστε τη λαγκρανζιανή L k1 x 2 k2 xt , k1 , k2 θετικές σταθερές . Βρείτε αν η ποσότητα
2
k2 2
F k1 x t , η οποία μάλιστα εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο, διατηρείται ή όχι κατά την κίνηση που
2
προκύπτει από την ανωτέρω λαγκρανζιανή.
1
11. Θεωρήστε τη λαγκρανζιανή L mx 2 atx bx 2 , m, a, b σταθερές . Υπολογίστε την ενεργειακή
2
συνάρτηση h h(q, q, t ) . Θα δείτε ότι δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο. Είναι η h σταθερά της κίνησης;
12. Έστω η λαγκρανζιανή κάποιου συστήματος,
1
α) L m(q12 q22 ) (aq1 bq2 ), a, b σταθερές . Βεβαιωθείτε ότι υπάρχουν οι εξής 4 ανεξάρτητες
2
σταθερές κίνησης. Αυτό είναι σύμφωνο με τη θεωρία όπου για 2 συντεταγμένες αναμένονται 4 σταθερές
κίνησης.
m q12 q22 aq1 bq2 σταθ., F2 m bq1 aq2 σταθ.
1
F1
2
a 2
F3 mq2 bt σταθ., F4 q1 t q1t σταθ. .
2m
β) Προσπαθήστε να βρείτε 3 συντηρητικές ποσότητες (ολοκληρώματα κίνησης που δεν εξαρτώνται άμεσα από
τον χρόνο). Υπόδειξη: Μπορείτε να λάβετε υπόψη ότι η λαγκρανζιανή ισούται με άθροισμα δυο λαγκρανζιανών
που είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.
Επίσης μπορείτε να αποδείξετε τη δεύτερη σχέση , ξεκινώντας με τον μετασχηματισμό συντεταγμένων
(σημείου), Q1 aq1 bq2 , Q2 q2 κ.λπ.
13. Θεωρήστε σωμάτιο που κινείται μέσα στο πεδίο βαρύτητας, g . Η κίνηση γίνεται σε κατακόρυφο επίπεδο
και περιγράφεται ως προς αδρανειακό σύστημα. Ο κατακόρυφος άξονας y , είναι θετικός προς τα κάτω, ο
οριζόντιος είναι ο x . Βρείτε τη λαγκρανζιανή σε αυτές τις συντεταγμένες. Με χρήση των εξισώσεων Lagrange
βρείτε τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης. Βρείτε την ενεργειακή συνάρτηση και την ενέργεια με αυτές τις
συντεταγμένες. Είναι αυτά τα μεγέθη σταθερές της κίνησης; Στη συνέχεια θεωρήστε ότι τη χρονική στιγμή
t 0 , ένα δεύτερο σύστημα αναφοράς αρχίζει να κινείται προς τα κάτω έτσι που η θέση της αρχής του ως προς
1
το προηγούμενο να είναι y0 gt 2 , x0 0 . Οι συντεταγμένες ως προς αυτό είναι x, y , ο άξονας y είναι
2
θετικός προς τα κάτω. Βρείτε τον σημειακό μετασχηματισμό συντεταγμένων μεταξύ των δυο συστημάτων.
Ποια είναι η λαγκρανζιανή με συντεταγμένες τις x, y . Βρείτε τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης για τις νέες
συντεταγμένες. Εκφράστε ως προς τις νέες συντεταγμένες την ενέργεια και την ενεργειακή συνάρτηση (ως
προς το αρχικό σύστημα αναφοράς). Αυτές διατηρούνται; Στη συνέχεια βρείτε τη λαγκρανζιανή «πηγαίνοντας
πάνω» στο επιταχυνόμενο δεύτερο σύστημα αναφοράς, με συντεταγμένες τις x, y . Πως σχετίζεται με τη
λαγκρανζιανή που υπολογίσατε προηγουμένως με συντεταγμένες τα x, y . Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης με
χρήση των εξισώσεων Lagrange. Συμφωνούν με τις σχέσεις που βρήκατε για αυτές τις συντεταγμένες
προηγουμένως; Ποια είναι η ενεργειακή συνάρτηση και η ενέργεια σε αυτή την περίπτωση; Είναι σταθερές της
κίνησης;
Αναλυτική Δυναμική 164
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 4
[1] H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, Addison-Wesley, 2001.
[2] Π. Ιωάννου και Θ. Αποστολάτος, Στοιχεία Θεωρητικής Μηχανικής, Β’ Έκδοση, Πανεπιστήμιο
Αθηνών, 2007.
[3] L. Landau and E. Lifshitz, Mechanics, Pergamon Press, 1976.
[4] Γ. Κατσιάρης, Μαθήματα Αναλυτικής Μηχανικής, ΟΑΔΒ, 1988.
[5] E. A. Desloge, Classical Mechanics, Vol. 1, 2, John Wiley, 1982.
[6] Α. Μαυραγάνης, Αναλυτική Μηχανική, ΕΜΠ, 1998.
[7] J. V. Jose and Eu. J. Saletan, Classical Dynamics, Cambridge Univ. Press, 1998.
[8] E. Whittaker, A Treatise in the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, Cambridge Univ.
Press, 1965.
[9] R. M. Rosenberg, Analytical Dynamics of Discrete Systems, Plenum Press, 1977.
[10] L. Landau and E. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Addison-Wesley, 1987.
[11] I. Damian, Symmetries and Conservation Laws in Theories with Higher Derivatives, International
Journal of Theoretical Physics, Vol. 39, pp. 2141, 2000.
[12] J. L. C. Quilantan, J. L. del Rio-Correa and M. A. R. Medina, Alternative proof of Bertrand’s theorem
using phase space approach, Revista Mexicana de Fisica, Vol. 42, 5, pp. 867-877, 1996.
[13] E. J. Saletan and A. H. Cromer, Theoretical Mechanics, John Willey, 1971.
[14] W. Greiner, Classical Mechanics, Systems of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 1989.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 165
Κεφάλαιο 5: Λαγκρανζιανός Φορμαλισμός της Δυναμικής στην Ειδική
Σχετικότητα
Σε ό,τι ακολουθεί, μπορεί να είναι χρήσιμο το Παράρτημα Π4. Σε αυτό το Κεφάλαιο, θα περιοριστούμε στην
κίνηση φορτισμένου σωματιδίου μέσα σε εξωτερικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Η γενική περίπτωση συστήματος
τέτοιων σωματιδίων με μεταξύ τους αλληλεπιδράσεις είναι πολύπλοκη στα πλαίσια της Ειδικής Σχετικότητας.
Ακόμη και χωρίς αλληλεπιδράσεις οι γνωστές έννοιες από τη νευτώνεια μηχανική, όπως κέντρο μάζας κ.λπ.,
πρέπει να οριστούν με ιδιαίτερη προσοχή. Για την περίπτωση που θα αναπτύξουμε εδώ, υπάρχουν δυο τρόποι
αντιμετώπισης, ο ένας τρόπος είναι πιο εύκολος και στηρίζεται σε απλές γενικεύσεις της νευτώνειας μηχανικής
ώστε να συμπεριλάβει τα σχετικιστικά φαινόμενα σε κάποιο αδρανειακό σύστημα αναφοράς, σύστημα (του)
Lorentz. Ο άλλος τρόπος είναι ο (εμφανώς) συναλλοίωτος φορμαλισμός [(manifestly) covariant formulation].
Σε αυτόν τον φορμαλισμό ο χρόνος μαζί με τον χώρο σχηματίζουν τον χωρόχρονο και εισάγονται ως οι τέσσερις
συνιστώσες ενός τετραδιανύσματος. Γενικώς, όλα τα φυσικά μεγέθη είναι συνιστώσες τανυστών,
τετραδιανυσμάτων, είναι σπίνορες ή είναι αναλλοίωτα μεγέθη (scalar, βαθμωτά). Με αυτό τον τρόπο γίνεται
προφανές το συναλλοίωτο των σχέσεων σε μετασχηματισμούς του Lorentz. Αυτός είναι ο πιο κομψός τρόπος
και ανεξάρτητος από το (αδρανειακό) σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιείται, αλλά είναι λίγο πιο δύσκολος
στην κατανόηση και χρήση.
5.1 Απλή διαδικασία για την εύρεση μιας σχετικιστικής λαγκρανζιανής
Στην αρχή θα ακολουθήσουμε την πρώτη διαδικασία που αναφέραμε προηγουμένως. Θα προσπαθήσουμε να
βρούμε μια λαγκρανζιανή που μας οδηγεί στις εξισώσεις του Lagrange με χρήση της αρχής του Hamilton.
Έχουμε την αρχή μεταβολών του Hamilton
t2
δI δ Ldt 0 (5.1)
t1
Οι σχετικιστικές εξισώσεις κίνησης που πρέπει να βρούμε για ένα σωματίδιο, σε καρτεσιανές
συντεταγμένες και αδρανειακό σύστημα αναφοράς (του Lorentz), είναι
dpi mxi
Fi , pi , i 1, 2,3 . (5.2)
dt 1 2
Μια κατάλληλη λαγκρανζιανή, με δυναμική συνάρτηση V ( x, t ) η οποία δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες,
είναι η
L( x, x, t ) Lfree ( x, x, t ) Linter Lfree V ( x, t )
(5.3)
x ( x1 , x2 , x3 ), x( x1 , x2 , x3 )
όπου Lfree ( x, x, t ) είναι η λαγκρανζιανή του ελεύθερου σωματιδίου (ελεύθερη λαγκρανζιανή, δηλαδή
χωρίς αλληλεπίδραση) και Linter V ( x, t ) είναι η λαγκρανζιανή αλληλεπίδρασης με εξωτερική δυναμική
συνάρτηση (δυναμικό). Στη συνέχεια κάνουμε την ακόλουθη επιλογή για την ελεύθερη λαγκρανζιανή,
2 1 2
Lfree ( x, x, t ) mc 2
1 ,
2 2
2
2
( x1 x22 x32 ) (5.4)
c c
Υπάρχουν και άλλες επιλογές για τη λαγκρανζιανή που οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις του Lagrange, αλλά
αυτή εδώ γίνεται διότι οδηγεί στο ότι η παρακάτω Εξ. (5.9) δίνει και την ενέργεια του συστήματος και επίσης
οι συζυγείς ορμές υπολογίζονται όπως και στη νευτώνεια μηχανική. Η αρχή μεταβολών του Hamilton μας
οδηγεί στις εξισώσεις του Lagrange
Αναλυτική Δυναμική 166
d L L
0, i 1, 2,3 . (5.5)
dt xi xi
Έχουμε όμως
L mxi
pi , i 1, 2,3 . (5.6)
xi 1 2
Επομένως οι εξισώσεις κίνησης για αυτή τη λαγκρανζιανή των Εξ. (5.3) και Εξ. (5.4) είναι
d mxi V
Fi , i 1, 2,3 . (5.7)
dt 1 2 xi
Βρήκαμε τις Εξ. (5.2) που θέλαμε, επομένως αυτή η επιλογή της λαγκρανζιανής είναι μια σωστή επιλογή.
Παρά τις δυσκολίες που αναφέραμε για συστήματα πολλών σωματιδίων, μπορούμε να γράψουμε τις σχέσεις
για σύστημα με πολλά σωματίδια, μη αλληλεπιδρώντα μεταξύ τους, θεωρώντας ως λαγκρανζιανή του
συστήματος το άθροισμα των λαγκρανζιανών των επιμέρους σωματιδίων για συγκεκριμένο αδρανειακό
σύστημα αναφοράς. Για N σωματίδια η γενικευμένη ορμή του συστήματος θα είναι κατά τα γνωστά
L
pi , i 1, 2,...,3N . (5.8)
qi
Η ενεργειακή συνάρτηση είναι και σε αυτή τη σχετικιστική περίπτωση
3N
h qi pi L . (5.9)
i 1
Αν L L(q, q ) , δηλαδή η λαγκρανζιανή δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο, τότε η h διατηρείται κατά
την πραγματική κίνηση του συστήματος αφού ισχύει η γνωστή σχέση
dh L
.
dt t
Γενικώς η ανωτέρω σχετικιστική λαγκρανζιανή L L(q, q, t ) , δεν είναι άθροισμα ομογενών
συναρτήσεων ως προς τις ταχύτητες άρα ούτε και ομογενής βαθμού 2, γι’ αυτό δεν μπορούμε να πούμε εκ των
προτέρων ότι η h είναι η ενέργεια του συστήματος.
Αν κάνουμε τον υπολογισμό της h από τις Εξ. (5.3), (5.4) και Εξ. (5.9), βρίσκουμε
N
mll 2 N
h ml c 2 1 l 2 V ( x, t )
l 1 1 l 2 l 1
N
ml c 2 N
(5.10)
V ( x, t ) T ( x) ml c 2 V ( x, t ) E
l 1 1 l2 l 1
x ( x1 , x2 ,..., x3 N ), x ( x1 , x2 ,..., x3 N )
Παρατηρούμε ότι και στη σχετικιστική περίπτωση η h είναι η ολική ενέργεια (δηλαδή
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 167
κινητική+δυναμική) και μάλιστα είναι η σχετικιστική ενέργεια αφού περιλαμβάνει και τις ενέργειες ηρεμίας
των σωματιδίων. Η ολική ενέργεια διατηρείται αν η δυναμική συνάρτηση, άρα και η λαγκρανζιανή, δεν
εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο.
Έστω η περίπτωση της εξωτερικής ηλεκτρομαγνητικής επίδρασης σε φορτισμένο κινούμενο σωματίδιο,
η κατάλληλη λαγκρανζιανή είναι
L mc 2 1 2 qe qe A
(5.11)
( x, t ), A A( x, t ).
Εδώ η λαγκρανζιανή αλληλεπίδρασης είναι
Linter qe qe A . (5.12)
Η γενικευμένη ορμή είναι
mxi
pi qe Ai , i 1, 2,3 . (5.13)
1 2
Η ενεργειακή συνάρτηση ισούται με τη σχετικιστική ενέργεια, συγκεκριμένα έχουμε
m 2 mc 2
h mc 2 1 2 eq ( x, t ) eq ( x, t )
1 2 1 2
T ( x) mc 2 eq ( x, t ) E (5.14)
x ( x1 , x2 , x3 ), x ( x1 , x2 , x3 )
E h.
Δηλαδή η σχετικιστική ενέργεια δίνεται από την ίδια σχέση Εξ. (5.10). Η ενεργειακή συνάρτηση και η
ίση της (σχετικιστική) μηχανική ενέργεια εξαρτώνται μόνο από το βαθμωτό δυναμικό. Η σχετικιστική μηχανική
ενέργεια είναι άθροισμα της ενέργειας ηρεμίας, της κινητικής ενέργειας και του όρου της δυναμικής
συνάρτησης που περιέχει το βαθμωτό δυναμικό, αυτή είναι ουσιαστικά η δυναμική ενέργεια. Στο κινούμενο
σωματίδιο μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο ασκείται ηλεκτρική δύναμη
A( x, t )
Fe qe E qe ( x, t ) qe και μαγνητική δύναμη Fm qe A( x, t ) .
t
Στη μηχανική ενέργεια υπεισέρχονται όροι που σχετίζονται με την ηλεκτρική δύναμη που προκύπτει από
την κλίση του βαθμωτού δυναμικού, δηλαδή ο όρος είναι το βαθμωτό δυναμικό επί το φορτίο. Η μαγνητική
δύναμη δεν προκύπτει με τέτοιο τρόπο και δεν παράγει έργο κατά την κίνηση του φορτίου. Ούτε ο άλλος όρος
της ηλεκτρικής δύναμης προκύπτει έτσι, είναι όρος που οφείλεται στην ηλεκτρομαγνητική επαγωγή και μπορεί
να παράγει έργο επί του σωματιδίου. Τελικώς συμπεραίνουμε ότι οι όροι που περιέχουν το διανυσματικό
δυναμικό δεν παίζουν ρόλο στη μηχανική ενέργεια και επομένως το διανυσματικό δυναμικό δεν υπεισέρχεται
στη μηχανική ενέργεια. Έχουμε αναφέρει ξανά ότι μπορεί να οριστεί ως δυναμική ενέργεια, το μέγεθος
n
U (q, q, t )
V (q, t ) qi U (q, q, t ) .
i 1 qi
Η μηχανική ενέργεια είναι
E T V (q, t ) E0 .
Αναλυτική Δυναμική 168
Η ενέργεια ηρεμίας, E0 , δεν χρειάζεται στη μη σχετικιστική μηχανική, διότι σε αυτή την περίπτωση,
είναι πάντοτε σταθερή αφού δεν γίνεται μετατροπή ενέργειας ηρεμίας σε κινητική ή δυναμική ενέργεια.
Δηλαδή, ίδια ισχύουν για μη σχετικιστική μηχανική με τη διαφορά πως δεν υπάρχει ο όρος ενέργειας ηρεμίας.
5.2 Εμφανώς συναλλοίωτος λαγκρανζιανός φορμαλισμός
Σε ότι ακολουθεί σε αυτή την ενότητα, ισχύει η άθροιση άνω και κάτω δεικτών που χρησιμοποιείται στον
τανυστικό λογισμό. Η αρχή του Hamilton θα είναι σε μορφή εμφανώς συναλλοίωτη (manifestly covariant).
Αυτό σημαίνει ότι κατά την πραγματική κίνηση, το ολοκλήρωμα δράσης πρέπει να είναι μια παγκόσμια
βαθμωτή ποσότητα (ανεξάρτητη από το σύστημα αναφοράς). Κατά την πραγματική κίνηση, ο χρόνος δεν θα
είναι ανεξάρτητος από τις συντεταγμένες θέσης και μαζί τους θα σχηματίζει ένα τετραδιάνυσμα. Για την
περιγραφή της εξέλιξης του συστήματος στον θεσικό χώρο στον φορμαλισμό με θεωρία μεταβολών πρέπει να
διαλέξουμε μια βαθμωτή παράμετρο. Αυτά σημαίνουν ότι και η λαγκρανζιανή θα είναι βαθμωτό μέγεθος.
Επίσης, με αυτή τη φιλοσοφία, η λαγκρανζιανή πρέπει να είναι συνάρτηση όχι των συνήθων συντεταγμένων
αλλά συντεταγμένων του χώρου του Minkowski (τετραχώρος) και των παραγώγων τους ως προς την ανωτέρω
παράμετρο. Θα ασχοληθούμε μόνο με σύστημα ενός σωματιδίου με μη μηδενική μάζα. Μια βαθμωτή
παράμετρος που χρησιμοποιείται για την περιγραφή της εξέλιξης του συστήματος στον θεσικό χώρο, είναι ο
ιδιόχρονος (κύριος χρόνος) του σωματιδίου (proper time) . Σε αυτή την περίπτωση, κατά την πραγματική
dx
κίνηση, οι συνιστώσες της γενικευμένης ταχύτητας u, u x δεν είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους
d
αλλά ικανοποιούν τη δεσμευτική σχέση
u u u u c 2 (5.15)
Θυμίζουμε τις σχέσεις
dx
u (u 0 , u1 , u 2 , u 3 ) u x , =0,1,2,3
d
x 0 ct , x1 x, x 2 y, x 3 z (5.16)
ds 2 c 2 d 2 c 2 dt 2 (dx1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx 3 ) 2
Η λαγκρανζιανή ελεύθερου σωματιδίου της Εξ. (5.4), Lfree mc 1 , μπορεί να γραφτεί ως
2 2
mc 1
Lfree u u , . (5.17)
1 2
Το ολοκλήρωμα δράσης γίνεται
2
I mc u u d . (5.18)
1
Η εξίσωση κίνησης που περιμένουμε να πάρουμε εφαρμόζοντας την αρχή του Hamilton είναι η
du
u 0 που προφανώς ισχύει για ελεύθερο σωματίδιο. Όμως, όπως είπαμε, έχουμε τη δεσμευτική σχέση
d
της Εξ. (5.15) ή την ισοδύναμή της
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 169
du
u u u 0 . (5.19)
d
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αντιμετώπισης του θέματος. Για παράδειγμα, μπορεί κάποιος να υποθέσει
ότι αυτή η δεσμευτική σχέση ισχύει και για τις γειτονικές μη πραγματικές τροχιές και να χειριστεί το θέμα με
χρήση της τεχνικής των πολλαπλασιαστών του Lagrange. Εδώ θα ακολουθήσουμε τη διαδικασία όπου η
δεσμευτική σχέση δεν ισχύει για τις παραλλαγμένες διαδρομές αλλά μόνο για την τελική, την πραγματική
διαδρομή. Ουσιαστικά οι Εξ. (5.15), (5.19) δεν είναι συνήθεις, δυναμικές, δεσμευτικές σχέσεις της κίνησης,
είναι μια γεωμετρική συνέπεια του τρόπου που ορίστηκε το . Αυτές οι δεσμευτικές σχέσεις μας λένε ότι δε
μπορούμε να βρισκόμαστε στον όλο τετραδιάστατο χώρο του u . Είμαστε περιορισμένοι σε μια τρισδιάστατη
επιφάνεια του όλου χώρου. Ο Dirac ονομάζει τέτοιες δεσμευτικές σχέσεις ασθενείς εξισώσεις. Σύμφωνα με
αυτή την ιδέα μπορούμε να θεωρήσουμε τα u ανεξάρτητα και αφού γίνουν όλες οι παραγωγίσεις, στο τέλος
να χρησιμοποιηθούν οι ανωτέρω δεσμευτικές σχέσεις. Η διαφορική παράσταση μέσα στο ολοκλήρωμα στην
Εξ. (5.18) είναι το στοιχειώδες μήκος στον τετραχώρο, πράγματι
ds u u d x x d g dx dx
όπου
g00 1, g11 1, g22 1, g33 1
g 0, , ds cd .
Κατά την κίνηση και στην περίπτωση της Ειδικής Σχετικότητας, το τετραμήκος είναι στάσιμο.
Λαμβάνουμε ως παράμετρο περιγραφής της κίνησης μια παράμετρο που το χαρακτηριστικό της είναι πως
είναι μονότονη συνάρτηση του ιδιόχρονου , κατά μήκος της πραγματικής τροχιάς. Κατά τα άλλα είναι
αυθαίρετη παράμετρος. Αυτά μας οδηγούν στο να αντικατασταθεί το ολοκλήρωμα δράσης της Εξ. (5.18) με το
ολοκλήρωμα δράσης
2
d x dx
mc g d (5.20)
1 d d
Κατά μήκος της κίνησης (μόνο), L mc σταθ. Οι συντεταγμένες είναι συναρτήσεις του
2
,
x x ( ) . Αφού δεν έχουμε δεσμευτική σχέση, μπορούμε να κάνουμε τις δυνατές μεταβολές ελεύθερα.
dx
Ορίζουμε x . Η αρχή των μεταβολών, αρχή του Hamilton, δίνει τις εξισώσεις των Euler- Lagrange,
d
d L L
0 (5.21)
d x
x
Οπότε έχουμε
d x
0
d x x 1/2 (5.22)
Σε αυτό το σημείο που καταλήξαμε στη (διαφορική) εξίσωση για την πραγματική κίνηση, επιβάλουμε
τη δεσμευτική σχέση (5.15) οπότε έχουμε
Αναλυτική Δυναμική 170
dx dx
g d cd
d d
Η σχέση (5.22) ισχύει κατά την (πραγματική) κίνηση, το γίνεται , οπότε ο παρονομαστής είναι μια
σταθερά, έτσι βρίσκουμε τις γνωστές σχέσεις
d 2 x
x 0 (5.23)
d 2
που είναι οι σχετικιστικές εξισώσεις κίνησης ελεύθερου σωματιδίου. Το τετραμήκος της πραγματικής
διαδρομής (κοσμικής τροχιάς του σωματιδίου) στον τετραχώρο, σε αυτή την περίπτωση, γίνεται μέγιστο.
Δηλαδή έχουμε τον μέγιστο ιδιόχρονο μεταξύ των δυο άκρων. Η τροχιά είναι γεωδαισιακή τροχιά. Στην
περίπτωση φορτισμένου σωματιδίου σε εξωτερικό ηλεκτρομαγνητικό πεδίο η μορφή για την λαγκρανζιανή
αλληλεπίδρασης είναι αυτή της Εξ. (5.12), ξεκινούμε με την ολική λαγκρανζιανή
L mc g x x qe x A ( x) (5.24)
Με την προηγούμενη διαδικασία βρίσκουμε
2
mc g x x +qe x A (x) d (5.25)
1
Τελικώς καταλήγουμε στις εξισώσεις Euler-Lagrange
d L L
0. (5.26)
d x x
Μετά από πράξεις αυτή γίνεται
A ( x)
mx qe A ( x) qe x 0. (5.27)
x
Όμως έχουμε
A x A ,
x
άρα
mx qe A A x . (5.28)
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 171
Παράδειγμα
Σχετικιστική κίνηση φορτισμένου σωματιδίου μέσα σε σταθερό ομογενές μαγνητικό πεδίο B ez B .
Το βαθμωτό δυναμικό 0 . Δείξτε ότι κατάλληλο διανυσματικό δυναμικό είναι το
B
A( x, y, z ) ( xe y yex ) Ax ex Ay ey , όπου x, y, z είναι οι καρτεσιανές συντεταγμένες του σωματιδίου.
2
Λύση
Θα δείξουμε ότι το μαγνητικό πεδίο μπορεί να προέρχεται από το διανυσματικό δυναμικό.
B B B
Έχουμε, A( x, y, z ) ( xe y yex ) , Ax y, Ay x, Az 0 .
2 2 2
B A
ex ey ez
Bez .
x x x
Ax Ay Az
Η δυναμική συνάρτηση είναι U qe A .
Στη συνέχεια είναι βολικό να μεταβούμε σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Έχουμε
x cos , y sin , z z , οπότε x cos sin , y sin cos .
qB
U e 2 . Η λαγκρανζιανή είναι
2
q B
2
L mc 2
1 e 2 , 2 2 2 2 z 2
c 2
2 2 2 z 2 qe B 2
L mc 2 1 2
.
c 2
Εφόσον η λαγκρανζιανη δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο, διατηρείται η ενεργειακή συνάρτηση που
συμπίπτει με την ενέργεια.
1
( )
2
1
c
mc 2
m ( )c 2 σταθ.
2
1
c
Αυτό σημαίνει ότι το μέτρο της ταχύτητας είναι σταθερά της κίνησης, (0) σταθ. , ( ) σταθ.
Γράφουμε τις εξισώσεις Lagrange.
d L L
0 , q1 , q2 , q3 z .
dt qi qi
Αναλυτική Δυναμική 172
2
Αφού 1 = σταθ., ( ) σταθ. , μετά από πράξεις βρίσκουμε:
c
m ( ) m ( ) 2 qe B 0
d 2
m ( ) qe B 0
dt
dz
( ) 0.
dt
Από την τελευταία διαφορική εξίσωση προκύπτει ότι z z z (0) σταθ. Σημειώνουμε ότι η αρχή
των αξόνων μπορεί να ληφθεί οπουδήποτε στον χώρο. Το μόνο που πρέπει να ισχύει είναι ο άξονας z να έχει
την κατεύθυνση του B . Με αυτό στο μυαλό μας, ψάχνουμε για άξονες τέτοιους που να ισχύει R σταθ.
Επομένως 0, 0 .
Η πρώτη εξίσωση οδηγεί τελικώς στη σχέση,
qe B qB
: c , c e σταθ.
m ( ) m ( )
c είναι η κυκλική συχνότητα κυκλοτρονίου (κυκλοτρονική συχνότητα). Δηλαδή έχουμε ελικοειδή
κίνηση περί τον άξονα z . Δηλαδή μετατόπιση με σταθερή ταχύτητα z κατά μήκος του z και περιστροφική
κίνηση περί τον ίδιο άξονα, με σταθερή γωνιακή συχνότητα c και ακτίνα R . Η ακτίνα προσδιορίζεται από τη
σχέση,
2 2 2 2 z 2 σταθ. Έχουμε Τ2 2 2 2 2 z2 σταθ. Πρόκειται για την ταχύτητα
στο κάθετο στον άξονα z επίπεδο, εγκάρσια ταχύτητα. Οπότε αφού R σταθ. Έχουμε
m ( )T
R T ή pT m ( )T qe BR . Η τελευταία σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον
c qe B
προσδιορισμό (μέτρηση) της εγκάρσιας (σχετικιστικής) ορμής pT σωματιδίου όταν είναι γνωστές οι άλλες
ποσότητες.
Το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων. Με βάση τα ανωτέρω, από το πεδίο B
και την αρχική διανυσματική ταχύτητα (0) μπορούμε να βρούμε τη θέση του συστήματος κυλινδρικών
συντεταγμένων για το οποίο ισχύουν οι σχέσεις που αναφέραμε προηγουμένως. Τελικώς μπορούμε να πούμε
ότι για κάθε αρχική διανυσματική ταχύτητα φορτισμένου σωματιδίου θα έχουμε την κίνηση που περιγράψαμε
προηγουμένως. Η θέση του άξονα της ελικοειδούς κίνησης και η ακτίνα προσδιορίζονται από όσα αναφέραμε
στην ανάλυσή μας.
Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί και σε καρτεσιανές συντεταγμένες.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 173
Προβλήματα
1. Θεωρήστε σωματίδιο μάζας m το οποίο κινείται σε ευθεία, άξονα x . Η δυναμική συνάρτηση (δυναμικό)
είναι της μορφής V ( x ) . Η σχετικιστική κινητική ενέργειά του είναι
mc 2
T mc 2 , x .
2
1
c2
Σχηματίστε τη λαγκρανζιανή με τη διαδικασία L T V . Με χρήση της εξίσωσης του Lagrange δείξτε
ότι δεν καταλήγετε στην αναμενόμενη σχετικιστική (διαφορική) εξίσωση κίνησης. Δεχτείτε ότι και για την
περίπτωση της σχετικιστικής ορμής ισχύει η γνωστή σχέση που ορίζει τη γενικευμένη ορμή από τη
2
λαγκρανζιανή. Με βάση αυτό, βρείτε τη λαγκρανζιανή Lf mc 2 1 για ελεύθερο (δυνάμεων)
c2
σωματίδιο . Στη συνέχεια δείξτε ότι η λαγκρανζιανή L( x, x) Lf ( x) V ( x) οδηγεί στη σωστή εξίσωση
κίνησης
d mx
0 .
dt x
2
1
c
2. Ας θεωρήσουμε σύστημα N μη αλληλεπιδρώντων σωματιδίων με σχετικιστική λαγκρανζιανή την
N N
2 1 2
L L ( x, x, t ) m c 2 1 2 , 2 2
( x y2 z2 ) .
1 1 c c2
Δείξτε ότι διατηρείται η ορμή του συστήματος.
3. Θεωρήστε τη σχετικιστική κίνηση φορτισμένου σωματιδίου μάζας m και φορτίου qe , μέσα σε σταθερό
ομογενές μαγνητικό πεδίο B ez B . Το βαθμωτό δυναμικό 0 . Θεωρήστε διανυσματικό δυναμικό της
B
μορφής A( x, y, z ) ( xe y yex ) Ax ex Ay ey , όπου x, y, z είναι οι καρτεσιανές συντεταγμένες του
2
σωματιδίου. Υπολογίστε τη λαγκρανζιανή. Με τη μέθοδο του Lagrange δείξτε ότι το σωματίδιο εκτελεί
ελικοειδή κίνηση περί άξονα παράλληλο προς το B , με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Βρείτε τη γωνιακή
ταχύτητα και τη θέση του άξονα περιστροφής με δεδομένες τις αρχικές τιμές,
x(0) x0 , y (0) y0 , z (0) z0 , x(0) 0 x , y (0) 0 y , z (0) 0 z .
Στη συνέχεια υπολογίστε την ενεργειακή συνάρτηση και την ενέργεια και χωρίς να χρησιμοποιήσετε τη
λύση, x x(t ), y y (t ), z z (t ) αλλά μόνο τις εξισώσεις κίνησης, βρείτε αν διατηρούνται κατά την κίνηση.
Βρείτε την έκφραση για τη μηχανική ορμή, την ηλεκτρομαγνητική ορμή και τις αντίστοιχες στροφορμές περί
τον άξονα Οz των συντεταγμένων. Χωρίς να χρησιμοποιήσετε τη λύση, x x(t ), y y (t ), z z (t ) αλλά
μόνο τις εξισώσεις κίνησης, δείξτε ότι η ολική στροφορμή περί αυτόν τον άξονα διατηρείται ενώ δεν
διατηρείται η κάθε μια από τις δυο χωριστά. Δείξτε ότι και οι δυο ανωτέρω στροφορμές περί τον ανωτέρω
άξονα περιστροφής διατηρούνται. Tο τελευταίο, παρόλο που είναι ευνόητο, επιβεβαιώστε το αφού κάνετε
χρήση της σχέσης που δίνει τη θέση αυτού του άξονα συναρτήσει των αρχικών τιμών και το ότι η περιστροφή
στο επίπεδο x, y γίνεται σε κύκλο (η ακτίνα είναι σταθερή).
Αναλυτική Δυναμική 174
Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 5
[1] H. Goldstein, C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, Addison-Wesley, 2001.
[2] L. Landau and E. Lifshitz, Mechanics, Pergamon Press, 1976.
[3] L. Landau and E. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Addison-Wesley, 1987.
[4] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley and Sons Inc., 1998.
[5] W.K.H. Panofsky and M. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, Addison-Wesley, 1962.
[6] A.O. Barut, Electrodynamics of Classical Theory of Fields and Particles, Macmillan, 1964.
[7] W. Greiner, Classical Mechanics, Systems of Particles and Hamiltonian Dynamics, Springer, 1989.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 175
Κεφάλαιο 6: Χαμιλτoνιανός Φορμαλισμός
Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με μια άλλη θεώρηση της μηχανικής που αναφέρεται ως φορμαλισμός
του Hamilton, χαμιλτονιανός φορμαλισμός. Από πλευράς φυσικής δεν προστίθεται κάτι καινούργιο, όμως
πρόκειται για μια πιο δυνατή μέθοδο εργασίας με τις αρχές της φυσικής που είναι ήδη καθιερωμένες. Η
χαμιλτονιανή μέθοδος δεν είναι ανώτερη από τη λαγκρανζιανή μέθοδο κατά την άμεση λύση προβλημάτων της
μηχανικής. Το προσόν αυτής της μεθόδου είναι ότι είναι η βάση της προχωρημένης θεωρητικής μηχανικής και
βάζει τα θεμέλια για θεωρητικές επεκτάσεις σε πολλές περιοχές της φυσικής. Τέτοιες περιπτώσεις στα πλαίσια
της ίδιας της μηχανικής είναι η θεωρία των Hamilton-Jacobi, διαταραχές και χάος. Έξω από την μηχανική την
ίδια, αυτός ο φορμαλισμός παρέχει ένα μεγάλο μέρος από τη γλώσσα της στατιστικής μηχανικής και της
κβαντομηχανικής. Σε ό,τι ακολουθεί, υποθέτουμε ότι οι δυνάμεις είναι μονογενείς, τα συστήματα είναι ολόνομα
χωρίς δεσμούς, δηλαδή οι δεσμοί έχουν απαλειφτεί με την κατάλληλη επιλογή (γνήσιων) γενικευμένων
συντεταγμένων, έχουμε δηλαδή λαγκρανζιανά συστήματα. Στην περίπτωση που στον λαγκρανζιανό
φορμαλισμό υπάρχουν ολόνομοι ολοκληρωμένοι δεσμοί, είναι δυνατό να γίνεται τροποποίηση της
λαγκρανζιανής με πολλαπλασιαστές Lagrange, στη συνέχεια να υπολογιστεί η τροποποιημένη χαμιλτονιανή
και να γραφτούν, για αυτήν οι εξισώσεις Hamilton. Ο γενικός τρόπος χειρισμού διαφόρων δεσμών στον
χαμιλτονιανό φορμαλισμό, γίνεται με τη διαδικασία του Dirac με χρήση αγκυλών, που λέγοντα αγκύλες Dirac.
Η μέθοδος χρησιμοποιείται για μετάβαση στην κβαντομηχανική όταν υπάρχουν δεσμοί.
6.1 Εξισώσεις του Hamilton
Οι εξισώσεις Lagrange αντιπροσωπεύουν εξισώσεις δεύτερης τάξης ως προς τον χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι η
κίνηση καθορίζεται από 2n αρχικές τιμές. Αυτές μπορεί να είναι οι τιμές των n qi (t ) και οι τιμές των
n q (t ) κάποια χρονική στιγμή t1 , ή οι τιμές των n qi (t ) δυο χρονικές στιγμές t1 , t2 , δηλαδή έχουμε 2n
αρχικά μεγέθη. Οι n γενικευμένες συντεταγμένες είναι ανεξάρτητες. Θα δούμε ότι οι εξισώσεις (του) Hamilton
είναι 2n το πλήθος και είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Οι εξισώσεις Hamilton συνηθίζεται να
λέγονται και κανονικές εξισώσεις. Μπορεί κάποιος να καταλήξει στις εξισώσεις Hamilton χρησιμοποιώντας
τις εξισώσεις Lagrange και τον μετασχηματισμό του Legendre, αλλά μπορεί να ακολουθήσει και άλλη μέθοδο,
μπορεί να χρησιμοποιήσει τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών του Lagrange. Θα ακολουθήσουμε τη μέθοδο του
μετασχηματισμού Legendre (βλέπε παράρτημα Π5). Οι μεταβλητές στον λαγκρανζιανό φορμαλισμό είναι οι
q, q , ενώ στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό είναι οι q, p όπου pi οι συζυγείς ορμές, όπως θα δούμε σε λίγο.
Στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό που θα αναπτύξουμε δε μπορεί να υπάρχουν δεσμευτικές σχέσεις μεταξύ
των μεταβλητών q, p , αυτές είναι ανεξάρτητες. Θα επανέλθουμε σε αυτό το θέμα αργότερα.
Θα χρησιμοποιήσουμε μετασχηματισμό Legendre ως προς τις ταχύτητες q . Οι ταχύτητες θα θεωρούνται
ως ενεργητικές μεταβλητές ανεξάρτητες των q και όλες οι άλλες είναι παθητικές μεταβλητές, είναι παράμετροι
που δεν συμμετέχουν στον μετασχηματισμό. Αυτές είναι οι n 1 το πλήθος q, t . Ακολουθούμε ανάλογη
μεθοδολογία όπως στο Παράρτημα Π5, αλλά για πολλές μεταβλητές. Μπορεί να δειχτεί ότι ισχύουν οι
προϋποθέσεις για να εφαρμοστεί ο μετασχηματισμός Legendre στη λαγκρανζιανή.
1) Εισάγουμε τις νέες μεταβλητές, τις συζυγείς ορμές ή απλά ορμές με τη σχέση,
L(q, q, t )
pi , i 1, 2,..., n . (6.1)
qi
2) Εισάγουμε τη νέα συνάρτηση H (q, q, p, t ) που θα μας οδηγήσει στη χαμιλτονιανή, δηλαδή τη
συνάρτηση
n
H pi qi L(q, q, t ) . (6.2)
i 1
Αναλυτική Δυναμική 176
3) Λύνουμε (αντιστρέφουμε) τις Εξ. (6.1) ως προς q οπότε q q(q, p, t ) . Αντικαθιστούμε στην (6.2).
Έτσι καταλήγουμε στην χαμιλτονιανή
n
H H (q, p, t ) pi qi ( p, t ) L(q, q (q, t ), t ) .
i 1 (6.3)
Δηλαδή, H H (q, p, t ) H (q1 , q2 ,..., qn , p1 , p2 ,..., pn , t ) .
Διαφορίζουμε την (6.2) και βρίσκουμε,
n n n
L n
L L
dH pi dqi qi dpi dqi dqi .
i 1 i 1 i 1 qi i 1 qi t
L
Όμως από τον ορισμό pi , οπότε
qi
n n
L L
dH qi dpi dqi .
i 1 i 1 qi t
Από τη διαφόριση της (6.3) έχουμε,
n
H n
H H
dH dqi dpi .
i 1 qi i 1 pi t
Ισχύει dH dH , οπότε εξισώνουμε τους αντίστοιχους όρους των δυο προηγούμενων και βρίσκουμε
L H L
,
qi qi t t
(6.4)
H
qi .
pi
Οι δύο πρώτες είναι σχέσεις μεταξύ των παθητικών μεταβλητών. Η τελευταία είναι η αντεστραμμένη
L
εξίσωση ορισμού pi , δεν είναι κάτι καινούργιο.
qi
d L
Από αυτή τη σχέση βρίσκουμε pi .
dt qi
Σε αυτό το σημείο λαμβάνουμε υπόψη ότι ισχύουν οι εξισώσεις Lagrange, δηλαδή το σύστημα κινείται,
d L L L
εκτελεί πραγματική κίνηση. Τότε 0 , οπότε από τις δυο τελευταίες και εφόσον ,
dt qi qi qi qi
βρίσκουμε ότι,
H
pi .
qi
H
Αυτές μαζί με τις qi αποτελούν τις εξισώσεις Hamilton ή κανονικές εξισώσεις, δηλαδή τις
pi
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 177
H H
qi , pi . (6.5)
pi qi
Είναι σύστημα από 2n διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης ως προς τον χρόνο. Είναι ισοδύναμες με τις
αντίστοιχες n εξισώσεις δεύτερης τάξης του Lagrange. Παρόλο που, όπως είπαμε, οι n πρώτες από τις
κανονικές εξισώσεις είναι οι αντεστραμμένες εξισώσεις ορισμού των συζυγών ορμών Εξ. (6.1) και δεν δίνουν
επομένως τίποτα καινούργιο, όμως σημειώνουμε ότι οι εξισώσεις του Hamilton μπορεί να ληφθούν ως η αρχή
και όχι ότι προήλθαν από τον μετασχηματισμό του λαγκρανζιανού φορμαλισμού. Δηλαδή μπορεί να
ξεκινήσουμε με μια χαμιλτονιανή που δεν έχει σημασία πως τη βρήκαμε, από αυτήν γράφουμε τις εξισώσεις
Hamilton. Τότε η Εξ. (6.1) δεν προϋπάρχει και δεν χρειάζεται για τον χαμιλτονιανό φορμαλισμό.
Συνοψίζοντας, τα βασικά χαρακτηριστικά του μετασχηματισμού είναι:
Πίνακας 6.1 Τα βασικά χαρακτηριστικά του μετασχηματισμού
Παλιό σύστημα Νέο σύστημα
Συνάρτηση: λαγκρανζιανή L(q, q, t ) χαμιλτονιανή H (q, p, t )
Ενεργητικές Μεταβλητές ταχύτητες, q ορμές, p
Παθητικές μεταβλητές και στις δυο περιπτώσεις: συντεταγμένες θέσης και χρόνος, q, t .
Ο δυϊκός χαρακτήρας του μετασχηματισμού εκφράζεται με το επόμενο σχήμα, που είναι γενίκευση για
πολλές μεταβλητές αυτών που αναφέρονται στο παράρτημα Π5:
L(q, q, t ) H (q, p, t )
pi , qi ,
qi pi
n n
(6.6)
H pi qi (q, p, t ) L q, q(q, p, t ), t , L pi (q, q, t )qi H q, p(q, q, t , t )
i 1 i 1
H H (q, p, t ), L L( q, q, t ).
Δηλαδή ο δυϊκός χαρακτήρας του μετασχηματισμού Legandre σημαίνει ότι μπορούμε να ξεκινήσουμε
από τη λαγκρανζιανή και με μια διαδικασία να καταλήξουμε στη χαμιλτονιανή και επίσης να ακολουθήσουμε
ακριβώς ίδια διαδικασία αντίστροφα, και από τη χαμιλτονιανή να καταλήξουμε στη λαγκρανζιανή.
Υπάρχουν πολλές περιπτώσεις που μπορούμε να απλοποιήσουμε την ανωτέρω διαδικασία εύρεσης της
χαμιλτονιανής. Όπως ξέρουμε, μερικές φορές η λαγκρανζιανή μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα ομογενών όρων
ως προς τις ταχύτητες, βαθμών 0,1,2. Τότε η ενεργειακή συνάρτηση h που ορίζεται από την Εξ. (4.11) που
είναι η ίδια με την Εξ. (6.2) η οποία ορίζει την H , δίνεται από τη σχέση
h L2 L0 . (6.7)
Τα h, H , H είναι εκφράσεις του ίδιου μεγέθους ως προς διαφορετικές μεταβλητές. Μερικοί συγγραφείς
χρησιμοποιούν το ίδιο σύμβολο για όλες, το H . Αν εκφράσουμε τις ταχύτητες με τη χρήση των Εξ. (6.1)
συναρτήσει των q, p, t , βρίσκουμε από την h(q, q, t ) L2 L0 , τη χαμιλτονιανή,
H (q, p, t ) L2 L0 . (6.8)
Αν επιπλέον T1 T0 0 , το T δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο, τότε L2 T (q, q) . Όπως έχουμε
ξαναπεί στην παράγραφο 4.1 αυτό μπορεί να συμβεί, π.χ. αν οι σχέσεις που μετασχηματίζουν από τις
καρτεσιανές στις γενικευμένες συντεταγμένες δεν περιέχουν άμεσα τον χρόνο. Στην ίδια παράγραφο είδαμε ότι
Αναλυτική Δυναμική 178
αν επιπλέον η δυναμική συνάρτηση δεν εξαρτάται από τις ταχύτητες οπότε V V (q, t ) , τότε L0 V . Σε
αυτή την περίπτωση
h T ( q, q ) V ( q, t ) E , (6.9)
δηλαδή η ενεργειακή συνάρτηση είναι η ολική μηχανική ενέργεια. Αν εκφράσουμε με χρήση των Εξ.
(6.1) τις ταχύτητες συναρτήσει των q, p, t τότε, αν ξέρουμε την έκφραση της ολικής ενέργειας, καταλήγουμε
στη χαμιλτονιανή, διότι τώρα
H ( q, p, t , ) E T V . (6.10)
Στον λαγκρανζιανό φορμαλισμό η κίνηση ενός δυναμικού συστήματος περιγράφεται στον θεσικό χώρο
με τις ανεξάρτητες συντεταγμένες qi (t ), i 1, 2,..., n . Στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό η κίνηση ενός
δυναμικού συστήματος περιγράφεται στον φασικό χώρο (phase space) όπου οι ανεξάρτητες συντεταγμένες
είναι τα q (t ), p (t ) .
6.2 Αγνοήσιμες συντεταγμένες και θεωρήματα διατήρησης
Ανεξάρτητα του πως βρήκαμε τη χαμιλτονιανή του συστήματος που εξετάζουμε, αν λείπει από τη χαμιλτονιανή
η συντεταγμένη r , τότε η αντίστοιχη κανονική εξίσωση του Hamilton δίνει
(6.11)
Αν μια συντεταγμένη λείπει από τη λαγκρανζιανή (είναι αγνοήσιμη, κυκλική), προφανώς θα λείπει και
από τη χαμιλτονιανή όταν ακολουθείται η προηγούμενη διαδικασία για να κατασκευάσουμε τη χαμιλτονιανή
από τη λαγκρανζιανή.
Αν η H δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο, τότε με χρήση και των εξισώσεων του Hamilton θα
δείξουμε ότι είναι σταθερά της κίνησης. Πράγματι έχουμε
(6.12)
Η τελευταία σχέση ισχύει κατά την κίνηση, άρα
H (q, p ) σταθερά της κίνησης .
(6.13)
Αν η λαγκρανζιανή δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο και η χαμιλτονιανή προσδιορίζεται από τη
λαγκρανζιανή όπως περιγράψαμε πριν, τότε ούτε η χαμιλτονιανή θα εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο.
Αν οι εξισώσεις μετασχηματισμού δεν περιέχουν άμεσα τον χρόνο και η δυναμική συνάρτηση δεν
εξαρτάται από τις ταχύτητες ( V V (q, t ) ), τότε η ενέργεια ισούται με την ενεργειακή συνάρτηση και με τη
χαμιλτονιανή αφού η τελευταία είναι η ενεργειακή συνάρτηση με διαφορετικές συντεταγμένες, δηλαδή τις
( q, p ) ,
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 179
E h, E H T V . (6.14)
Αν επιπλέον η χαμιλτονιανή δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο (εδώ, αυτό σημαίνει ότι V V (q ) ),
τότε έχουμε, E H T V σταθερά της κίνησης, διατηρούμενη ποσότητα.
Γενικώς, αν η λαγκρανζιανή ή η χαμιλτονιανή μένουν αναλλοίωτες στη μορφή ως προς διάφορους
μετασχηματισμούς, π.χ. σε περιστροφές περί άξονα, τότε υπάρχει κάποια συζυγής γενικευμένη ορμή, η
στροφορμή περί τον εν λόγω άξονα, που διατηρείται. Αυτά, όπως έχουμε αναφέρει και προηγουμένως,
εκφράζονται πολύ καλύτερα με χρήση του πρώτου θεωρήματος της Noether. Το να είναι η χαμιλτονιανή ή η
ενεργειακή συνάρτηση σταθερά της κίνησης είναι ανεξάρτητο από το αν είναι ίσες με τη μηχανική ενέργεια.
Επίσης μπορεί οι ανωτέρω εξισώσεις μετασχηματισμού να εξαρτώνται άμεσα από τον χρόνο ενώ η
χαμιλτονιανή ή η λαγκρανζιανή να μην εξαρτάται, τότε διατηρείται η χαμιλτονιανή ή η ενεργειακή συνάρτηση
αλλά δεν είναι ίσες με την ενέργεια.
Η ενεργειακή συνάρτηση ή η χαμιλτονιανή μπορεί να διατηρείται για κάποιες συντεταγμένες και για
άλλες όχι. Επίσης μπορεί να είναι η ενέργεια για κάποιες και για άλλες να μην είναι.
L
Σημειώνουμε ότι το κριτήριο για τη διατήρηση της ενεργειακής συνάρτησης είναι 0 . Για τη
t
H
χαμιλτονιανή το κριτήριο διατήρησής της είναι 0.
t
Προσοχή στα κριτήρια! Αν, για παράδειγμα, η έκφραση της μηχανικής ενέργειας δεν περιέχει άμεσα τον
χρόνο, αυτό δεν σημαίνει πως αυτή διατηρείται.
Το απλό μονοδιάστατο παράδειγμα που ακολουθεί είναι χρήσιμο για την κατανόηση αυτών των εννοιών.
Στο Σχ.(6.1) έχουμε ένα σωμάτιο μάζας m στερεωμένο στο άκρο ελατηρίου με σταθερά επαναφοράς k , του
οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε καρότσι που κινείται με σταθερή ταχύτητα 0 . Η θετική φορά είναι
προς τα δεξιά. Έστω x η συντεταγμένη του σωματίου ως προς το ακίνητο (αδρανειακό) σύστημα αναφοράς
ως προς το οποίο κινείται το καρότσι. Προφανώς και το καρότσι είναι αδρανειακό σύστημα. Έστω x η
συντεταγμένη του σωματίου ως προς το σταθερό στο καρότσι άκρο του ελατηρίου, δηλαδή ως προς το
κινούμενο με το καρότσι σύστημα αναφοράς. Ο μετασχηματισμός μεταξύ x και x είναι μετασχηματισμός
που περιέχει άμεσα και τον χρόνο. Ας περιγράψουμε την κίνηση με βάση τη συντεταγμένη x . Η δυναμική
ενέργεια εξαρτάται από την επιμήκυνση του ελατηρίου.
Σχήμα 6.1 Αρμονικός ταλαντωτής στερεωμένος σε καρότσι που κινείται με σταθερή ταχύτητα.
Για ευκολία, ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια κατάλληλη κατασκευή τέτοια που το «φυσικό μήκος» του
ελατηρίου είναι μηδέν, δηλαδή όταν x 0 η δύναμη επαναφοράς του ελατηρίου είναι μηδέν. Θεωρούμε
επίσης ότι τη στιγμή t 0 το δεμένο στο καρότσι άκρο του ελατηρίου περνά από την αρχή του ακίνητου
συστήματος αναφοράς.
Θα ξεκινήσουμε να υπολογίζουμε τα διάφορα μεγέθη ως προς το αδρανειακό (ακίνητο σύστημα)
αναφοράς, με συντεταγμένη την x . Η δυναμική ενέργεια είναι
1
k x 0t .
2
V ( x, t ) (6.15)
2
Αναλυτική Δυναμική 180
Έχουμε για την κινητική ενέργεια ως προς το ακίνητο σύστημα
1 2
T mx . (6.16)
2
Επομένως
1 2 1
mx k x 0t .
2
L ( x, x, t ) (6.17)
2 2
Το δυναμικό δεν εξαρτάται από την ταχύτητα . Η ενεργειακή συνάρτηση, η ενέργεια και η γενικευμένη
ορμή είναι:
(6.18)
Σύμφωνα με όσα είπαμε βρίσκουμε ότι η χαμιλτονιανή είναι:
p2 k
H ( x, p , t ) ( x 0t ) 2 E (6.19)
2m 2
L H
Έχουμε ότι h E , H E . Αφού η 0, 0 δεν διατηρούνται η h και η H κατά την κίνηση
t t
του συστήματος, άρα δεν διατηρείται ούτε η ενέργεια. Αυτό είναι κατανοητό διότι ο δεσμός ο οποίος αναγκάζει
το άκρο του ελατηρίου που είναι στερεωμένο στο καρότσι να κινείται με ταχύτητα 0 , ασκεί δύναμη (δεσμού)
που εκτελεί έργο επί του ελατηρίου κατά την (πραγματική) κίνηση, εφόσον το σημείο εφαρμογής της
μετατοπίζεται με τον χρόνο.
Έστω στη συνέχεια ότι χρησιμοποιούμε και πάλι ως προς το ακίνητο σύστημα αναφοράς, ως
συντεταγμένη την x, θα έχομε:
x x 0t . (6.20)
Αυτός είναι ο μετασχηματισμός μεταξύ συντεταγμένων που περιέχει άμεσα και τον χρόνο. Για την
κινητική ενέργεια, για τη δυναμική συνάρτηση και για τη λαγκρανζιανή , ως προς το ακίνητο σύστημα,
βρίσκουμε
x x 0
m x
2
1 1 m 2
T ( x, x, t ) mx 2 T ( x) m( x 0 ) 2 m0 x 0
2 2 2 2
1 k (6.21)
V ( x, t ) k x 0t V ( x, t ) ( x) 2
2
2 2
m x
2
m 2 k
L( x, x, t ) T V L( x, x) m0 x 0 ( x) 2
2 2 2
Ισχύουν
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 181
L p
p mx m0 , x 0 .
x m
Η h και η H είναι:
21 1 ′2 2 ′
1 ′̇
ℎ′ = 𝑚𝑥 2 20
2 (6.22)
′ 𝑝′2 1
𝐻 = + 𝑘𝑥 ′2 − 𝑝′ 𝜐0 ≠ 𝐸 ′ .
2𝑚 2
L
Εφόσον 0 και 0 τα h, H διατηρoύνται κατά την πραγματική κίνηση, αλλά, όπως
t t
σημειώσαμε και θα δούμε παρακάτω, δεν είναι η ενέργεια του συστήματος ως προς το ακίνητο σύστημα
αναφοράς που εργαζόμαστε. Με τα παραπάνω κριτήρια δεν μπορούμε να αποφανθούμε αν η ενέργεια
διατηρείται. Η ενέργεια του συστήματος ως προς το ακίνητο σύστημα, με μεταβλητές τα και x, p , είναι:
(6.23)
Επομένως, πράγματι . Θα εξετάσουμε χωριστά τι γίνεται με
την ενέργεια. Η ενέργεια είναι ανεξάρτητη του χρόνου, ας δούμε αν διατηρείται ή όχι. Υπολογίζουμε την
dE
έκφραση και την εξίσωση κίνησης την οποία θα χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε την εξέλιξη της
dt
ενέργειας με τον χρόνο κατά την πραγματική κίνηση:
(6.24)
dE
Παρατηρούμε ότι 0 , επομένως η ενέργεια παρόλο που δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο, δεν
dt
διατηρείται κατά την πραγματική κίνηση του συστήματος.
Ας μεταβούμε τώρα στο κινούμενο σύστημα αναφοράς όπου θα εξετάσουμε μόνο την περίπτωση με
συντεταγμένη την x που είναι και το πλέον «φυσιολογικό» να κάνουμε. Αυτό το σύστημα είναι επίσης
αδρανειακό επομένως δεν υπάρχουν αδρανειακές δυνάμεις, έχουμε:
Αναλυτική Δυναμική 182
(6.25)
L H
Όπως αναμέναμε ισχύουν h E , H E , 0, 0 , επομένως τα h, E , H
t t
διατηρούνται.
Τώρα θα ξεκινήσουμε από την λαγκρανζιανή στο ακίνητο σύστημα, με συντεταγμένη την x και με απλή
εφαρμογή του μετασχηματισμού από x σε x θα δούμε σε τι καταλήγουμε.
(6.26)
Η λαγκρανζιανή που βρίσκουμε διαφέρει από αυτήν που βρήκαμε κάνοντας υπολογισμούς ως προς το
κινούμενο σύστημα, όμως η διαφορά είναι κατά μια σταθερά και μια ολική παράγωγο συνάρτησης του x .
Αυτό σημαίνει ότι και αυτή η λαγκρανζιανή είναι σωστή λαγκρανζιανή του συστήματος και οδηγεί στις ίδιες
εξισώσεις κίνησης. Από όλες τις συναρτήσεις που αναφέραμε μόνο η λαγκρανζιανή μπορεί να πει κάποιος ότι
είναι ανεξάρτητη του συστήματος συντεταγμένων συμπεριλαμβανομένου του συστήματος αναφοράς.
Σύμφωνα με τα παραπάνω, μπορούμε να αναφερόμαστε σε λαγκρανζιανή κάποιου μηχανικού συστήματος,
γενικώς, χωρίς αναφορά στις γενικευμένες συντεταγμένες που χρησιμοποιούνται.
6.3 Η διαδικασία του Routh
Ο χαμιλτονιανός φορμαλισμός δεν βοηθά στην κατευθείαν λύση μηχανικών προβλημάτων. Έχουμε διπλάσιες
διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης σε σχέση με την περίπτωση του λαγκρανζιανού φορμαλισμού όπου έχουμε
τις μισές διαφορικές εξισώσεις αλλά δεύτερης τάξης. Στην πράξη απαλείφουμε τις συζυγείς ορμές και
καταλήγουμε στη λύση διαφορικών εξισώσεων του Lagrange που είναι οι μισές αλλά δεύτερης τάξης. Η
μεθοδολογία με τις εξισώσεις του Hamilton είναι χρήσιμη για αγνοήσιμες συντεταγμένες. Έστω ότι η
συντεταγμένη qn είναι αγνοήσιμη, τότε L L(q1 , q2 ,..., qn 1 , q1 , q2 ,..., qn , t ) , παρόλα αυτά πρέπει κανείς να
συμπεριλάβει την αντίστοιχη εξίσωση του Lagrange για να λύσει το δυναμικό πρόβλημα. Στην περίπτωση όμως
του χαμιλτονιακού φορμαλισμού έχουμε ότι για τη συζυγή ορμή pn n =σταθερά και η χαμιλτονιανή γίνεται
H (q1 , q2 ,..., qn1 , p1 , p2 ,... pn1 , n , t )
Δηλαδή το πρόβλημα είναι πρόβλημα με n 1 συντεταγμένες . Η σταθερά n προσδιορίζεται από τις
αρχικές συνθήκες. Προφανώς η εξέλιξη με τον χρόνο της αγνοήσιμης συντεταγμένης προσδιορίζεται από τη
λύση της εξίσωσης που ακολουθεί αφού προσδιοριστούν τα υπόλοιπα qi (t ), pi (t ) i 1, 2,..., n 1 . Έτσι θα
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 183
έχουμε
H (q(t ), p(t ), n , t ) H ( q(t ), p(t ), n , t )
qn , qn (t ) dt
n n
Η διαδικασία του Routh εκμεταλλεύεται τα πλεονεκτήματα του χαμιλτονιακού φορμαλισμού στην
περίπτωση αγνοήσιμων συντεταγμένων συνδυάζοντάς τον με τον λαγκρανζιανό φορμαλισμό. Αυτό που γίνεται
είναι ότι μετασχηματίζει κανείς μόνο ως προς τις αγνοήσιμες συντεταγμένες από q σε p ενώ αφήνει τις άλλες
απείραχτες. Έτσι για τις αγνοήσιμες καταλήγει σε εξισώσεις του Hamilton ενώ για τις άλλες σε εξισώσεις του
Lagrange. Αυτό γίνεται με χρήση μιας συνάρτησης που παίζει τον ρόλο και λαγκρανζιανής και χαμιλτονιανής
και λέγεται routhian (ρουθιανή).
Έστω ότι οι αγνοήσιμες συντεταγμένες είναι οι qs 1 , qs 2 ,..., qn δηλαδή οι qi , i s 1, s 2,..., n
δηλαδή οι τελευταίες n s το πλήθος. Ορίζουμε τη ρουθιανή ως προς αυτές με τα εξής βήματα όπως κάναμε
και για τον προσδιορισμό της χαμιλτονιανής
n
R p q L(q , q ,..., q , q , q ,..., q , t )
i s 1
i i 1 2 s 1 2 n
L (6.27)
pi , i s 1, s 2,..., n
qi
R R (q1 , q2 ,..., qs , q1 , q2 ,..., qs , ps 1 , ps 2 ,..., pn , t )
Διαφορίζουμε την πρώτη σχέση οπότε βρίσκουμε
n n s
L n
L L
dR qi dpi
i s 1
i s 1
pi dqi
i 1 qi
dqi
i 1 qi
dqi dt
t
(6.28)
n
L s
L L s
qi dpi dqi dqi dt
i s 1 i 1 qi i 1 qi t
Από τη διαφόριση της τρίτης έχουμε
R s s
R n
R R
dR dqi dqi dpi dt . (6.29)
i 1 qi i 1 qi i s 1 pi t
Προφανώς dR dR άρα βρίσκουμε ότι
R L R L
, , i 1, 2,..., s
qi qi qi qi
R R
pi , qi , i s 1, s 2,..., n
qi pi (6.30)
R L
.
t t
R
Η σχέση pi για i s , ισχύει κατά τετριμμένο τρόπο διότι τα pi είναι σταθερές της κίνησης και
qi
Αναλυτική Δυναμική 184
η R δεν εξαρτάται από τα qi , i s 1, s 2,..., n . Οι εξισώσεις που ισχύουν για i 1, 2,..., s ουσιαστικά
μας λένε ότι ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrange για τις μη αγνοήσιμες συντεταγμένες με τη ρουθιανή στη θέση
της λαγκρανζιανής, δηλαδή
d R R
0, i 1, 2,..., s (6.31)
dt qi qi
Οι υπόλοιπες εξισώσεις με i s 1, s 2,..., n , δηλαδή για τις αγνοήσιμες συντεταγμένες είναι οι
εξισώσεις του Hamilton με τη ρουθιανή στη θέση της χαμιλτονιανής, δηλαδή είναι οι δεύτερη σειρά των
σχέσεων της Εξ. (6.30), δηλαδή έχουμε
R R
pi , qi , i s 1, s 2,..., n . (6.32)
qi pi
Είναι ευνόητο ότι μια συντεταγμένη που δεν υπάρχει στη λαγκρανζιανή δεν θα υπάρχει ούτε στη
ρουθιανή. Οι συζυγείς ορμές pi , i s 1, s 2,..., n είναι σταθερές της κίνησης,
pi i , i s 1, s 2,..., n και προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Έτσι η ρουθιανή μπορεί να
γραφτεί ως συνάρτηση μόνο των μη αγνοήσιμων συντεταγμένων, των ταχυτήτων τους και του χρόνου.
R R(q1 , q2 ,..., qs , q1 , q2 ,..., qs , s 1, s 2 ,..., n , t ) . (6.33)
Ένα απλό παράδειγμα της μεθόδου του Routh είναι η επίπεδη κίνηση σωματίου σε κεντρικό δυναμικό
k
της μορφής V (r ) . Εργαζόμαστε σε πολικές συντεταγμένες και έχουμε προφανώς,
rn
m 2 k
L (r r 2 2 ) n . (6.34)
2 r
Η είναι αγνοήσιμη.
m 2 2 2 k
R p (r r ) n
2 r
L p
p mr 2 , 2 (6.35)
mr
2
1 p 1 k
R 2
mr 2 n .
2 mr 2 r
Για το μη αγνοήσιμο r η εξίσωση του Lagrange δίνει
p2 nk
mr 3
n 1 0 . (6.36)
mr r
Για την αγνοήσιμη έχουμε από τις εξισώσεις του Hamilton
.
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 185
p
p 0,
mr 2 (6.37)
p mr 2 l
Το l διατηρείται και είναι η στροφορμή ως προς τον άξονα κάθετο στο επίπεδο κίνησης που περνά από
το ελκτικό κέντρο.
6.4 Οι εξισώσεις του Hamilton από μια αρχή μεταβολών
Όπως είδαμε οι εξισώσεις του Lagrange μπορεί να βγουν από μια αρχή μεταβολών (παραλλαγών) , δηλαδή την
αρχή του Hamilton. Θα βρούμε μια αρχή μεταβολών (παραλλαγών) που να μας οδηγεί στις εξισώσεις του
Hamilton. Τέτοιες μεθοδολογίες είναι χρήσιμες διότι επεκτείνονται εύκολα σε συστήματα που δεν βρίσκονται
στην περιοχή της μηχανικής. Ας ξεκινήσουμε από την αρχή του Hamilton, για συστήματα που περιγράφονται
πλήρως από λαγκρανζιανή χωρίς να υπάρχουν δεσμοί και άλλες ενεργητικές δυνάμεις. Αυτή η αρχή αναφέρεται
σε τροχιές στον θεσικό χώρο των n διαστάσεων. Έχουμε
t2 t2
δΙ δ L(q, q, t )dt δL(q, q, t )dt 0 . (6.38)
t1 t1
Οι μεταβλητές στον χαμιλτονιανό φορμαλισμό είναι τα q, p (που πρέπει να) είναι μεταξύ τους
ανεξάρτητες. Είμαστε στον φασικό χώρο με 2n διαστάσεις. Χρησιμοποιούμε τη σχέση που ορίζει από τη
λαγκρανζιανή τη χαμιλτονιανή οπότε έχουμε
n n
t2 2 t
δΙ δ pi qi H (q, p, t ) dt δ pi qi H (q, p, t ) dt 0 . (6.39)
t1 i 1 t1 i 1
Αυτή αναφέρεται ως τροποποιημένη αρχή του Hamilton (modified Hamilton’s principle).
Εφόσον η υπό ολοκλήρωση παράσταση
n
f (q, p, q, p, t ) pi qi H (q, p, t )
i 1
είναι συνάρτηση των q, p καθώς επίσης και των χρονικών παραγώγων τους q, p (εδώ βέβαια δεν
υπάρχουν τα pi ) και του χρόνου t , η αρχή παραλλαγών θα οδηγήσει στις εξισώσεις του Lagrange. Έχουμε
d f f d f f
0, 0, i 1, 2,..., n . (6.40)
dt qi qi dt pi pi
Άρα
f d f f H
pi =pi =- .
qi dt qi qi qi
Επομένως
H H
pi , qi . (6.41)
qi pi
Αναλυτική Δυναμική 186
Δηλαδή βρίσκουμε τις εξισώσεις του Hamilton. Εδώ πρέπει να τονίσουμε τα εξής, στην περίπτωση της
θεωρίας παραλλαγών (μεταβολών) στα άκρα της ολοκλήρωσης απαιτούμε οι μεταβολές των συντεταγμένων
να είναι μηδέν. Δηλαδή όλες οι τροχιές περνούν από τα ίδια αρχικό και τελικό σημεία. Εδώ ο χώρος είναι ο
χώρος των φάσεων δηλαδή οι μεταβλητές, που είναι οι συντεταγμένες του χώρου αυτού είναι τα q, p άρα είναι
φυσικό να απαιτήσουμε ότι
δqi (t1 )=δqi (t2 ) δpi (t1 )=δpi (t2 ) 0 .
Μια προσεκτική ματιά σε όσα είπαμε στα προηγούμενα δείχνει ότι η απαίτηση αυτή χρειάζεται όταν
υπάρχουν οι παράγωγοι των μεταβλητών γιατί έτσι μετά την παραγοντική ολοκλήρωση που χρησιμοποιείται,
φεύγουν οι όροι που προκύπτουν οι οποίοι έχουν ως παράγοντες τις ανωτέρω μεταβολές στα άκρα των
συντεταγμένων. Αν δεν υπάρχει κάποια παράγωγος δεν χρειάζεται η αντίστοιχη δεσμευτική σχέση της
μεταβλητής διότι δεν υπάρχουν οι όροι συνόρου. Στην περίπτωσή μας εφόσον ξεκινήσαμε από τη λαγκρανζιανή
για να καθορίσουμε τη χαμιλτονιανή, η προκύπτουσα έκφραση στο ολοκλήρωμα τροποποιημένης δράσης δεν
περιέχει παραγώγους ως προς τον χρόνο των μεταβλητών pi άρα δεν χρειάζεται να απαιτήσουμε να ισχύουν
δpi (t1 )=δpi (t2 ) 0 .
Όμως υπάρχουν πλεονεκτήματα να απαιτήσουμε κάτι τέτοιο επειδή ο χαμιλτονιανός φορμαλισμός
μπορεί να θεωρηθεί ανεξάρτητος του λαγκρανζιανού. Όπως συμβαίνει με τη λαγκρανζιανή, υπάρχουν
διαφορετικές χαμιλτονιανές που οδηγούν στις ίδιες εξισώσεις Hamilton, ίδιες εξισώσεις κίνησης. Μπορούμε
να βρούμε διαφορετικές τέτοιες χαμιλτονιανές με τον εξής γνωστό τρόπο: Όταν χρησιμοποιούμε την Αρχή
Hamilton, μπορούμε να προσθέσουμε στην υπό ολοκλήρωση ποσότητα την ολική παράγωγο ως προς τον χρόνο
οποιασδήποτε καλά συμπεριφερόμενης συνάρτησης των συντεταγμένων και του χρόνου και αυτό να οδηγήσει
στις ίδιες εξισώσεις Hamilton, ίδιες εξισώσεις κίνησης. Θυμίζουμε ότι αυτό συμβαίνει διότι τα άκρα
ολοκλήρωσης είναι ίδια για όλες τις τροχιές στις ίδιες αρχική και τελική χρονικές στιγμές. Στην περίπτωσή μας
dF (q,p,t )
η συνάρτηση είναι της μορφής F (q, p, t ) και η παράγωγός της που προφανώς μπορεί να εισαγάγει
dt
παραγώγους και των pi , οπότε χρειάζoνται οι δεσμευτικές σχέσεις στο σύνορο (στα άκρα) και για τα pi . Ένα
d n
απλό παράδειγμα είναι η προσθήκη στη χαμιλτονιανή ενός όρου της μορφής qi pi αυτό οδηγεί στη σχέση
dt i 1
n
t2
δI δ pi qi H (q, p, t ) dt 0 .
t1 i 1
Από αυτήν εύκολα προκύπτουν οι ίδιες εξισώσεις Hamilton που προκύπτουν χωρίς την προσθήκη του
όρου αυτού, πρέπει όμως να δεσμεύσουμε τα pi στα άκρα ώστε να ισχύουν και για αυτά οι σχέσεις
δpi (t1 )=δpi (t2 ) 0 .
6.5 Η αρχή της ελάχιστης δράσης
Πρόκειται γενικώς για στάσιμη κατάσταση της δράσης και όχι πάντα για ελάχιστη δράση. Παρόλα αυτά έχει
επικρατήσει ο όρος ελάχιστη δράση. Αυτή η αρχή σχετίζεται με τον χαμιλτονιανό φορμαλισμό. Αναφέρεται σε
συστήματα που διατηρείται η χαμιλτονιανή, δηλαδή η χαμιλτονιανή δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο,
H
0.
t
Σε αυτή την περίπτωση εισάγεται μια άλλη έννοια μεταβολής μεγεθών η λεγόμενη μεταβολή τύπου Δ.
Στην περίπτωση της γνωστής μεταβολής τύπου δ όλες οι παραλλαγμένες τροχιές αρχίζουν και τερματίζουν στα
ίδια σημεία στον θεσικό χώρο κατά τις ίδιες χρονικές στιγμές t1 , t2 με την πραγματική τροχιά. Επομένως για τα
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 187
ακραία σημεία όλων των τροχιών ισχύουν δqi (t1 ) δqi (t2 ) 0. Στην περίπτωση της μεταβολής τύπου Δ οι
παραλλαγμένες τροχιές έχουν άκρα που αντιστοιχούν σε διαφορετικούς χρόνους από αυτούς της πραγματικής
τροχιάς και τα άκρα της κάθε μιας τροχιάς στον θεσικό χώρο είναι γενικώς διαφορετικά. Μπορούμε να
παραμετροποιήσουμε τις τροχιές, όπως μπορούμε να κάνουμε και για τις μεταβολές τύπου δ , με χρήση μιας
παραμέτρου, έστω , οπότε έχουμε για τις διάφορες τροχιές, qi (t , ) i 1, 2,..., n . Το 0 για την
πραγματική τροχιά, δηλαδή
qi (t ) qi (t , 0) i 1, 2,..., n . (6.42)
Έστω ότι κάνουμε την παραμετροποίηση
qi (t , ) qi (t ) i (t ) i 1, 2,..., n . (6.43)
Θα περιοριστούμε σε μικρές τιμές του , δηλαδή σε απειροστές μεταβολές, «απειροστά» κοντά τροχιές.
Οι συναρτήσεις i (t ) είναι αυθαίρετες αλλά παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Για να μπορούμε να έχουμε τη
δυνατότητα διαφορετικών χρόνων t1 και διαφορετικών χρόνων t 2 για κάθε παραλλαγμένη τροχιά (στα άκρα),
κατά τη μεταβολή-Δ, τα αντίστοιχα σημεία είναι όπως φαίνεται στο Σχ.(6.2), όπου εικονίζεται η πραγματική
και μια τύπου Δ παραλλαγμένη τροχιά, για την απλή περίπτωση δυο μεταβλητών στον θεσικό χώρο. Δηλαδή,
στην γενική αυτή περίπτωση, τα αντίστοιχα σημεία της πραγματικής τροχιάς και της οποιασδήποτε
παραλλαγμένης δεν μπορεί να έχουν ίδια t , ενώ αυτό γίνεται αν όλοι οι αρχικοί χρόνοι t1 είναι ίσοι μεταξύ
τους και αντιστοίχως οι τελικοί t 2 . Αυτό ισοδυναμεί με το γεγονός ότι, οι αντίστοιχοι χρόνοι t Δt στην
παραλλαγμένη τροχιά των χρόνων t της πραγματικής τροχιάς εξαρτώνται και από την παράμετρο . Με
χρήση της απλής περίπτωσης του Σχ. 6.2 μπορούμε να καταλήξουμε, σε πρώτη προσέγγιση ως προς μικρές
μεταβολές, στη σχέση
Δqi δqi (t ) qi (t )Δt .
Μπορούμε επίσης να δείξουμε αυτή τη σχέση χρησιμοποιώντας την παραμετροποίηση της Εξ. (6.43).
Από την παραμετροποίηση έχουμε για οποιαδήποτε αντίστοιχα σημεία ότι
Δqi qi (t Δt , ) qi (t ,0) qi (t Δt ,0) qi (t ,0) i (t Δt ).
Σχήμα 6.2 Η μεταβολή-Δ στον θεσικό χώρο.
Αναλυτική Δυναμική 188
Σε πρώτη προσέγγιση, για μικρές ποσότητες , Δt έχουμε
Δqi qi (t )Δt δqi (t ) . (6.44)
Προφανώς η μεταβολή-Δ δεν μπορεί να εναλλαχτεί με τη συνήθη διαφόριση d, ενώ αυτό γίνεται για τη
μεταβολή-δ. Για τα άκρα 1,2 έχουμε για κάθε παραλλαγμένη τροχιά Δt (1) Δt1 ,Δt (2) Δt2 , αυτά είναι
προφανώς συναρτήσεις της παραμέτρου της αντίστοιχης τροχιάς. Οι Εξ. (6.44) δίνουν για τα άκρα
Δqi (1) δqi (1) qi (1)Δt1
(6.45)
Δqi (2) δqi (2) qi (2)Δt2 .
t2
Ας υπολογίσουμε τη μεταβολή-Δ του ολοκληρώματος δράσης, Ldt .
t1
t2 t2 Δt2 t2
Δ Ldt L( )dt L(0)dt . (6.46)
t1 t1 Δt1 t1
Για το πρώτο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους ισχύει
t2 Δt2 t2 t2 Δt2 t1 Δt1
t1 Δt1
L( )dt L( )dt
t1
t2
L( )dt
t1
L( )dt . (6.47)
Κάνοντας πρώτη προσέγγιση στα απειροστά για το δεύτερο και τρίτο ολοκλήρωμα του δεύτερου μέλους
της Εξ. (6.47), βρίσκουμε από την Εξ. (6.46)
t2 t2 t2
Δ Ldt L(t2 )Δt2 L(t1 )Δt1 L( )dt L(0)dt. (6.48)
t1 t1 t1
Επειδή τα ολοκληρώματα του δευτέρου μέλους έχουν τα ίδια άκρα t1 , t2 , μπορούμε να πάρουμε ως
αντίστοιχα σημεία της πραγματικής και της παραλλαγμένης τροχιάς σημεία όπου Δt 0 . Τότε όμως σύμφωνα
με την Εξ. (6.44) οι μεταβολές Δ και δ συμπίπτουν οπότε
t2 t2 t2
Δ Ldt L(t2 )Δt2 L(t1 )Δt1 δ Ldt L(t2 )Δt2 L(t1 )Δt1 δLdt. (6.49)
t1 t1 t1
Για τη μεταβολή-δ έχουμε προφανώς ότι
2
n L L d L
t2 2 n t
t δL dt δqi δqi dt . (6.50)
1 i 1 qi 1 t1
i 1 qi dt qi
Ο όρος από την παραγοντική ολοκλήρωση δεν μηδενίζεται διότι τα δqi (1),δqi (2) στα άκρα δεν μηδενίζονται
L
στην περίπτωση της μεταβολής-Δ. Ισχύουν οι εξισώσεις του Lagrange και η σχέση pi , επομένως οι
qi
Εξ. (6.49) και (6.50) οδηγούν στην
Ε. Α. Δρης, Θ. Η. Αλεξόπουλος 189
2
t2 n
Δ Ldt L(t )Δt pi δqi . (6.51)
t1 i 1 1
Τα δqi (t1 ), δqi (t2 ) στην Εξ. (6.51) είναι οι μεταβολές που φαίνονται στο Σχ.(6.2) για τα αντίστοιχα
σημεία των άκρων της πραγματικής και της παραλλαγμένης τροχιάς. Στη συνέχεια θέλουμε να εκφράσουμε τη
μεταβολή -Δ του ολοκληρώματος της Εξ. (6.51) ως προς τις μεταβολές Δqi των qi μεταξύ παραλλαγμένης
και πραγματικής τροχιάς για τα ακραία αντίστοιχα σημεία τους λαμβάνοντας υπόψη και τους διαφορετικούς
χρόνους για τα άκρα της πραγματικής και της παραλλαγμένης τροχιάς. Οι σχέσεις της Εξ. (6.54) οδηγούν από
την Εξ. (6.51) στην
2 2
n
t2 n n
Δ Ldt LΔt pi qi Δt pi Δqi pi Δqi HΔt . (6.52)
t1 i 1 i 1 1 i 1 1
Το επόμενο βήμα για να βρούμε τη λεγόμενη αρχή της ελάχιστης δράσης είναι να βάλουμε τους
παρακάτω περιορισμούς.
1. Θεωρούμε μόνο δυναμικά συστήματα που η Η δεν εξαρτάται άμεσα από τον χρόνο οπότε είναι σταθερά
της κίνησης.
2. Η παραλλαγή είναι τέτοια που η Η διατηρείται και στην παραλλαγμένη όπως και στην πραγματική τροχιά
(στον θεσικό χώρο) αλλά για κάθε διαφορετική τροχιά έχει, γενικώς, διαφορετικό μέγεθος H για κάθε μια
παραλλαγμένη τροχιά και διαφορετική (γενικώς) H 0 για την πραγματική.
3. Για τα άκρα των παραλλαγμένων τροχιών θέτουμε Δqi (1) Δqi (2) 0 , ενώ Δt1 0, Δt2 0 . Δηλαδή οι
τροχιές τέμνονται στα άκρα (1) και (2) στον θεσικό χώρο δυο διαφορετικές στιγμές, άρα έχουμε ότι τα H
είναι όλα ίσα οπότε H H 0 =σταθερά.
Έτσι η Εξ. (6.52) γίνεται
t2
Δ Ldt H 0 Δt2 Δt1 . (6.53)
t1
Υπό τις ίδιες συνθήκες έχουμε για το ολοκλήρωμα της δράσης
t2 t2 n
Ldt pi qi dt Η 0 (t2 t1 ) .
t1 t1 i 1
(6.54)
Για την μεταβολή-Δ αυτής